古諾均衡及其擴展

1、古諾均衡及其拓展假設市場反需求函數為p(Q)aQ，企業(yè)的生產成本為C(Q)cQ,求：(1)完全壟斷市場結構下的均衡產量、價格和利潤；(2) 完全競爭結構下的均衡產量、價格和利潤；(3) 雙寡頭結構下的古諾均衡的產量、價格和利潤；(4) n家同質企業(yè)結構下的古諾競爭的產量、價格和利潤，并證明這一結果包含了上述三種情形下的結果。(5) 雙寡頭勾結下的產量、價格和利潤；(6) 如果雙寡頭中有一方遵守配額協(xié)議，另一方違反協(xié)議時，各自的產量、價格和利潤；(7) 比較(3)(6)的結果證明古諾均衡是一個納什均衡，而勾結的配額是不穩(wěn)定的；(8) 求雙寡頭產量競爭在重復博弈結構下，選擇合作的條件是什么？(9)

2、 求n家企業(yè)產量競爭在重復博弈結構下，選擇合作的條件是什么？比較結果(8)(9),你會得出什么結論。(10) 求雙寡頭在序貫行動情形下的stackelberg均衡解。并與古諾競爭均衡解對比，說明first-moveradvantages,并通過反應函數圖來解釋這兩個均衡。(1)完全壟斷結構下，只有一家企業(yè)，Maxp(Q)QC(Q),Q利潤最大化的一階條件為：a2Qcqmac2ac2(2)完全競爭結構下，有n家相同企業(yè)，總需求函數p(Q)aQa“q,每一家的邊際成本為c，而且完全競爭情形下價格是給定的(price-taker),對家企業(yè)來說，邊際收益就是p,根據利潤最大化的條件MR=M,C這時最

3、優(yōu)的價帶入總需求函數p(Q)aQ,可以得到根據對稱性假設,每家企業(yè)的均衡產量為acqin每一家的利潤(3)雙寡頭結構下，p(Q)aQa(qiq2)，邊際成本都為c。企業(yè)1的利潤函數為ip(Q)qicqi(a(qiq2)qicqiMaxip(Q)功利潤最大化的條件為acq2qi容易看出，這一結果表明,企業(yè)2i的最優(yōu)產量取決丁企業(yè)2的產量，這也正是博弈論中戰(zhàn)略依存(strategic-interdependence)這一核心理念的反映。我們把這一結果稱為企業(yè)i的反應函數。同樣道理，我們可以得出企業(yè)2的反應函數q2ac勺2若存在一個戰(zhàn)略組合(q：,q；)同時滿足這兩個反應函數，則這個博弈存在一個古諾

4、-納什均衡解(Cournot-NashEquilibrium)2ccaccacccacqiq2十p十i2339(4)n家企業(yè)結構下，總需求函數p(Q)a,每一家的邊際成本為c。企業(yè)i的利潤函數為Nipqicqi(aqi)qcqii利潤最大化的一階條件:qiqi家企業(yè)存在一個類似的反這就是企業(yè)1的反應函數。根據對稱性假設，應函數。如果存在一個納什均衡的戰(zhàn)略組合，那么qcAi1,.,i,.,NpCn1n1當門分別等丁1、2時，這一結果等同丁壟斷和雙寡頭的結果，當n時,cacanccac2limqlim0limplimclimilim()0nnn1nnn1nnn1這一結果和完全競爭情形下結果相同。由

5、此可見，古諾競爭模型是刻畫市場競爭模型的更加一般的方法。(5)雙寡頭勾結情形下(申謀、卡特爾),相當丁兩家企業(yè)像一家獨占企業(yè)一樣行事，分配壟斷產出配額和利潤，維持壟斷價格，所以collusionq1,.qmcollusionQq1collusionpcollusion1collusion2(6)假設企業(yè)遵守卡特爾協(xié)議，則-McollusionQacq2而企業(yè)1則把企業(yè)2這一產量看做給定,去生產自己利潤最大化的產量，所以企業(yè)1背叛情形下的利潤最大化為cq1betray3(ac)q1丁betraycollusion1pqcq(aqq2)q可以看出，這一產量大丁遵守勾結協(xié)議下的產量，而總產量的增加必

6、然會導致均衡價格低丁壟斷價格，容易知道pbetray3a5cbetraycollusioncapp0。因為市場存在的前提是保留價格大丁邊際成本，所以上式小丁betray19(ac)264而此時企業(yè)2的利潤會因為均衡價格的下降而減少，所以被欺騙的的企業(yè)的產出和利潤為fooledq2collusionq2八MQac2fooled3(ac)24232比較得,fooled3(ac)2collusion.Mac2.9()2collusionacbetray9(ac)23221_12864(7) 利用雙寡頭古諾競爭、勾結和背叛情形下的結構構造一個NormalForm的博弈框架如下回CollusionBet

7、rayCollusioncollusion1collusion2fooled1betray22ac2ac3(ac)29(ac)2883264Betraybetray1fooled2cournot1cournot29(ac)23(ac)22ac2ac643299假如兩家企業(yè)都假設對方遵守協(xié)議的情況下會背叛，而且這是一個commonknowledge,那么雙方的均衡就是古諾均衡?？梢钥闯?，(Betray,Betray)的古諾競爭均衡是這個博弈的納什均衡，而(Collusion,Collusion)不是納什均衡的結果。這個均衡說明給定對方遵守協(xié)議的情形下，每個企業(yè)都有背叛的積極性。這也就是現(xiàn)實中卡特

8、爾協(xié)議難以穩(wěn)定存在的原因。從反應函數圖上看，古諾產量組合(偵，號)是納什均衡，而產量組合(EW)不構成納什均衡，因為給定企業(yè)1生產獸M，企業(yè)2的反444應函數表明他的最優(yōu)產量是大丁克亳的。4q2從EvolutionaryGame勺角度看，古諾均衡的產出是在博弈雙方頭腦中理性計算多次互動后產生的。就是首先給定企業(yè)生產一個任意產量q11，企業(yè)2會把這一產量帶入自己的反應函數，尋找自己的最優(yōu)產出q2(q1),依次類推，收斂丁(號，S)。這就是古諾-納什均衡在動態(tài)意義是價值。這說明，即使初始的產量決策沒有完全的理性，但是通過多次的互動、學習、適應調整，古諾均衡產量一定會出現(xiàn)。在雙寡頭重復博弈的架構下，

9、假設企業(yè)1有一個觸發(fā)戰(zhàn)略(TriggerStrategies,或稱冷酷戰(zhàn)略，GrimStrategies)：a,開始階段選擇勾結產量(也即選擇合作)；b,選擇勾結產量直到企業(yè)2選擇了古諾產量，然后永遠選擇古諾產量。本質上這個觸發(fā)戰(zhàn)略是個戰(zhàn)略承諾。通俗的說，就是企業(yè)1會一開始會選擇合作，直到對方出現(xiàn)不合作的行為，然后選擇永遠不合作我們來分析在這一條件下，企業(yè)2的戰(zhàn)略選擇。如果選擇與企業(yè)1合作，則每-期生產古諾均衡的產出甘,獲得利潤2零，設時間貼現(xiàn)因子'則合作的長期收益為:2n)ac8(1)而如果選擇不合作，則第一期獲得利潤2由于企業(yè)采取觸發(fā)戰(zhàn)略,企業(yè)2從第二期開始各期利潤為不合作的長期收

10、益為:229(ac)ac2649(22n)9(ac)ac6491企業(yè)2選擇合作的條件是合作長期收益大丁不合作的長期受益，即222史上9(ac)史萬解不等式得：-08(1)649117那么這一條件的含義是什么呢？我們來考慮貼現(xiàn)因子的經濟學含義。貼現(xiàn)因程度，或者按照費雪的說法，反映了人們的不耐(impatient)程度。一.1在數重上，,r為利息率。對丁一個普通人來說，如果他愿怠接受1r6%勺利息率而把錢存入銀行，那么他的貼現(xiàn)因子就是子時間偏綠或者時間偏好程度的表達，反應了人們在當前和未來之間的財富替代10.94,所以從16%現(xiàn)實中的利息率的變動范圍來看，正常人的不耐程度都是比較大的。9一.、一.

11、-所以蘭是個很容易滿足的條件。這也說明了，在正常的時間眼界條件下，17合作在兩個人長期博弈中是容易達成的。(8) 當上述合作結構不僅限丁2家，而是在n家企業(yè)之間展開博弈時，合作的條件是什么呢?我們來看企業(yè)的1的決策行為。假定其他n-1家企業(yè)都堅持觸發(fā)戰(zhàn)略，那么企業(yè)選擇合作的每一期產量為Qn利潤為_直，長期利潤為:n4n2ac-(14n背叛情形下的產量和利潤。假定其他n-1家企業(yè)分別生產合作的產量QMac斗三盧，那么企業(yè)1的最優(yōu)產量為Max1pq1cq(aqiq1i1c)q(a(n1)ac虧q1c)q1利潤最大化的產出為q1(n1)(ac)4n，此時的市場價格為22pna3ncac，企業(yè)1的利潤

12、為(n1)(ac)4n16n而此后其他企業(yè)選擇觸發(fā)戰(zhàn)略，企業(yè)從第2期開始選擇古諾均衡的產量三，獲得利潤2ac(n1)2選擇背叛的長期利潤為:222(n1)2(ac)2ac(16n2(n1)2'n)22(n1)2(ac)216n22c(n1)21所以選擇合作的條件為:2ac4n(1)(n1)(ac)216n2(n1)解得:(n1)216n2(n1)216n21(n1)2(n1)2(n1)2161(n一)n容易知，當時,趨近于1,所以n家企業(yè)合作的條件隨著企業(yè)數目的增加而變得越來越嚴峻,或者說越來越難以滿足0總結上述結論，可以看出，合作的達成受到兩個方面因素的影響:1. 時間眼界，越有耐心

13、合作越容易達成；2. 參與博弈的人數。人數越多，合作越困難。(9) 序貫行動的博弈和Stackelberg均衡解。假如博弈的順序不是simultaneousmove，而是sequentialmove:企業(yè)1首先選擇產量，然后企業(yè)2根據企業(yè)1的產量選擇自己的最優(yōu)產量。在這個博弈結構下，我們看到，企業(yè)2的決策受到了企業(yè)1決策的影響。我們用backwardinduction方法來求解。q2)q2cq2在第二階段企業(yè)2的最優(yōu)決策:Max2p(Q)q2cq2(aq1q2利潤最大化的條件為:cq1在第一階段，企業(yè)1在明確企業(yè)2的反應函數(也就是戰(zhàn)略)情形下做出自己的最優(yōu)決策：Max1p(Q)qcq(aqq

14、?)qcqs.t.q?acq1q222解得:sacsq1q2acsa3csacsacP，1-，2一12244816與古諾均衡利潤1c:ac2-相比，企業(yè)1獲得更多利潤,而企業(yè)2所獲利9潤減少可以看出，通過率先采取行動，可以獲得First-moverAdvantages,這就是戰(zhàn)略承諾(strategiccommitment)或威懾(deterrence)的價值。戰(zhàn)略承諾有以下的表現(xiàn)形式：a. 率先主動采取行動，先發(fā)制人，壓縮對方的戰(zhàn)略選擇空間，使得對手選擇退讓，避免正面沖突導致兩敗俱傷大規(guī)模投資，造成沉沒成本sunkcostb. 事先發(fā)出聲明；c. 長期明確堅持某一原則。如不承諾放棄武力，(不

15、)承諾不首先使用核武器，不與恐怖分子談判；Leader-Followermatrix回LeaderFollowerF1Leader00,、2,、2(ac)(ac)816Follower22(ac)(ac)168cournotcournot22acac99限止定價(LimitPricing)和掠奪定價(PredatoryPricing)和消耗戰(zhàn)假設在上述的Leader-Follower的Stackelberg模型中，其他條件不變,但是成本函數是C(q)Fcq就是說，進入這一行業(yè)必須首先支付一個固定成本F,比如建造工廠，租賃店鋪，或者前期的廣告推廣等等。所以這是一個更加接近現(xiàn)實的假定。我們再來看這種情形下克爭均衡。不影響均衡產量q：q：122但是成本的改變會改變利潤量。所以由丁利潤最大化是邊際條件的決策，所以:a3cP&