變換實(shí)質(zhì)是種離散拉氏變換

1、Z變換z變換實(shí)質(zhì)是一種離散拉氏變換，可以看作是拉氏變換的推廣與發(fā)展。我們已經(jīng)很熟悉，對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)特性可用線(xiàn)性微分方程來(lái)描述，并且可應(yīng)用拉氏變換的方法來(lái)分析其動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能。相似地，一個(gè)線(xiàn)性采樣系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)特性可由線(xiàn)性差分方程來(lái)描述，相應(yīng)地，需要應(yīng)用離散拉氏變換法，即所謂z變換法來(lái)分析其動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能。由式(8-2)或式(8-3)可知，一般連續(xù)函數(shù)e(t)的采樣函數(shù)e*(t)為e(t)=e(0)、(t)e(T)、(t-T)e(2T)、.(t一2T)a='、e(nT)、(t-nT)nz0將式(8-10)進(jìn)行拉氏變換，可得采樣函數(shù)e*(t)的拉氏變換式，用E*(t)表示Le(

2、t)=E(s)=e(0)e(T)e'Tse(2T)e"二、e(nT)e"Tsn=0比較(810)與(811)式可知，采樣函數(shù)的拉氏變換式與采樣函數(shù)本身在形式上有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系。求取采樣函數(shù)的拉氏變換式本身并無(wú)特殊困難，但是需要指出的是采樣函數(shù)的拉氏變換式中包含有enTs項(xiàng)，這是復(fù)變量s的超越函數(shù)。這對(duì)采樣系統(tǒng)的分析研究，將帶來(lái)很大的不便，為了克服這一困難，簡(jiǎn)化對(duì)采樣系統(tǒng)的計(jì)算，引入z變換概念。一、z變換的定義如果引入新的復(fù)變量z,使z=eTs或s=；lnz，代入式(811),則E"s)將變成新變量z的函數(shù)，通常用E(z)來(lái)表示，即0E(z)=E(s)|1e

3、(nT)z"sTlnzn=0我們稱(chēng)E(z)為e*(t)的z變換，記作Ze*(t),即E(z)=Ze(t)=e(0)e(T)ze(2T)ze(2T)z<oO-/、_n=Le(n)znz0這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，只有采樣函數(shù)e*(t)才能定義z變換。如果我們說(shuō)對(duì)連續(xù)函數(shù)e(t)作z變換時(shí)，這就是指對(duì)它的采樣函數(shù)e*(t)作z變換。進(jìn)一步說(shuō)，若連續(xù)函數(shù)e(t)的拉氏變換為E(s),因?yàn)閑(t)與E(s)是唯一對(duì)應(yīng)的，因此如果說(shuō)對(duì)象函數(shù)E(s)作z變換，也就是指對(duì)其原函數(shù)e(t)的采樣函數(shù)e*(t)作z變換。為了書(shū)寫(xiě)方便，通常把e*(t)的z變換記作E(z)=Ze(t)=Ze(t)=ZE(s)

4、QO=、'e(nT)zJ(8-12a)nzQ因此，式(812a刖式(812)是同一個(gè)意思。Ts.、可見(jiàn)，若僅從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，z變換只不過(guò)是離散拉氏變換引入新變量z=e后的一種變量代換而已。但是，通過(guò)這一代換，可將s的超越函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)閦的藉級(jí)數(shù)或有理分式表達(dá)式。后面將會(huì)看到，這將給采樣系統(tǒng)的分析研究帶來(lái)很大的方便?！纠?1】設(shè)e(t)=&(t),試求e(t)的z變換E(s)。解由于e(t)的采樣函數(shù)為e(t)=、(t)于是e*(t)的拉氏變換式為E(s)=1因此E(z)=Z、(t)=E(s)|1=1(813)s亍Inz【例8-2】設(shè)e(t)=1(t)，采樣周期為T(mén)，試求Z1(

5、t)。解由于單位階躍函數(shù)的采樣函數(shù)為Q0e(t)-'c(tnT)其拉氏變換式為QO率/<-nTsE(t)=%eoo因此E(z)=Z1(t)=E化)匚1此=、z"1Tn=0W-2-3.=1zzz式中，若|z|A1時(shí)，則上式便可縮寫(xiě)成如下的閉合形式，即1zE(z)=Z1(t)=(8-14)1-zz-1條件|z|A1可以換成對(duì)復(fù)變量S的限制，因?yàn)閨z|=|eTs|=e&(815)式中。=Res，所以由上式可見(jiàn)，條件|z|>1與u>0等值，即。=Res>0(8-16)式(8-16)所示為單位階躍函數(shù)能進(jìn)行拉氏變換的條件，從數(shù)學(xué)上講，z變換只是改換了變量

6、的拉氏變換，因此，不會(huì)對(duì)單位階躍函數(shù)能進(jìn)行z變換的條件增加新的要求?！纠?-3】試求衰減的指數(shù)函數(shù)e頊的z變換(a>0)。解將衰減指數(shù)函數(shù)e(t)=e&在各采樣時(shí)刻上的采樣值1,e頂，eat,Lat,代入式(812)中，得O0E(z)='e(nT)z=at-1_2at-2_nat-n=1ezez，ez(8-17)上式中若條件at|ez|1成立，則式(817)可寫(xiě)成下列閉式，即E(z)=Zeqt=(8-18)1-ezz-e這里需要特別指出的是，相同的z變換式E(z)對(duì)應(yīng)于相同的采樣函數(shù)e*(t),但并不一定對(duì)應(yīng)由于采樣函數(shù)e1(t),圖&17£丫。和廿似之

7、間的相互關(guān)系于相同的連續(xù)函數(shù)e(t),這一點(diǎn)可用圖8-17所示。由圖可見(jiàn),e；(t),eT(t)完全相同，即e，t)=e2(t)=e3(t)，其z變換式Ei(z)、E2(z)、E3(z)必然也完全相同，即E1(z)=E2(z)=E3(z)。但十分明顯，連續(xù)函數(shù)e(z)、e2(z)、e3(z)并不完全相同。實(shí)際上，如果將E(z)的z反變換記作Z4E(z)則它只能給出采樣信號(hào)e*(t),而不能提供連續(xù)信號(hào)e(t)。綜上分析可見(jiàn)，通過(guò)級(jí)數(shù)求和法求取已知函數(shù)z變換的缺點(diǎn)在于：需要將無(wú)窮級(jí)數(shù)寫(xiě)成閉式。這在某些情況下要求很高的技巧。但函數(shù)z變換的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式(812a)卻具有鮮明的物理含義，這又是z變換無(wú)

8、窮級(jí)數(shù)表達(dá)形式的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)照式(8-12)與式(8-10)可見(jiàn)，變量z*的系數(shù)代表連續(xù)函數(shù)在各采樣時(shí)刻上的采樣值，而其藉指數(shù)n(n=0,1,2111)則表示從時(shí)間起點(diǎn)t=0算起，以采樣周期T的個(gè)數(shù)來(lái)衡量采樣時(shí)刻nT,故z"1實(shí)際上可看作時(shí)序變量。因此，z變換本身便包含著時(shí)間概念，可由函數(shù)z變換的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式清楚地看出原連續(xù)函數(shù)采樣脈沖序列的分布情況。與拉氏反變換相類(lèi)似，求取z反變換的工作要比求取z變換困難得多。通常采用的方法為藉級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)、部分分式展開(kāi)法(與拉氏反變換相類(lèi)似)及留數(shù)法等。這里不作專(zhuān)門(mén)介紹。二、z變換的重要定理類(lèi)似于拉氏變換，z變換也有幾條常用定理，靈活應(yīng)用這些定理

9、，將可以大大簡(jiǎn)化有關(guān)運(yùn)管員。1線(xiàn)性定理設(shè)a、b為任意常數(shù),e(t)和e2(t)的z變換分別為Ei(z)和E2(z)，則有Zae(t)空巳=aZe(t)_bZe2(t)=a&(z)_bE2(z)線(xiàn)性定理說(shuō)明z變換具有線(xiàn)性性質(zhì)。證明：根據(jù)z變換定義有Zaei(t)_be2(t)=Laei(nT)z“_be2(nT)z七n=9O0QO=a、ei(nT)z&_be2(nT)zn=0n=9=a£(z)_bE2(a)2婦、'定：；(1)負(fù)位移定理(退后定理)設(shè)e(t)的z變換為E(z),則有Ze(t-nT)=zE(z)(819)式(819)便是z變換的退后定理，它說(shuō)明當(dāng)原

10、函數(shù)e(t)在時(shí)間上產(chǎn)生n個(gè)采樣周期nT的退后時(shí)，其相對(duì)應(yīng)的z變換需要乘以z*。證明：根據(jù)z變換定義ododZe(t_nT)='e(kT_nT)z*=zq、e(kT-nT)z4kul)式中k為正整數(shù)，令k-n=m,上式即為odZe(t-nT)=z、e(mT)zm=-n因?yàn)閠<0時(shí)，e(t)=0，則上式成為oCiZe(t_nT)=2項(xiàng)'e(mT)z=zE(z)m0式(8-19)。得證。(2)正位移定理(超前定理)設(shè)e(t)的z變換為E(z),則有nAZe(t+nT)=znE(z)£e(kT)z(8-20)k=0式中k為正整數(shù)。證明：0oOZe(tnT)e(kTnT

11、)z"=zn'e(kTnT)zkjn)k=0k=0:nJ=zne(nT)zJ-xe(kT)z七nz0k=0n-1=znE(z)e(kT)zkz0式(8-20)得證。3定：；設(shè)e(t)的z變換為E(z),則有Ze(t)e=E(ze±T)(8-21)證明：根據(jù)z變換定義Ze(t)eat=Le(nT)eanTzJn=0令z1=ze項(xiàng)，則上式變?yōu)閆e(t)e*at='e(nT)z=E(z1)n=0所以Ze(t)eat=E(zeaT)4刊ii定二設(shè)e(t)的z變換為E(z),且極限limE(z)存在，貝Uz回e*(t)=zmE(z)(8-22)證明：因?yàn)閛OE(z)=

12、'e(nT)z=e(0)e(T)zJe(2T)znz0所以gmE(z)=e(0)=忡/(t)5fwii足：設(shè)e(t)的z變換為E(z),且e(nT)為有限值，n=0,1,2,3，貝Uz-1,、e(°g)=螞E(z)(823)證明：因?yàn)椴蓸雍瘮?shù)O0e(t)='、,e(nT)、(t-nT)F(T)P(2T)2T3TNT、N-1)T您NT、"T)PUT)、e(N-i)r2T3TNT(ft)fl圖£18蜓加耶H-M的圖形如果先取到t=NT項(xiàng)，如圖818(a)所示，貝UNeN(t)=Le(nT)、(tnT)nz0相應(yīng)的z變換NEn(z)='：e(nT)z*n=0=e(0)e(T)z4e(2T)z*e(N-1)Tz*nFe(NT)zN若將eN(t)后移一個(gè)采樣周期，并在時(shí)間上仍取到t=NT為止，則eN(t-T)如圖8-18(b)所示。根據(jù)負(fù)位移定理，若eN(t-T)的z變換表示為EN(z),則有N-4EN1=z"