圓錐曲線解題技巧和方法綜合全

1、圓錐曲線的解題技巧、常規(guī)七大題型:設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(xi,yi),(1)中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)(X2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式(當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論)，消去四個(gè)參數(shù)。22Xy如：(1)r亍=1(ab0)與直線相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(X,yo),則有abxoyo孑八。(22X2a1(a0,b0)與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(Xo,y。)則有X0=0ab2(3)y2=2px(p0)與直線I相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(X0,y。)，則有2yk=2p,即y0k=p.2y典型例題給定雙曲線X21。過A

2、(2,1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P1及F2,求線段F1P2的中點(diǎn)F的軌跡方程。焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P,與兩個(gè)焦點(diǎn)Fi、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。22典型例題設(shè)P(X,y)為橢圓務(wù)與=1上任一點(diǎn)，R(-C,0),F2(C,0)為焦點(diǎn)，abPFiF八.？，PF2R=1。(1) 求證離心率-HL;sina+sinP求|PFi13PF2I3的最值。(2) 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦

3、點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2=p(x1)(p0)，直線x?y=:t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且0AOB,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。(3) 圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。,可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”或者將a表示為另一個(gè)變量的

4、函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于(2)，即：“最值問題，函首先要把ANAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值數(shù)思想”最值問題的處理思路：1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過M(a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,|AB|W2p(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求ANAB面積的最大值求

5、曲線的方程問題1?曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2?曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C:x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱I可題，可以按如下方式分二步解決：求兩點(diǎn)所在的直線,求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決)典型例題已知橢圓c的

6、方程1,試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線y=4xm，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(7)兩線段垂直I可題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用yi?y2ki?k21Xi?X22二-1來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理典型例題已知直線l的斜率為k,且過點(diǎn)P(-2,0)，拋物線C:y2=4(x?1)，直線I與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)。(1) (1)求k的取值范圍；直線I的傾斜角二為何值時(shí)，a、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面:在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。

7、下面舉例說明:(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。典型例題設(shè)直線3x4ym=0與圓x2y2?x-2y=0相交于P、Q兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP-OQ，求m的值。(2) 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x相交于p、Q兩點(diǎn)，/-且OPOQ,IPQL，求此橢圓方程。2(3) 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲

8、線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓G:x2?y24x?2y=0和C2：x2,y2-2y-4=0的交點(diǎn)，且圓心在直線I:2x?4y-1=0上的圓的方程。(4) 充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界隹，可以解決相關(guān)的求最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。22典型例題P為橢圓篤？岳1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求ab四邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程y=kx?b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2bx的的方程

9、，方程的兩根設(shè)為Xa,Xb,判別式為,A則|ABU1k2?|xa-xb|=站？k2?一，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算|a|過程。22例求直線x-yT=0被橢圓x4y=16所截得的線段ab的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例Fi、F2是橢圓一1 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過Fi的弦，若|AB|=8,求值25IF2AIIF2BI禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點(diǎn)A(3,2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，若|PA|PF|取得最小

10、值,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率k二tan0,二)點(diǎn)到直線的距離d=人口心夾角公式:VA人B7.tana=2=昌寸|仆2人|弦長(zhǎng)公式直線y=kx+b上兩點(diǎn)A(xnyj,B(x2,y2)間的距離：AB|=Ji+k2|為-x2=J(1+k2)(Xi+X2)2-4X1X2或AB=Ji*|%y2(4)兩條直線的位置關(guān)系Ii_|2=kik2=-1Ii|2=ki?2且bi=b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)22標(biāo)準(zhǔn)方程：一=1(m0,n

11、?0且m=n)距離式方程：-(xc)y.(x-c)y=2a參數(shù)方程：x=acosA,y=bsinv、雙曲線的方程的形式有兩種22標(biāo)準(zhǔn)方程：一-1(mn0)mn|PFi|PF2|(6)焦半徑公式：(1、記住)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為a_exg;焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為a_ey,可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。(5) 雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e|x0|二a拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為|&|+號(hào),焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為|%|+號(hào)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題)22設(shè)AXi,yi、BX22,Ma,b為橢圓L1的弦AB中點(diǎn)則有4322222222乞.=,1空.竺“；兩式相減得一竺_(

12、XiX2Xi+X2)yi_y2yiy2-3a=kAB4b43433432、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？4經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式-0,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(X!,yi),B(X2,y2),將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到兩個(gè)式子，然后-，整體消元若有兩個(gè)字母未知數(shù)，貝S要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為廠kx,b,就意味著k存在。

13、例1、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2?5y2=80上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸正半軸上).(1) 若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程；(2) 若角A為900,AD垂直BC于D,試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為90?？傻贸鯝B_LAC,從而得X1X2yiy9b-32b-16=OJ解得b=4(舍)或b42-14(yi?y?)T6=0,然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；2222=12016-2016解：(1)設(shè)B(xi,yi),C(x?,y?),

14、BC中點(diǎn)為(x.,y),F(2,0)則有兩式作差有(X1X2)(X1-X2).(y1-y2)(y1y2)竺衛(wèi)_0(1)201654F(2,0)為三角形重心，所以由八=2,得X0=3，由=0得33討0-2，代入(1)得k=5直線BC的方程為6x-5y-28=02)由AB_LAC得x1x2y1yA14(y1y2)1A0(2)設(shè)直線BC方程為y=kx?b,Wx25y2=80,得222x1x2-10kbk,x1x28ky1y2二45k2(45k)x10bkx5b-80=025b-802224b2-80k2代入(2)式得45k2直線過定點(diǎn)(0,-4)，設(shè)D(x,y),則一口一1,即9xx9y29x2-3

15、2y_16二0所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是s(y埒)2=(予2(yT4、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中AB=2CD，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為,雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)2乞r?時(shí)，34求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。建、22立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)CC,h，代入舄-M=1,求得h二川，I2)ab22進(jìn)而求得xA|,yA|,再代入篤-M,建立目標(biāo)函數(shù)abf(a,b,cj)=0，整理f(ej)=0，此運(yùn)算量可見是難上加難？我們對(duì)h可米取設(shè)而不求的解題策略，建

16、立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c,)=0，整理f(e,)=0，化繁為簡(jiǎn).解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,則CDy軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D,且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱依題意，記A(-c,0),C.,h,E(X0,y。)，其中C=2AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得Aji/cc齊x-_-_2c/x0-設(shè)雙曲線的方程為務(wù)占二則離心率e=aba由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和eC代入雙曲線方a程得由式得2.2將式代入式,整理得2e性一2I11jZ43+1J1+1)Tb2A,h2=1b222h孑1b24-4

17、A=12-,解得43.7_e_,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為b,101(2匕，代入整理V-e21由題3-eA1,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，AE,AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一，|AE=-(a+eA),AC|=a+ex:,解得.7乞e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7,d015、判別式法例3已知雙曲線C工工=1，直線I過點(diǎn)A2,0，斜率為k,當(dāng)220:k時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為2,試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段

18、.從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與I平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式.:-0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：I:y=k(x.2)0:k:1I:y,令判別式A=0直線I在I的上方且到直線I的距離為.2解得k的值I的方程代入雙曲線方程，消去解題過程略.y=kx分析2:如果從代數(shù)推理的角改思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為應(yīng)”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路:問題關(guān)丁x的方程k2+1kx-+2+x2-+2k-I0轉(zhuǎn)化1=A2(0ckC1)有唯:為一元二次方程根的問題求解-U用0:k:

19、1Jk+1簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)M(x,2x2)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線I的距離為：于是，問題即可轉(zhuǎn)偶為如上關(guān)幣x的方程.由于0:k1,所以2x2xkx,從而有kx-(2+x2-V2k=-kx+J2+x2+J2k.于是關(guān)于x的方程-:_kx+?2+x2+j2k=?2(k2+1)=2x2=(2(k21)-2kkx)2,j-,;2(k21):/2kkx0k2-1x22k2(k21)_2kx：；*2(k21)72k；-2=0,2(k21)j.:2kkx.0.方程k2-1x22A.2(k21A2k2(k21)-.2A-A0的二根同正，故.2(k2-1)-、2kkx。恒成立，于是等價(jià)于k2-1x22k.

20、2(k21)-2kx.2(k21)-、2k一2=0.由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0,就可解得25點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性例4已知橢圓C:x22y2二8和點(diǎn)P(4,1),過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q,使APPBAQQB求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選

21、擇直線.、APAQ直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：.來轉(zhuǎn)化.由A、B、AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在P、Q四點(diǎn)共線，不難得到xA4*-Xb)-2XaXb,要建立x與k的關(guān)系，只-8-(XA+Xb)需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)APAQPBQB4g-2XaX目8-他+x0)1將宜T發(fā)方程代入橢圓方程，消去y,利用韋達(dá)定理X=f(k)利用點(diǎn)Q滿足直盆AB的方程：y=k(x4)+1,消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到X二fk之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)

22、到：是得到關(guān)于X,y的方程(不含k),則可由y=k(x-4)入fk即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過x4簡(jiǎn)解：設(shè)AXi,yiy2),Q(x,y),則由A-QQ解之得：x/xik2/8(xi+X2)程。設(shè)直線AB的方程為：廠k(x-4)?1,代入橢圓得出關(guān)于x的一元二次方程：2k21x24k(1-4k)x2(1-4k)2-8=04k(4k-1)xiX222k122(14k)-8所謂消參，目的不過+l解得k二口，直接代可得:，(1)C的方程，消去y(2)X1X2=2代入（1化簡(jiǎn)得4k3X二2k1在（2）中，由A=-64k264k240，解得2一10,k10，結(jié)合（3）4WW4可求得16_2、/1

23、0J6+2阿99故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：2x?y-4=0（16-210,x.!g人1）.99點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參？，而引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法22例5設(shè)直線I過點(diǎn)P（0,3）,和橢圓Zy1順次交于A、B兩94點(diǎn)，試求奉的取值范圍？PB分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：竺二一金，但從此后卻一PBXB籌莫展，問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾

24、個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系？分析1:從第一條想法入手，詈二-卡已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量Xa,Xb,同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將Xa,xb轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直線I的方程y=kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)丁x的一元二次方程求根公式1rxa=f(k),Xb=g(k)AP/PB=(xa/xb)簡(jiǎn)解1:當(dāng)直線I垂直于x軸時(shí)，可求得竺=；PB5當(dāng)I與X軸不垂直時(shí)，設(shè)Ax

25、yi,B(X2,y2)直線I的方程為:kx3，代入橢圓方程，消去y得9k24x254kx45=0解之得x-27k69k2-5xx122_-27k+6U9k2-5當(dāng)k0時(shí),Xi2,x2=9k4所以A=_xL=-9k八9k2-5=r_18kPBx9k+29k-527k6十9正一522-:9k41_18929-9k+29k2-5因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮k0的情由=(-54k)2-1809k24-0，解得k2-5,所以一仁綜上_1乞V-1.PB5分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)

26、化為如何將所求量與k聯(lián)系起來.一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于竺=_冬不是關(guān)于Xi,X2的對(duì)稱關(guān)系式.原因找到后，解決問題的PBX2方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于Xi,X2的對(duì)稱關(guān)系式？把直線I的方程y=kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程E達(dá)定理xa+X0=f(k),xaxb=g(K)AP/PB-(xa/xb)*構(gòu)造所求鬲與k的關(guān)系式I由判別式得出k的取值范圍關(guān)于所求量的不等式簡(jiǎn)解2：設(shè)直線|的方程為：Akx3,代入橢圓方程，消去y得229k4x54kx45=0（*）-54kXiX22,9k+445X1X2=2-、9k+4令

27、竺一，則，上2琴匚X2-45k2-20在（*）中，由判別式一0,可得5,92從而有*Y.芒，所以心工噸，解得1_,_5.5結(jié)合0得到m,n的萬程思維流程:解出m,n-1r內(nèi)切圓=ADFH面積最大值為J3?%H了周長(zhǎng)匯內(nèi)切圓31轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D為橢圓短軸端點(diǎn)得出D點(diǎn)坐標(biāo)為g解題過程:(I)設(shè)橢圓方程為I3Jmx2+ny2=1(m0,n=0)將A(-2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入橢圓E的方程，得4m=1,x23y%，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓11x2y2(9解得m=-,n=_.？橢圓E的方程一+一=1mn=14343I4(H)|FH|=2,設(shè)ADFH邊上的高為Spfh二才2

28、h二h當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為.3,所以Spfh的最大值為.3.設(shè)ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R,因?yàn)锳DFH的周長(zhǎng)為定值6.所以,DFH所以R的最大值為旦.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(。逅點(diǎn)石成金:S的內(nèi)切圓=匚的周長(zhǎng)r的內(nèi)切圓例&已知定點(diǎn)C(-1,0)及橢匱相交于A,B兩點(diǎn).(I)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-*,求直線AB的方程；(H)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使MAMB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由思維流程：(I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y二k(x?1),將y二k(x1)代入x23y2=5，消去y整理得(3k21)x26k2x3k2-5=0.設(shè)人

29、(人yj,B(X2,y2),36k4-4(3k21)(3k2-5)0,貝Ui一乩白線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是得宇=一氏七，解得k=T,符合題意。所以直線AB的方程為x-、3y?1=0或x3y?1=0.(H)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使MAMB為常數(shù).x-iX2二與3k13k2一xX2qM5所以MAMB=(N-m)(X2-m)yM當(dāng)直綁B與x軸不垂直時(shí)，由(I)知2=(x，-m)(x2-m)k(x11)(x21)(2m)(3k21)2m4MAM人舄呼5需3k3-(k2-1)皿2(k2-m)(X1X2)k2m2.將代入，整理得2A16m14=m2m233(3k+1)注意到MA,MB是與k無關(guān)

30、的常數(shù)，從而有6m14=0,m-4MAMB.當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-1,2、廿2,m=7時(shí)，亦有MAMB二里.123k213綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M-7,，使MAMB為常數(shù).點(diǎn)石成金(6m-1)k2?2(加一撲亦點(diǎn)石成金：MAMB2=m22m-血牛1例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線I在y軸上的截距為m(m33(3k2+1)工0),I交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)(I)求橢圓的方程；(H)求m的取值范圍；(皿)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形思維流程：解:22=1(ab0)(1)設(shè)橢圓方程為篤芫

31、aba=2b則41la2b2a2=8解得*b2=2(n)v直線i平行于om22?橢圓方程為=1，且在y軸上的截距為m1l的方程為：y=-xm1yxm222x22mx2m2-4=0Li?直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，.B=(2m)2_4(2m2-4)0,解得-2:m0,即3+4k2_m20,8mkXiX22,3+4k24(m-3)X1X22.24k?)2+4k23+4k3(乂yd2=(kXi+m)(kX2+m)hkxMz+口?B+x2)+m2=3因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),kADkPD=-1,艮口Xi-2X2_21.yiy2X1X2-2(x2223(m-4k)4(m-3)15mk,“2“.2224=0?7m16mk4k=034k34k34kx?)4=0與已知矛盾；當(dāng)mA-2k時(shí)，I的方程y=k(x-2)，直線過點(diǎn)(2