拋物線考點與題型歸納

1、拋物線考點與題型歸納、基礎知識1 .拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點 F和一條定直線1(點F不在直線l上) 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線1叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)標準y2= 2 Px(p>0)y2= 2px(p > 0)x2= 2py(p>0)x2= 2py(p>0)方程圖形p的幾何意義：焦點 F到準線1的距離頂點O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點噓0F -p, 0F 6 P- pF 0, -2離心率e= 1準線方程x=-p 2x=p x 2y.衛(wèi)y 2y， y 2范圍x>0, yC Rx<0, yC Ry&

2、gt;0, xC Ry< 0, xC R開口方向向右向左向上向卜焦半徑(其中P(xo, yo)p |PF|=x0+2p |PF 尸-xo + 彳p PF|=y0+2_p|PF|= - yo+2、常用結(jié)論與拋物線焦點弦有關(guān)的幾個常用結(jié)論設AB是過拋物線 y2=2px(p>0)焦點F的弦，若 A(xi, yi), B(x2, y), a為弦AB的傾斜角.則(1)X1X2=%, yiy2= p2p1 + cos a(3)弦長 |AB|= X1 + X2+ p= sn.112麗+而=，(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切.考點一拋物線的定義及應用典例(1)若拋物線y2 = 4x上一點P到其焦

3、點F的距離為2,0為坐標原點，則4OFP的面積為() 1C，A.2B .13C.2D .2(2)設P是拋物線y2=4x上的一個動點，若 B(3,2),則|PB|+|PF|的最小值為 .解析(1)設P(xp, yp),由題可得拋物線焦點為F(1,0),準線方程為x=- 1.又點P到焦點F的距離為2,由定義知點P到準線的距離為 2. xp+1 = 2, .-.xp= 1.代入拋物線方程得|yp|=2,11. 一.ZOFP 的面積為 S= 2 OF | yp|= 2 X 1 X 2= 1.(2)如圖，過點B作BQ垂直準線于點 Q,交拋物線于點 Pi,則|PiQ|=|PiF|.則有|PB| 十|PF|

4、刁PiB|十|PiQ|=|BQ|=4,即 |PB|十|PF|的最小值為 4.答案(1)B (2)4變透練清1.若拋物線y2 = 2px(p>0)上的點A(xo,2)到其焦點的距離是 A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于()B. 11 A.23C.2D. 2解析：選D 由拋物線y2=2px知其準線方程為 x= §又點A到準線的距離等于點 A 到焦點的距離，3xo=xo+2， -X0=4,-A ；p,J2；,點 A 在拋物線y2=2px 上，.p2=2p>0, .,.p=2.故選 D.2 .變條件 若將本例(2)中的B點坐標改為(3,4),則|PB|+|PF|的最小值為 .解析：由題

5、意可知點(3,4)在拋物線的外部.因為|PB|+ |PF|的最小值即為 B, F兩點間的距離，所以 |PB|十 |PF|> |BF | = 22+ 42= AJ4 + 16= 2粥，即|PB|十|PF|的最小值為 2寸5.答案：2 53 .已知拋物線方程為 y2=4x,直線l的方程為x-y+ 5=0,在拋物線上有一動點 P到 y軸的距離為di,到直線l的距離為d2,則di+d2的最小值為 .解析：由題意知，拋物線的焦點為F(1,0).點P到y(tǒng)軸的距離di=|PF|-1,所以 di + d2 = d2+|PF| 1.易知d2+|PF|的最小值為點F到直線l的距離,故d2+|PF|的最小值為

6、|1 + 5|叱2+ - 1 2所以d1 + d2的最小值為3啦1.答案:3*-1解題技法與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的相互轉(zhuǎn)化.(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最 短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中，垂線段最短”解決.考點二拋物線的標準方程及性質(zhì)典例(1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點 P(4, 2)的拋物線的標準方程是()A .y2= xB .x2= 8yC.y2= 8x或 x2= yD.y2=_x

7、或 x2=8y(2)(2018北京高考)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2= 4ax截得的線 段長為4,則拋物線的焦點坐標為 .解析(1)(待定系數(shù)法)設拋物線為y2=mx,代入點P(-4, 2),解得m= 1,則拋 物線方程為y2=x;設拋物線為x2=ny,代入點P(-4, 2),解得n=-8,則拋物線方 程為 x2 = - 8y.(2)由題知直線l的方程為x=1,則直線與拋物線的交點為(1, ±Va)(a>0).又直線被拋物線截得的線段長為 4,所以 4>/a= 4,即 a= 1.所以拋物線的焦點坐標為(1,0).答案(1)D (2)(1,0)解題

8、技法1 .求拋物線標準方程的方法及注意點(1)方法求拋物線的標準方程的主要方法是定義法和待定系數(shù)法.若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p),那么只需求出p即可；若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設為 y2=ax(aw0), a的正負由題設來定；焦點在 y軸上的拋物線 的標準方程可設為 x2=ay(aw0),這樣就減少了不必要的討論.(2)注意點當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；要掌握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關(guān)系；要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題.2 .拋物線性質(zhì)的應用技巧

9、(1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標準方程.(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算.題組訓練1.(2019哈爾濱模擬)過點F(40,3)且和直線y+ 3= 0相切的動圓圓心的軌跡方程為 ()A. y2= 12xB. y2=12xC. x2=- 12yD. x2= 12y解析：選D 由拋物線的定義知，過點F(0,3)且和直線y+3=0相切的動圓圓心的軌跡是以點F(0,3)為焦點，直線y=3為準線的拋物線，故其方程為x2=12y.2,若雙曲線 C: 2x2y2=m(m>0)與拋物線y2=16x的準線交于 A, B兩點，且|AB| = 443,則

10、m的值是.解析：y2=l6x的準線l： x=- 4,因為C與拋物線y2=16x的準線l: x=4交于A, B兩點，|AB|=4V3,設A在x軸上方，所以 A(4,2也)，B(-4, -23),將A點坐標代入雙曲線方程得2X ( 4)2 (273)2= m,所以m= 20.答案：203.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若 FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為 .解析：由4FPM為等邊三角形，得|PM|=|PF|,由拋物線的定義得 PM垂直于拋物線的m2 p , 2p+2=4,準線，設P m, mp ,則點 Mm, p ,因

11、為焦點 F 0, p , AFPM是等邊三角形，所以m2 = 12,p+2 2+m2=4,解得因此拋物線方程為 x2=4y.p=2,答案：x2 = 4y考點三直線與拋物線的綜合問題考法(一)直線與拋物線的交點問題典例(2019武漢部分學校調(diào)研)已知拋物線C： x2=2py(p>0)和定點M(0,1),設過點 M的動直線交拋物線 C于A, B兩點，拋物線 C在A, B處的切線的交點為 N.若N在以AB 為直徑的圓上，則 p的值為.解析設直線 AB: y=kx+1, A(xi, y1), B(x2, y2),將直線AB的方程代入拋物線 C的方程得x2-2pkx-2p=0,則 xi + x2=

12、2pk, xix2= 2p.由 x2=2py 得 y' =x, pxix22則A, B處的切線斜率的乘積為 _p2_= p,點N在以AB為直徑的圓上，AN± BN,=-1 , ，p=2.答案2解題技法直線與拋物線交點問題的解題思路求交點問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組.(2)與交點相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決.考法(二)拋物線的焦點弦問題典例(2018全國卷H)設拋物線 C： y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線 l與C交于A, B兩點，|AB|=8.求l的方程；(2)求過點A, B且與C的準線相切的圓的方程.解：(1)由題

13、意得F(1,0), l的方程為y= k(x-1)(k>0).設 A(xi, y1), B(x2, y2),y= k x 1 ,由得 k2x2 (2 k2+ 4)x+ k2 = 0.y2= 4x2k2+4A= 16k2+16>0,故 x+x2=-k2.4k2+ 4所以 |AB|= |AF|+ |BF|=(x + 1)+ (x2 + 1)= 秒.4k2 + 4由題設知一k2 = 8,解得k= 1或k= 一 1(舍去).因此l的方程為y=x1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為V 2 = (x 3),即 y= x+ 5.設所求圓的圓心坐標為(xo, y

14、o),yo= xo + 5,則yo xo+ 1 八,，xo+1 2=2+ 16.xo= 3,xo= 11,解得或yo= 2yo= - 6.因此所求圓的方程為 (x- 3)2+ (y- 2)2 = 16 或(x- 11)2+ (y+ 6)2= 144.解題技法解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式 AB|=x1 + x2+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式.(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設而 不求”、“整體代入”等解法.提醒涉及弦的中點、斜率時一般用“點差

15、法”求解.題組訓練1. (2018全國卷I )設拋物線C: y2=4x的焦點為F,過點(一2,0)且斜率為2的直線與C3交于M, N兩點，則FM FN =()A. 5B. 6C. 7D. 82解析：選D 由題息知直線 MN的萬程為y=(x+2),3> >.FM = (0,2), FN =(3,4). > >.FM ,fn =0X3+2X4=8.2.已知拋物線y D.6解析：選D 由拋物線y=px2(其中p為常數(shù))過點A(i,3),可得p=3,則拋物線的標準方程為x2=1y,則拋物線的焦點到準線的距離等于t.故選D. 62.過點P(2,3)的拋物線的標準方程是()9 4y

16、2= 2x 或 x2= 3y=16x的焦點為F,過F作一條直線交拋物線于A, B兩點，若RF| =6,則 |BF尸.解析：不妨設A(xi,yi),B(x2,y2)(A在B上方)，根據(jù)焦半徑公式|AF |= xi + p=xi +4 =6,所以xi=2, 丫1=4小，所以直線AB的斜率為 k=仝叵=2戲，所以直線方程為y=- 2-4242(x 4),與拋物線方程聯(lián)立得 x2-i0x+i6=0,即(x2)(x8)=0,所以 x2=8,故|BF| = 8+4= i2.答案：i2課時跟檢測A級1. (2018永州三模)已知拋物線y=px2(其中p為常數(shù))過點A(1,3),則拋物線的焦點到準 線的距離等

17、于()9B.y2= 9x 或 x2= 4y 23A.2 94C.y2= 2x 或 x2= - 3yD.y2= - 9x 或 x2= - 4y9斛析：選A 設拋物線的標準方程為y2= kx或x2 = my,代入點p( 2,3),解得k=,m=3，所以 y2= - x 或 x2= 3y.3. （2019龍巖質(zhì)檢）若直線AB與拋物線4也則拋物線的焦點到直線AB的距離為（y2=4x交于A, B兩點，且 AB，x軸，AB| =B.D.A. 1C. 3解析：選A 由|AB|=4#及AB，x軸，不妨設點A的縱坐標為2y2,代入y2=4x得點A的橫坐標為2,從而直線AB的方程為x=2.又y2=4x的焦點為（1

18、,0）,所以拋物線的焦點到直線AB的距離為21 = 1,故選A. x2入4. （2018齊齊哈爾八中二模）已知拋物線C: y=g的焦點為F, A（x°, yo）是C上一點，且|AF|=2yo,則 xo=（）A. 2B. ±2C. 4D. ±4x2 解析：選D 由y = g,得拋物線的準線為 y=2,由拋物線的幾何意義可知，|AF| =2yo = 2+yo,得 yo=2,所以 xo= ±4 故選 D.5. （2019湖北五校聯(lián)考）直線l過拋物線y2= 2px（p>0）的焦點，且與該拋物線交于 A, B兩點，若線段 AB的長是8, AB的中點到y(tǒng)軸的距

19、離是2,則此拋物線的方程是（）A . y2= 12xB . y2=8xC. y2= 6xD . y2 = 4x解析：選B 設A（x1，y1）, B（x2, y2）,根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=（x + x2） + p= 8.又x1 + x2AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2,二.一一2-=2,，xi + x2= 4,，p=4, 所求拋物線的方程為y2= 8x.故選 B.6.已知點A（0,2）,拋物線Ci： y2=ax（a>0）的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點 M,與其準線相交于點 N.若|FM| ： |MN|= 1 ：乖，則a的值為（）11A.4B.2C. 1D. 4a解析：選D 依題息

20、，點F的坐標為r0 ,設點M在準線上的產(chǎn)射影為K,由拋物線的定義知|MF|=|MK|,|KM| ： |MN|=1 ：吊5,則|KN|：葉長_一-8IKNI8|KM|=2 ： 1；kFN=o- = a，kFN = 扁=2,= 2,解得 a = 4."彳 /一口7. 拋物線x2= - 10y的焦點在直線 2mx+ my+1=0上，則 m=.解析：拋物線的焦點為 0, 2 ,代入直線方程2mx+my+ 1 = 0,可得m= 1.552 答案：58. (2019沈陽質(zhì)檢)已知正三角形 AOB(O為坐標原點)的頂點A, B在拋物線y2=3x上， 則 AOB的邊長是.解析：如圖，設4AOB的邊長

21、為a,則A 3a, 2a，;點A在拋物 什線 y2 = 3x 上，4a2=3x 當 a,，a=6V3.飛答案：6 .'3x29. (2018廣州一模)已知拋物線 y2=2px(p>0)的焦點F與雙曲線y2=1的右焦點重合，若A為拋物線在第一象限上的一點，且|AF|=3,則直線AF的斜率為 .x2解析：二.雙曲線不一y2=1的右焦點為(2,0), 拋物線萬程為y2=8x, .|AF|=3,，xa+2 3=3,得xa=1,代入拋物線方程可得 yA=±R2；點A在第一象限，A(1,2/2),直線AF的斜率為普=2/.答案：-2星10.已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物

22、線交于 A, B兩點，過A, B分別作y 軸的垂線，垂足分別為C, D,則|AC|+|BD |的最小值為 .解析：由題意知 F(1,0), |AC|+|BD|= AF|+|FB|2= |AB|2,即 |AC|十|BD|取得最小值時當且僅當AB|取得最小值.依拋物線定義知當|AB|為通徑，即|AB|= 2P=4時為最小值，所以|AC|十|BD|的最小值為2.答案：211.已知拋物線y2= 2px(p>0)的焦點為F, A是拋物線上橫坐標為4,且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于 5,過A作AB垂直于y軸，垂足為B, OB的中點為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNLFA,垂

23、足為N,求點N的坐標.解：(1)拋物線y2= 2px(p> 0)的準線為x= 2，于是 4+p= 5, .,.p = 2.拋物線方程為y2=4x.(2) .點A的坐標是(4,4),由題意得 B(0,4), M(0,2).4又. F(1,0), .kFA = -,33. MN ±FA, - -kMN=-. '44FA的萬程為y= z(x- 1),3MN的方程為y-2 = -3x,4聯(lián)立，解得x= 8, y = 4, 55一 8 4.點N的坐標為5, 5 .12.已知拋物線 C： y2 = 2px(p>0)的焦點為F,拋物線C與直線li： y= x的一個交點 的橫坐標

24、為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A, B,若線段AB的中點為P,且|OP|= |PB|,求 FAB的面積.解：(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8, 8),. (8)2 = 2pX8, .2p=8,，拋物線C的方程為y2= 8x.(2)直線l2與1i垂直，故可設直線l2： x=y+m, A(xi, y1)，B(x2, y2),且直線l2與x軸的交點為M.得 y2 8y 8m = 0,y2= 8x,由x= y+ m,A= 64+32m>0, ，m>2.yi+y2=8, yiy2=8m,2 2.xiX2 = y= m2.64由

25、題意可知 OAOB,即 X1X2+yiy2=m28m= 0,.m = 8或m= 0(舍去)，.直線 12： x= y+8, M(8,0).故 Szfab = Sfmb + Szfma =2 FM | yi p y21= 3y yi+ y2 2 - 4yiy2 = 24/5.1.設拋物線C: y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為1, MCC,以M為圓心的圓M與準線l相切于點Q, Q點的縱坐標為43p, E(5,0)是圓M與x軸不同于F的另一個交點，則 p=()B. 2D. 4A. 1C. 3解析：選B 如圖，拋物線C: y2=2px(p>0)的焦點F 2，0 ,由Q 點的縱坐標為

26、43P知M點的縱坐標為M3p,則M點的橫坐標x= 3p,即M 3p, 帆.由題意知點M是線段EF的垂直平分線上的點，3p= -2-2 + 2-,解得p= 2.故選B.2. (2018全國卷出)已知點M(1,1)和拋物線C: y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直 線與C交于A, B兩點.若/ AMB=90°,則k=.解析：法一：設點 A(x1, y1), B(x2, y2),2 y1= 4xi ,則.y2 y2= 4(xi x2),y2= 4x2,y1 y24 k=.xi x2 y1 + y2設AB中點M' (x。，y。)，拋物線的焦點為 F,分別過點A, B作準線x=- 1的垂線，垂，11 _則|MM' |=2|AB| = 2(|AF|+|BF|)1 ， 一，=2(四 |十|BB，|).M' (xo, yo)為 AB 的中點，.M為A' B'的中點，MM'平行于x軸，yi + y2=2,，k=2.法二：由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1,0),設直線方程為y=k(x1),直線方程與y2=4x聯(lián)立，消去v,得 k2x2-(2k2+4)x+ k2= 0.