函數(shù)的連續(xù)性與間斷性

1、一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量相相稱稱為為函函數(shù)數(shù))(, )()()()(000 xfxfxxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy .,),(,),()(0000的的增增量量稱稱為為自自變變量量在在點點內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxxxxUxfU .x的的增增量量應(yīng)應(yīng)于于 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義000lim ()( )xf xxf x :定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01s

2、inlim0 xxx因為因為, 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在開區(qū)間（在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點都連續(xù)

3、的函數(shù)）內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點點內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例例2 2.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx因因為為.2sin2xy

4、 從從而而,0,時時當(dāng)當(dāng)對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng)所以所以.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對對任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy二、函數(shù)的間斷點;)1(0沒沒有有定定義義在在xx ;)(lim,)2(00不不存存在在但但有有定定義義雖雖在在xfxxxx ).()(lim,)(lim,)3(0000 xfxfxfxxxxxx 但但存存在在且且有有定定義義雖雖在在).()(),()(00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點稱為函數(shù)稱為函數(shù)而點而點或間斷或間斷為不連續(xù)為不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則則xfxxxf在在此此前前提提的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)

5、有有定定義義在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(0 xxf:)x(f,有有下下列列三三種種情情形形之之一一如如果果函函數(shù)數(shù)下下1.1.定義定義例例3是是函函數(shù)數(shù)所所以以點點處處沒沒有有定定義義在在正正切切函函數(shù)數(shù)2,2tan xxxy的的間間斷斷點點. .因因xtan,tanlim2 xx.tan2的無窮間斷點的無窮間斷點為函數(shù)為函數(shù)稱稱xx yxo22232.2.間斷點舉例間斷點舉例例例4 4.01sin處處沒沒有有定定義義在在函函數(shù)數(shù) xxy之之間間與與函函數(shù)數(shù)值值在在時時當(dāng)當(dāng)11,0 x稱稱所以點所以點變動無限多次變動無限多次0, x.1sin的的振振蕩蕩間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)x-0.4-0.2

6、0.20.4x-1-0.50.51Sin1x例例5所所以以函函數(shù)數(shù)在在點點沒沒定定義義在在點點函函數(shù)數(shù),1112 xxxy但但這這里里為為不不連連續(xù)續(xù).1 x. 2)1(lim11lim121 xxxxx如果補充分定義：令如果補充分定義：令x=1x=1時時y=2y=2，則所給函數(shù)在則所給函數(shù)在x=1x=1成為連續(xù)成為連續(xù). .所以所以x=1x=1稱為該函數(shù)的可去間斷點稱為該函數(shù)的可去間斷點. .yxo211例例6 6函數(shù)函數(shù), 1lim)(lim11 xxfxx這這里里).1()(lim1fxfx 因此，點因此，點x=1x=1是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的間斷點的間斷點. .但如果改變函但如果改變函數(shù)數(shù)f(x)f(x)在在x=1x=1處的定義：令處的定義：令f(1)=1f(1)=1，則，則f(x)f(x)在在x=1x=1成為連續(xù)成為連續(xù). .所以所以x=1x=1也稱為該函數(shù)的可去間斷點也稱為該函數(shù)的可去間斷點. .所以所以但但,21)1( f1211xyo 1,1,)(21xxxxfy例例 .0,1,0,0,0,1)(xxxxxxf,0,時時當(dāng)當(dāng)這里這里x. 1)1(lim)(lim, 1)1(lim)(lim0000 xxfxxfxxxx的的間間是是函函數(shù)數(shù)所所以以點點不不存存在在故故極極限限)(0,)(lim0 xfxxfx 函函數(shù)數(shù)0,0)(. xxxfy稱稱處處產(chǎn)產(chǎn)生生跳