導數(shù)定義及公式

1、導數(shù):1. 若f(x)=c,則f'(x)=若f(x)=xn(nCQ?),則f(x)=若f(x)=sinx,則f(x)=若f(x)=cosx，則f'(x)=若f(x)=，則f'(x)=若f(x)=，則f'(x)=若f(x)=logax,則f'(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=【f(x)士g(x)=【f(x).g(x)="rf(x【丁丁】=g(x)【cf(x)=y=f(u),u=g(x)，則y=f(g(x)；yx=sin2x=(e-x)=#導數(shù)：一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是?x?x0x?x0一'<-一<

2、;mAvf(x)或y|x=X0。即f(X0)=一A"f(xo+?x)-f(xo),稱函數(shù)y=f(x)在x=x°處的導數(shù),記作:limAy_limf(xo+?x)-f(xo)o?x0Ax?x0?x#函數(shù)y=f(x)在點xo處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(xo,f(xo處的切線斜率，也就是說曲線y=f(x)在點P(xo,f(xo)處的切線斜率是f'(X0)。相應地，過p點的切線方程為：y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)#導函數(shù)：如果函數(shù)y=f就說函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，則f(x)函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f(x)在開區(qū)間(a,b)

3、內每一點都可導,a,b)內可導。若函數(shù)f(x)在開區(qū)間在(a,b)內每一點的導數(shù)構成一個新(x)在開區(qū)間(a,b)內的導函數(shù)(簡稱導數(shù))記作f(x)或y或yx。即f'(x)=y="公=肺心坦?x0Ax?xf?x、函數(shù)的單調性一般地，與其導函數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間(a,b)內,如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f(x)<0那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞減。.如果f'(x)>0,則f(x)嚴格增函數(shù)；如果f'(x)<0,則f(x)嚴格減函數(shù)。.如果在(a,b)內恒有f'(x)=

4、0,那么f(x)在(a,b)內是常數(shù)。.f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分而不必要條件。求函數(shù)單調區(qū)間的步驟：1 .確定y=f(x)的定義域；.求導數(shù)f(x)，求出f'(x)=0的根；3.函數(shù)的無定義點和f(x)=0的根將f(x)的定義域分成若干區(qū)間，列表考查這若干區(qū)間內f'(x)的符號，進而確定f(x)的單調區(qū)間。注意：A.如果一個函數(shù)具有相同單調性的區(qū)間不止一個，哪個這些單調區(qū)間不能用“u”連接，只能用逗號或“和”字隔開。B.求函數(shù)單調區(qū)間時易忽視函數(shù)的定義域。應優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域。二、函數(shù)的極值：1.定義，設函數(shù)f（x）在點X0附近有定義，如

5、果對X0附近的所有點，都有f（X）f（X0）,則稱f（X0）是函數(shù)f（X）的一個極大值；如果對X0附近的所有點，都有f（X）f（X0），則稱f（X。）是函數(shù)f（X）的一個極小值。極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱極值。2.判斷f（X0）是極大值或極小值的方法：第一步，確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f'（X）;第二步，求方程f（x）=0的根；第三步，檢查f'（X）在f'（x）=0的根左右兩側的值的符號；1 .如果“左正右負”，那么f（X）在這個根處取到極大值；2 .如果“左負右正”，那么f（X）在這個根處取到極小值；3 .如果左右不改變符號，即都為正或都為負，則f

6、（x）在這個根處無極值。在此步聚中，最好利用方程f'（X）=0的根，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個開區(qū)間，并列表，依表格內容得出結論。函數(shù)在極值點的導數(shù)為0,但導數(shù)為0的點不一定是極值點，如函數(shù)f（x）=?弩點x=0就不是極值點，但？（0）=0;函數(shù)的極大值不一定大于極小值；在給定的一個區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個極值點，也可能不存在極值點三函數(shù)的最值：設函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)，y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有導數(shù)，求y=f(x)在a,b上的最大值與最小值，其步驟為：先求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內的極值；再將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點的函數(shù)值f(a)、f(b)比

7、較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。如果在區(qū)間a,b上，函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則函數(shù)在a,b上一定能夠取得最大值和最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點或端點處取得。提示：1 .若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調遞增，則f(a)為最小值，f(b)為最大值；若若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調遞減，則f(a)為最大值,f(b)為最小值。2 .圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)問(a,b)上不一定有最大(小)值，如果圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)問(a,b)上只有一個極值，則該極值就是最值。3 .函數(shù)的極值不一定是最值，求函數(shù)的最值與函數(shù)的極值不同的是，在求可導函數(shù)的最值時，不需要

8、對各導數(shù)為0的點討論，其是極大值還是極小值，只需將導數(shù)為0的點的函數(shù)和端點函數(shù)值時行比較。在解決實際生活中優(yōu)化問題注意事項：1必須考慮是否符合實際意義2只有一個點使f'(x)=0的情形，如果在點有最大(小)值，不與端點比較也能知道是最大(小)值。3不僅注意將問題涉及變量關系用函數(shù)關系表示出來,而且還應確定函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)問。四.定積分及應用定積分定義：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)用分點a=x0<X1<?<Xj.1<Xj<xn=b,將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間Xj-1,Xj上任取一點j(i=1,2,3,?n),作和式巖&quo

9、t;3)?x=津i牛f(Q，當n-8時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上定積分，記作af(x)dx。即af(x)dx=n*mHif(')其中f(x)叫做被積函數(shù)，a做積分下限，b做積分上限。定積分/f(x)dx不是一個表達式，是一個常數(shù)。a定積分幾何意義：從幾何上看，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)且恒有f(x)ao,那么定積分ff(x)dx表示直線ax=a,x=b(a乒b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積；定積分性質：/kf(x)dx=k/f(x)dx(k為常數(shù))aa/f(x)士g(X)dx=?f(x)dx士/g(x)dxaaa/

10、f(X)dx=-/f(x)dxab以上是線性性質，下面是對區(qū)間可加性ff(x)dx="f(x)dx+ff(x)dx(a<?<?微積分基本定理-牛頓-萊布尼茲公式一般地，如果f(x)在區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)=f(x),那么/f(x)dx=F(b)F(a)。a定積分的簡單應用：一、求平面圖形面積的應用1.定積分與平面圖形面積的關系通過定積分運算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可以取正也可以取負，也可為0.(1)當對應的曲邊梯形位于X軸上方，定積分值取正值，且等于曲邊梯形的面積；(2)當對應的曲邊梯形位于X軸下方，定積分值取負值，且等于曲邊梯形面積的相反數(shù)；(3)當位于X軸上方的曲邊梯形的面積等于位于X軸下方的曲邊梯形的面積時，定積分的值為0,且等于位于X軸上方的曲邊梯形的面積減去位于X軸下方的曲邊梯形的面積。