平面向量心問題

1、平面向量和三角形的“四心”問題例1、（1）點(diǎn)P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若凡瓦二瓦虱二瓦.瓦，則？是左ABC的（）.（2）已知0是/ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若=OC則0是/ABC的（）（3）點(diǎn)0為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果OAOB=OBOC=OC0A,貝（。必為zxab®（）（4）已知。為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足222222oa|+|bc|=|ob|+網(wǎng)=|oc|+網(wǎng)，則點(diǎn)。是ABC（）（5）點(diǎn)P在ABCrt一點(diǎn)，使AP2+BP2+CP2取得最小值時(shí)，點(diǎn)PAABCS（）A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心例2、點(diǎn)0是平面上一定點(diǎn)，AB、C是平面上不共線的三點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P滿足下列條件時(shí)，P的軌跡

2、一定通過ABC的（）（1）動(dòng)點(diǎn)P滿足：。尸二。+力（朋；ABAC、（2）動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=0A*（=）ABAC*（0.+*）?,，-ABAC一（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足0*"辛+辛），（0"）；AB(4)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+"AC+)ABlsinBACsinC.（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心例3、已知O為ABC的夕卜心）求證："OAsinBOC+OBsinAOC+OCsinAOB=0分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明.如圖3,C(x3,y3)Bg,y2)X以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B在x軸的正半軸，C在x軸的上方.SwOB=1X2y。,2直線BC的方程是y3x+（X2-0y-X2

3、y3=0,由于點(diǎn)A與點(diǎn)O必在直線BC的同側(cè)，且乂2尸3<°,因E匕有X）y3為尸0十乂2尸0X2y3<。,得c1,、SABOC=匚以3尸0+X2y3X°y3X2y0）.2直線AC的方程是yXXy=0，由于點(diǎn)（1,0）與點(diǎn)O必在直線AC的同側(cè)，且尸3尺1X3X0A0,因E匕有X0y3X3y°A0,得，aoc=；（X°y3X3y°）于是，容易驗(yàn)證，OASboc+OBSAOCOCSaAOB-0,乂ciLKeSaboc弓|OB|OC|sinBOC,Sea=1|OB|OA|sinAOB,SAao1|OA|OC|sinAOC，乂|OA|=|OB

4、|=|OC|,貝1所22證成立.例4、AABC的外接圓的圓心為。，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,4T4OH=m（OA+OB+OC），則實(shí)數(shù)m=.分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識(shí)推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要的一點(diǎn)是缺乏幾何直觀.解法如下，由已知，有向量等式ah：Bc=0,將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有(OH-OA)HOC-OB)=0,將已知代入，有4414Tm(OA+OB十OC)OAQ；OCOB)=0,即m(O?-OB)+(m-1)OAC=0,由。是夕卜心，得(i)oA_b=0,由于aabc是任意三角形，則OAjBC不恒為0,故只有m=1恒成立.或者，過點(diǎn)O作OM_LBC與M

5、,則M是BC的中點(diǎn)，有OM=：(OB+OC*)；H是垂心，貝UAH_LBC，故AH與OM共線，設(shè)AH=kOM,貝UOH=OA+AH=OA+3(OB+OC),乂OH=m(OAOB+OC),故可得一kk(m-1)OA+(m-/OB+(m一五)。=0,佰m_1=m-；=0，彳寸m=1.到三角形的重心坐標(biāo)公式，設(shè)三角形的重心為G,。是平面內(nèi)任一點(diǎn)，均有TT1OAOBOCOG=由題意,題目顯然敘述根據(jù)已知式子OH=m(OA+OB+OC)中的OA+OB+OC部分，很容易想的是一個(gè)一般的結(jié)論，先作圖使問題直觀化，如圖1,由圖上觀察，很容易猜想到HG=2GO,至少有兩個(gè)產(chǎn)生猜想的誘因，其一是，BF,OT均與三

6、角形的邊AC垂直，則BF/OT；其二，點(diǎn)G是三角形的中線BT的三等分點(diǎn).此時(shí)，會(huì)先猜想BHGszXTOG,但現(xiàn)在缺少一個(gè)關(guān)鍵的條件，即BH=2OT,這樣由兩個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例，同時(shí)，夾角對(duì)應(yīng)相等可得相似.當(dāng)然，在考試時(shí)，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行證明.本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理,即設(shè)。GH分別是ABC的外心、重心和垂心，UQGH三點(diǎn)共線，且OGGH=1：2,利用向量表小就是oh=3OG.例5、已知向量o?,op2,op3滿足條件涼+B+op3=0,|。引=|。已|=|我|,求證：prp3是正三角形.分析對(duì)于本題中的條件茄閂OP?|=|甜=1，容易想到，點(diǎn)O是AFIP2P3的外心，而另一個(gè)條件o?+op2+op3=0表明，點(diǎn)。是P1P2P3的重心.故本題可描述為，若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，則該三角形