總結(jié)材料力學、彈性力學、有限元三門課程解決問題的思路和步驟-指出其異同點

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上總結(jié)材料力學、彈性力學、有限元三門課程解決問題的思路和步驟，指出其異同點航天航空學院1334班 艾松 學號：名稱材料力學彈性力學有限元英文名稱Mechanics of materialsTheory of elasticityFEA，F(xiàn)inite Element Analysis定義材料力學(Mechanics of materials)是研究工程結(jié)構(gòu)中材料的強度和構(gòu)件承載力、剛度、穩(wěn)定的學科。研究材料在各種下產(chǎn)生的、強度、剛度、穩(wěn)定和導致各種材料破壞的極限。材料力學與理論力學、結(jié)構(gòu)力學并稱三大力學。彈性力學（Theory of elasticity，也稱彈性理論）研

2、究彈性體在荷載等外來因素作用下所產(chǎn)生的應力、應變、位移和穩(wěn)定性的學科。主要研究在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應力、應變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或中所提出的強度和問題。是材料力學、和某些交叉學科的基礎(chǔ)。有限元法（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成

3、為行之有效的工程分析手段。研究對象材料力學基本上只研究桿狀構(gòu)件。彈性力學研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。連續(xù)體、離散體、混合系統(tǒng)/結(jié)構(gòu)，包括桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構(gòu)成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性體。研究內(nèi)容在人們運用材料進行、生產(chǎn)的過程中，需要對材料的實際承受能力和內(nèi)部變化進行研究，這就催生了材料力學。運用材料力學知識可以分析材料的、剛度和。材料力學還用于機械設(shè)計使材料在相同的強度下可以減少材料用量，優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計，以達到降低成本、減輕重量等目的。在材料力學中，將研究對象被看作均勻、連續(xù)且具有各向同性的線性彈性物體。但在實際研究中不可能會有符合這些條件的材料，所以須要各種

4、理論與實際方法對材料進行實驗比較。材料力學研究內(nèi)容包括兩大部分：一部分是材料的（或稱機械性能）的研究，而且也是其他分支的計算中必不可缺少的依據(jù)；另一部分是對桿件進行力學分析。桿件按受力和變形可分為、(見柱和拱)、受彎曲（有時還應考慮剪切）的梁和受扭轉(zhuǎn)的軸等幾大類。桿中的內(nèi)力有軸力、剪力、彎矩和扭矩。桿的變形可分為伸長、縮短、撓曲和扭轉(zhuǎn)。彈性力學研究和所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應力-應變關(guān)系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學三大基本規(guī)律。彈性力學中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導出來。連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學在考慮物體的變形時，只考慮經(jīng)過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的

5、物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。這里主要使用數(shù)學中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。數(shù)學彈性力學的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲、問題、變截面軸扭轉(zhuǎn)，回轉(zhuǎn)體軸對稱變形等方面。在近代，經(jīng)典的彈性理論得到了新的發(fā)展。例如，把切應力的成對性發(fā)展為極性物質(zhì)彈性力學；把協(xié)調(diào)方程(保證物體變形后連續(xù)，各應變分量必須滿足的關(guān)系)發(fā)展為非協(xié)調(diào)彈性力學；推廣胡克定律，除機械運動本身外，還考慮其他運動形式和各種材科的物理方程稱為本構(gòu)方程。對于彈性體的某一點的本構(gòu)方程，除考慮該點本身外還要考慮彈性體其他點對該點的影響，發(fā)展為非局部彈性力學等。雖然彈性力學和都研究桿狀構(gòu)件，但前者

6、所獲得的結(jié)果是比較精確的。桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構(gòu)成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動力問題）。能求解各類場分布問題（場、等的穩(wěn)態(tài)和問題），水流管路、電路、噪聲以及、流體、溫度的問題。解決問題的思路和步驟（基本方程）根據(jù)(Hooke's law)，在彈性限度內(nèi)，材料的應力與應變成線性關(guān)系。在處理具體的桿件問題時，根據(jù)材料性質(zhì)和變形情況的不同，可將問題分為三類：線彈性問題。在桿變形很小，而且材料服從的前提下,對桿列出的所有方程都是線性方程,相應的問題就稱為線性問題。對這類問題可使用疊加原理，即為求桿件在多種外力共同作用下的變形(或內(nèi)力)，可先分別求出各外力單獨

7、作用下桿件的變形(或內(nèi)力)，然后將這些變形（或內(nèi)力）疊加，從而得到最終結(jié)果。幾何非線性問題。若桿件變形較大，就不能在原有幾何形狀的基礎(chǔ)上分析力的平衡，而應在變形后的幾何形狀的基礎(chǔ)上進行分析。這樣，力和變形之間就會出現(xiàn)非線性關(guān)系，這類問題稱為幾何非線性問題。物理非線性問題。在這類問題中，材料內(nèi)的變形和內(nèi)力之間（如應變和應力之間）不滿足線性關(guān)系，即材料不服從胡克定律。在幾何非線性問題和物理非線性問題中，疊加原理失效。解決這類問題可利用卡氏第一定理、克羅蒂恩蓋塞定理或采用單位載荷法等。在許多工程結(jié)構(gòu)中，桿件往往在復雜載荷的作用或復雜環(huán)境的影響下發(fā)生破壞。例如，桿件在交變載荷作用下發(fā)生疲勞破壞,在高溫

8、恒載條件下因蠕變而破壞,或受高速動載荷的沖擊而破壞等。這些破壞是使機械和工程結(jié)構(gòu)喪失工作能力的主要原因。所以，材料力學還研究材料的疲勞性能、蠕變性能和。材料力學基本公式（解決問題方法）：一、應力與強度條件拉壓：剪切：擠壓：圓軸扭轉(zhuǎn)： 平面彎曲： 斜彎曲：拉（壓）彎組合： 圓軸彎扭組合： 第三強度理論 第四強度理論 二、變形及剛度條件拉壓：扭轉(zhuǎn)： 彎曲：(1)積分法： (2)疊加法：=+ =三、應力狀態(tài)與強度理論二向應力狀態(tài)斜截面應力： 二向應力狀態(tài)極值正應力及所在截面方位角：二向應力狀態(tài)的極值剪應力：三向應力狀態(tài)的主應力：最大剪應力：二向應力狀態(tài)的廣義胡克定律：（1）、表達形式之一（用應力表示

9、應變）（2）、表達形式之二（用應變表示應力） 三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律： 強度理論（1） （2） 平面應力狀態(tài)下的應變分析（1） （2）求解一個彈性力學問題，就是設(shè)法確定彈性體中各點的位移、應變和應力共15 個函數(shù)。從理論上講，只有15個函數(shù)全部確定后，問題才算解決。但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個函數(shù)，有時甚至只是物體的某些部位的某幾個函數(shù)。所以常常用實驗和數(shù)學相結(jié)合的方法，就可求解。下的彈性力學的基本方程為：平衡微分方程（1）幾何方程（2）物理方程（3）(1)式中的x、y、z、yz=zy、xz=zx、xy=yx為應力分量，X、Y、Z為單位體積的體力在三個的分量；(2)式

10、中的u、v、w為位移矢量的三個分量（簡稱位移分量），x、y、z、yz、xz、xy為應變分量；(3)式中的E和v分別表示和。在物體的表面，如已知面力，則邊界條件表示為：邊界條件（4）（4）式中的 、表示作用在物體表面的單位上的面力矢量的三個分量，l、m、n表示物體表面外法線的三個方向余弦。如物體表面位移、已知，則邊界條件表示為u=、v=、w= （5）因此，彈性力學問題歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解一組偏微分方程的問題。主要解方程(1)、(2)、(3)中有15個變量，15個方程，在給定了邊界條件后，從上講應能求解。但由(2)、(3)式可見，應變分量、應力分量和位移分量之間不是彼此獨立的，因此求解彈性

11、力學問題通常有兩條途徑。其一、是以位移作為基本變量，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解以位移表示的平衡，這個方程可以從(1)、(2)、(3)式中消去應變分量和應力分量而得到。其二、是以應力作為基本變量，應力分量除了要滿足平衡和靜力邊界條件外，為保證物體變形的連續(xù)性，對應的應變分量還須滿足相容方程：相容方程（6）這組方程由幾何方程消去位移分量而得到。對于不少具體問題，上述還可以簡化。在彈性力學中，為克服求解偏微分方程(或方程組)的困難，通常采用試湊法，即根據(jù)物體形狀的幾何特性和受載情況，去試湊位移分量或應力分量；由彈性力學解的唯一性定理，只要所試湊的量滿足全部方程和全部邊界條件，即為問題的精確解。從數(shù)

12、學觀點來看，彈性力學方程的定解問題可變?yōu)榍蠓汉臉O值問題。例如，對于用位移作為基本變量求解的問題，又可以歸結(jié)為求解變分方程：1=0（7）1是物體的總勢能，它是一切滿足位移邊界條件的位移的泛函。對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，精確的位移將使總勢能1取最小值的稱為。又如對于用應力作為基本變量求解的，可歸結(jié)為求解變分方程：2=0（8）2為物體的總，它是一切滿足平衡微分方程和靜力邊界的應力分量的。精確的應力分量將使總余能 2取最小值的稱為最小余能原理。(7)式等價于用位移表示的平衡微分方程和靜力邊界條件，而(8)式則等價于用應力表示的相容方程。在求問題的近似解時，上述泛函的極值問題又進而變?yōu)楹瘮?shù)的極值問題，最后歸結(jié)

13、為求解線性非齊次代數(shù)方程組。還有所謂的廣義變分原理，其中最一般的是廣義勢能原理和廣義余能原理，它們等價于彈性力學的全部基本方程和邊界條件。但和總勢能1和總余能2不同，廣義勢能和廣義余能作為應力分量、應變分量和位移分量的泛函，對于精確解，也只取非極值的駐值。有限元方法（FEM）的理論基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法。 仍然遵從平衡方程、幾何方程、本構(gòu)方程、協(xié)調(diào)方程，其解滿足應力邊界條件、位移邊界條件。其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助

14、于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。 采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結(jié)構(gòu)力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。 根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有

15、三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。對于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最??；在配置法中，先在計算域內(nèi)選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagra

16、nge)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數(shù)值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為： (1)

17、建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選

18、取基函數(shù)時可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用