求函數(shù)值域典型例題

1、求函數(shù)值域典型例題一、函數(shù)點(diǎn)調(diào)性法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。利 用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。1例1.求函數(shù) y=的值域。解：: x=0 .顯然函數(shù)的值域是：（-«,0）J（0,F）x例2.求函數(shù)y =3的值域。解：: Jx之0,<3,3-xx <3 故函數(shù)的彳t域是：3,3練習(xí)1：求函數(shù)y=3+ J2 3x的值域。 點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出J2 3x的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知J2-3x昨Q故3+，2-3x 八 函數(shù)的值域?yàn)?，+丐點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即： （1）

2、被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。練習(xí)2:求函數(shù)y=x（0 Wx韻5）域。（答案：值域?yàn)椋?, 1, 2, 3, 4, 5）x1練習(xí) 3: y=3x+2（-1 <x<1） f（x）=2+k：4x丫= y=x+ .x 1x解：.-1ExE1,-3 <3x <3,-1 <3x+2 <5,即-1 Ey <5, .值域是-1, 5 "Zxw©依）f（x）w2,）.即函數(shù) f（x）=2 + J4'二x 的值域是 y| y 之2.x 1 -1=1二0即函數(shù)的值域是 y| yWR且y，1（此法亦稱(chēng) 分離常數(shù)法）.1.當(dāng) x>0,

3、y=x+ =(Jx- x)2 +2 >2,一 _ 、1 12_當(dāng) x<0 時(shí)，y=(x+) = - (Jx -=)2 -2 < -2.X.一 x值域是（-2,-2 U 2 , +°° ）.（此法也稱(chēng)為 配方法）函數(shù)1y = x十一的圖像為:x例3 求函數(shù)y =2x + log3 xx -1(2£xW10)的值域解：令 y1=2x” , y2= log3 Jx 1,則 y 1 , y2在2 , 10 上都是增函數(shù)。所以y= y 1 + y2在2 , 10 上是增函數(shù)。當(dāng) x = 2 時(shí),ymin = 2 + log3V2 -1 =1 ,當(dāng) x =

4、10 時(shí)，ymax = 25+iog3,9 =33。8故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? , 33。8例4求函數(shù)y= d'x +1 - Jx 1的值域。2.-2斛：原函數(shù)可化為：y=當(dāng)x = 1時(shí)，y= y + y2有最小值<2 ,原函數(shù)有最大值 -=<2。.x 1、x -1, 2顯然y>0,故原函數(shù)的值域?yàn)椋? ,J2 。例5求函數(shù)y = x - J1 2x的值域。y是f-°o,1 1練習(xí)：求函數(shù) y=3+ J4 _x 的值域。（答案：yy ） 求函數(shù)y=x-3+V2x+1的值域。二、反比例函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。

5、3x 4 例6.求函數(shù)y =值域。5x 6解：由原函數(shù)式可得：d-x2以42則其反函數(shù)為：y=±&,其定義域?yàn)椋簒#95x -353故所求函數(shù)的值域?yàn)椋簓=35當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。x+1 例7求函數(shù)Y =的值域。x+2點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。, 一一一 .x+1 . 一 ,. .1 -2y解：顯然函數(shù)y =x+2的反函數(shù)為：x = y-1淇te義域?yàn)閥wi的頭數(shù)，故函數(shù)y的值域?yàn)?y I yw 1,y R。點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之

6、一。練習(xí)2：求函數(shù)y=（10x+10-x）/（10x 10-x）的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)?y I y< - 1或y>1）三、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。ex -1y =例8.求函數(shù)ex +1的值域。ex上解：由原函數(shù)式可得：y 一1y 1 0ex >0. . y -1解得：-1 < y父1故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?1）cosxy二例9.求函數(shù) Sin x - 3的值域。3y解：由原函數(shù)式可得：ysinx cosx =3y ,可化為:Jy2 +1sin (x+ 0 ) =3y 即 sin (x+ B ) =3y

7、2 1.xR sinx(x +p)-1,13y-1 <一y,1即 y2 1V2 < <v12_2L 2L解得：4 -y- 4 故函數(shù)的值域?yàn)镴 4 ' 4 一形如x2之0可解出y的范圍，從而求出其值域或最值。2x -1 例10.求函數(shù)y =的值域2x -1一一 ,2x -1 y y -1解析:由y = 得2x =-一 2x -1 y -1四、配方法配方法是求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方法，形如 y =a f 2(x) - bf (x) - c的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使 用配方法。例8.求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域： y = x2 -4x +1 ； y = x2 -4x

8、 +1,x 亡3,4； y = x2 4x +1,xe0,1 y = x2 -4x+1,xe 0,5;解： y =x2 4x+1=(x2)2 3, 頂點(diǎn)為(2,-3),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為 2.拋物線的開(kāi)口向上，函數(shù)的定義域 R,，x=2時(shí)，ymin=-3，無(wú)最大值；函數(shù)的值域是 y|y之-3 .11i-2 -1 O -1 p 3 4 5 6-x-1-2-3,頂點(diǎn)橫坐標(biāo) 2乏3,4,當(dāng)x=3時(shí)，y= -2; x=4時(shí)，y=1 ;.在3,4上，ymin =-2，V max =1;值域?yàn)?2 ,1.,頂點(diǎn)橫坐標(biāo) 2三0,1,當(dāng)x=0時(shí)，y=1 ; x=1時(shí)，y=-2,，在0,1上，ymin =-2 ,y

9、max =1 ；值域?yàn)?2 , 1.,頂點(diǎn)橫坐標(biāo) 2亡0,5,當(dāng) x=0 時(shí)，y=1; x=2 時(shí)，y=-3, x=5 時(shí)，y=6,.在0,1上,ymin =-3 , ymax=6；值域?yàn)?3, 6.注：對(duì)于二次函數(shù) f(x)=ax2bx c(a 0),若定義域?yàn)镽時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)x = _2時(shí)，其最小值ymin =(4ac-b2)；2amin 4a當(dāng)a<0時(shí)，則當(dāng)x = _2時(shí)，其最大值y=(4ac-b2).max 2a4a若定義域?yàn)閤w a,b,則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否屬于區(qū)間a,b.若x0 Wa,b,則f (x0)是函數(shù)的最小值(a>0)時(shí)或最大值(a<0

10、)時(shí)，再比較f(a), f(b)的大小決定函數(shù)的最大(小)值.若x° Fa,b,則a,b是在f (x)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較f(a), f (b)的大小即可決定函數(shù)的最大(小)值.練習(xí) 1 .求函數(shù) y =x2 6x-5 的值域 由 y =x26x-5 =(x-3)2-4 E 4 ; yw (-°0,422練習(xí)2.求函數(shù)y=x 2x+5,xu1,2的值域。解：將函數(shù)配方得：y=(x1)+4x-1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng) x=1時(shí)，y min =4 ,當(dāng)x =-1時(shí)，y max =8故函數(shù)的值域是：4 , 8注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值；當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)

11、是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以利用配方法求函數(shù)值域例5:求函數(shù)y= J-x2'跑的值域。點(diǎn)撥：將被開(kāi)方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。,.222解：由-x +x +2 > 3知函數(shù)的7E義域?yàn)?xC1, 2。此時(shí)-x +x+2 = (x1/2) +9/4C0)9/40wj-x2乜也& 3/新數(shù)的值域是0,3/2點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y=2x 5 + J15Tx的值域.(答

12、案:值域?yàn)閥 I y< 3)22 0, y 1 0= y 1或y ：: -1y -1五、換元法利用整體代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如y = ax -b ± Jcx -d (a,b, c,d均為常數(shù)且 a * 0)例3.求函數(shù)y =x +2,1 x的值域解：設(shè) jHx=t ,則 y = t2+2t +1(t 之 0) 值域?yàn)?-«,4例11.求函數(shù)y =x +&"1的值域。解：令 x 1 =t , (t >0)貝u x =t2 +121 23y =t t 1 =(t )24又t >0,由二次函數(shù)的性質(zhì)

13、可知當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1當(dāng)tT0時(shí)，yT故函數(shù)的值域?yàn)?,8)例2求函數(shù)y=x-3+ J2x +1的值域。點(diǎn)撥：通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。解：設(shè) t= J2x +1(t 習(xí))，則 x=1/2( t2-1)。22于是 y=1/2( t -1)-3+t=1/2 (t+1 ) -4 冒 1/24=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)?y|y舁7/2。點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值 域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y= dx +1 i的值域。(答案：

14、y|y Q 3/4例12.求函數(shù)V =x +2 +鎮(zhèn)(x +1)2的值域。22解：因 1 (x +1)之0 即(x +1) <1故可令 x 1 =cos -, - 0,二. y = cos," ； 1.1 - cos2 :二sin 1 cos11 - 2sin( 4) 10 -二,0 一： 一 _ 5 二 4 4'一. 2 sin( ) M124二。M而in(B +：) +1 V1 +行故所求函數(shù)的值域?yàn)?,1 +小例13.求函數(shù)3 x - x y = a o x4+2x2 +1的值域。 y 解：原函數(shù)可變形為：12x1 -x_.2.2 1 x1 x.0 _：4442x

15、- 1 -x22 -亍=sin2l；,2 =cos -可令x=tgP,則有1 +x1 +x1-1-sin2 - cos2： = sin4：k ：12 8 時(shí)，ymax =4k 二 二,P= c + c ,當(dāng) 28時(shí),y min1一4而此時(shí)tan P有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)? 174,4例 14.求函數(shù) y =(sinx +1)(c0sx +1),x 一三122的值域。解：y=(sinx 1)(cosx 1)22(t -1)=sin x cosx sin x cosx 1sin x cosx = 令 sin x +cosx =t ,貝(J尸獷一1)t T 1)2由 t =sinx cosx =

16、 .2sin(x ， /4)京2可得:二 Mt J223.2y 二一423,2r , c , y max = 一 . 2, t =,當(dāng) t =/2 時(shí)，'2 ，當(dāng) 2 時(shí),故所求函數(shù)的值域?yàn)?例15.求函數(shù)y =x +4+也一x2的值域。解：由 5-x2 >0,可得 |x|E，5JI故可令 x5cos0,二y = -5 cos：4. 5sin ： = y10 si n ( 一) 44當(dāng) B=n/4 時(shí)，ymax=4+J10 P=n 時(shí)，ymin = 4 55故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? - 5,4 , '、10 通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根

17、式或三角函數(shù)公式模型，換元 法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。六、判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于 x的二次方程F (x, y) = 0 ,通過(guò)方程有實(shí)根，判別式 之0 ,從而求得原函數(shù)的值域,形如y =a1x2 -b1x -c1a?x - b?x - c2判別式法一般用于分式函數(shù),其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的討論.x2 -1例4 .求函數(shù)y =的值域x2 1原函數(shù)可化為(y 1)x2 0 X y 1 =01) y =1時(shí)不成立2)y #1 時(shí)，之0 n 0_4(y1)(y+1) >0=> -1 < y < 1 二一1

18、 E y < 1綜合 1)、2)值域y | 1 e y <11 x x2y 二例4.求函數(shù)1+x的值域。2解：原函數(shù)化為關(guān)于 x的一元二次方程(y1)x +(y1)x=°(1)當(dāng) y=1 時(shí)，x =0 ,(2)當(dāng) y #1 時(shí)，x R &=(一1)2 4(y -1)(y 1)之01»a解得：221131；12當(dāng)y=1時(shí)，x=0,而12 2 故函數(shù)的值域?yàn)椋? 2_|例5.求函數(shù)y =x + Jx(2 -x)的值域。22解：兩邊平方整理得：2x -2(y +1)x+y =0(1) x w RA=4(y +1)2 -8y >0但此時(shí)的函數(shù)的定義域由x(

19、2 x)之0 ,得0 <x <222由之0 ,僅保證關(guān)于x的方程：2x 2(y +1)x +y =0在實(shí)數(shù)集r有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0, 2上，即不能確保方程(1)有實(shí)根，由 至0求出的范圍可能比 y的實(shí)際范圍大，故不能確定此1 3 一,一 函數(shù)的值域?yàn)椋? 2 一?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。. 0 <x <2.y =xx(2 -x) _0J.ymin =0,y =1 +J2 代入方程(1)xi解得：2.2 -24 .20,22.2 -24,2即當(dāng)x1=2 時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋?,1+J2注：由判別式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集

20、時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的 部分剔除。例3.求函數(shù)y =x225x+6的值域x x-6方法一：去分母得(y-1) x2+(y+5)x -6y-6=0當(dāng) y陽(yáng)時(shí) . xWR . .=(y+5) 2+4(y1)X6(y+1)之0 由此得(5y+1) 2 >0- 5x = _5=2 (代入求根)62 <-)52正定義域 x| x #2且x封 y再檢驗(yàn)y=1代入求得x=21. y1綜上所述，函數(shù)y = xi5x+6的值域?yàn)閤 x 6方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù)y =(x -2)(x -3)=工13 =1 一 6 僅；2)(x -2)(x 3) x 3 x-3由此可得y=1-11- x=

21、2 時(shí) y = 即 y ¥ 552_ x 5x 6 一 1，函數(shù)y= 2的值域?yàn)?y| y#1且y# *x x -65若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù)，可用判別式法求函數(shù)的值域。22例4求函數(shù)y=(2 x 2x+3)/( x x+1)的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。2.解：將上式化為(y-2) x (y 2)x+(y-3)=0(*)2當(dāng) yw2時(shí)，由 A=(y-2) -4 (y-2) x+(y 3)>。解得：2vxW10/3當(dāng)y=2時(shí)，方程(* )無(wú)解。，函數(shù)的值域?yàn)?vyW10/3點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化

22、為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如 y=(a x2+bx+c)/(d x2+ex+f)及 y=ax+b ±Vcx2 +dx+e 的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2 x2 3x+1)的值域。(答案：值域?yàn)閥J 8或y>0)。七、均值不等式法：利用基本不等式 a +b>2jab,a +b +c>3Vabc (a,b,c£ R+),求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。1212y 二(sin x ) (cos x ) -

23、4例19.求函數(shù)sin xcosx的值域。解：原函數(shù)變形為：y 二(sin2 x cos2 x) 12 1 sin x cos x22=1ces xsec x2, 2=3tan xcot x二33 tan2 x cot2 x 2=5當(dāng)且僅當(dāng)tanx =cotxx = k二即當(dāng)4時(shí)出二刀，等號(hào)成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋?,收)例20.求函數(shù)y=2sin x sin2x的值域。解： y =4sin x sinx cosx= 4sin2 x cosx例3、求函數(shù)y=4sinx - cos2x的最值分析：利用sin 2x+cos2x=1進(jìn)行本方法，湊出和為定值，才能使用均值不等式求最值解：- y2=16s

24、in 2x cos2x cos 2x=8 (2sin 2x cos -.2227 o / 2sin x cos x cos x、3 Q* 86427 27.y2< 64,當(dāng)且僅當(dāng) 27y 大=8V392sin 2x=cos2x 即 tgx=y 小=-339三2時(shí)，取“二”號(hào)20 8 ( =8 =y =16sin4 xcos2 x222= 8sin xsin x(2 2sin x)222_3<8(sin 2 x sin2 x 2 2sin2 x)/336427當(dāng)且僅當(dāng)sin2x =22sin2x ,即當(dāng)sin2x =3時(shí)，等號(hào)成立。264,y -丁 r由 27可得:8.3.8 . 3

25、、yF故原函數(shù)的值域?yàn)?八、數(shù)形結(jié)合:一 8v13例5.求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1:將函數(shù)化為分段函數(shù)形式:-2x 1(x ： -1)= <3(1Wx<2),畫(huà)出它的圖象(下圖)，由圖象可知，函2x -1(x 一 2)數(shù)的值域是y|y -3.解法2： 函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn) x到兩定點(diǎn)-1, 2的距離之和，易見(jiàn) y的最小值是3, ，函數(shù)的值域是3, +.如圖-06odd-x -1O 124B-1 Ox 127。 出 心-1 O 1 2x兩法均采用“數(shù)形結(jié)合”，利用幾何性質(zhì)求解，稱(chēng)為幾何法或圖象法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如

26、兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類(lèi)題目若運(yùn)用數(shù) 形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。例16.求函數(shù)y =d(x 2)2 +M(x+8)2的值域。BPAII _ _ _I802解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：y 4x _2| |x 8|上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P (x)到定點(diǎn)A (2), B(4/1的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y Tx -2|+|x+8|=|AB |=10當(dāng)點(diǎn)p在線段ab的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，y=|x -2|+|x +8|>1AB |=10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0,：例 17.求函數(shù) y =&2 -6x +13+*；x2 +4x +5 的值域。解：原函

27、數(shù)可變形為：y = . (x -3)2 (0 -2)2 . (x 2)2 (0 1)2上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(-2,。的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，y min =1AB |= 4(3+2) +(2+1) =d43,故所求函數(shù)的值域?yàn)?3,:(-2, -1)例 18.求函數(shù) y =Jx2 6x +13 -Vx2 +4x +5 的值域。解：將函數(shù)變形為：y =、(x-3)2 (0-2)2 - . (x 2)2 (0-1)2上式可看成定點(diǎn) A (3, 2)到點(diǎn)P (x, 0)的距離與定點(diǎn) B(-2，D到點(diǎn)P(x，0)的距離之差。即：y=|AP|-|BP|由圖可知：(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線 AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn) P',則構(gòu)成AABP',根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有11Ap'I 一1 Bpt1AB尸.(302一(2=1)2 - 26即：一26 二 y26A、B兩點(diǎn)(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí),有11Ap 1TBp |HAB |=*'26綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?-、26, 26注：由例17, 18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A, B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例17的A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：(3, 2), (-2，-1),在x軸的