量子力學課后答案-第一二章

1、此題關注的是入取何值時,取得極大值,因此,就得要求對人的一階導數(shù)為零,由此可求得相應的人的值,記作m.但要注意的是,還需要驗證對人的二階導數(shù)在m處的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m就是要求的,具體如下：dd8hchchcekT1kThc1ekT量子力學課后習題詳解第一章量子理論根底由黑體輻射公式導出維恩位移定律：能量密度極大值所對應的波長m與溫度T成反比,即mT=b常量；并近似計算b的數(shù)值,準確到二位有效數(shù)字解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式8hv31,3hvdv,c尹1v|d/d|,dvdv()28hc15hceki這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于人與入+d入之間的輻射能量密度.(D(2

2、)(3)以及如果令x=Q,那么上述方程為kT5(1ex)x這是一個超越方程.首先,易知此方程有解：x=0,但經(jīng)過驗證,此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=,經(jīng)過驗證,此解正是所要求的,這樣那么有把x以及三個物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律.據(jù)此,我們知識物體溫度升高的話,輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動,這樣便會根據(jù)熱物體(如遙遠星體)的發(fā)光顏色來判定溫度的上下.在0K附近,鈉的價電子能量約為3eV,求其德布羅意波長.解： 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關系,可知所考慮的粒子是非相對論性的電子動能EkmeC20.51106eV,滿足2p2me因此利用非相

3、對論性的電子的能量一動量關系式,有hPh.2meEhchchc5(1e,hckTmThcxkmT2.9310mK2meC2E1.24106m,20.5110630.71109m0.71nm在這里,利用了hc1.24106eVm,mec20.51106eV.最后,對2meE作一點討論,從上式可以看出,當粒子的質(zhì)量越大時,這個粒子的波長就越短,因而這個粒子的波動性較弱,而粒子性較強； 同樣的,當粒子的動能越大時,這個粒子的波長就越短,因而這個粒子的波動性較弱,而粒子性較強,由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大,因而波動性極弱,顯現(xiàn)出來的都是粒子性,這種波粒二象性,從某種子意義來說,只有在微觀世界才能顯現(xiàn)

4、.自然單位制：在粒子物理學中,利用三個普適常數(shù)光速c,約化普朗克常數(shù)h,玻耳茲曼常數(shù)k來減少獨立的根本物理量的個數(shù),從而把獨立的量綱減少到只有一種能量量綱,常用單位eV.例：1nm=keV1fm=GeV電子質(zhì)量5m=.核子氫原子質(zhì)量M=938MeV溫度1K8.610eV.3氮原子的動能是E-kTk為玻耳茲曼常數(shù),求T=1K時,氮原子的德布羅意波長.解：根據(jù)1kK8.6105eV,知此題的氮原子的動能為334E-kT-kK1.29104eV,22顯然遠遠小于核c2這樣,便有hc2mHeC2E1.24106m23.71091.291041.3109m1.3nm這里,利用了mHec24938106e

5、V3.7109eV0最后,再對德布羅意波長與溫度的關系作一點討論,由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系,其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT,這樣,其相應的德布羅意波hh,2mE,2mkT據(jù)此可知,當體系的溫度越低,相應的德布羅意波長就越長,這時這種粒子的波動性就越明顯,特別是當波長長到比粒子間的平均距離還長時,粒子間的相干性就尤為明顯,因此這時就不能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布,而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布一一玻色分布或費米公布.長就為為了積分上述方程的左邊,作以下變量代換：x.2Esinnh.2利用玻爾一一索末菲的量子化條件,解：玻爾一索末菲的量子化條件為：求:pdqnh其中q是微觀粒

6、子的一個廣義坐標,運動軌道積一圈,n是正整數(shù).(1)設一維諧振子的勁度常數(shù)為p是與之相對應的廣義動量,回路積分是沿k,諧振子質(zhì)量為m于是有這樣,便有2Ep2mkx22_12、2m(Ekx)2這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動,一正一負正好個往返,運動了一圈.止匕外,根據(jù)諧振子在最大位移x處p=0,可解出E1kx222ExVT0這樣,根據(jù)玻爾一一索末菲的量子化條件,2m(E1kx2)dx1().2m(E-kx)dxnhV2122m(E-kx)dx12.12m(E-kx)dxnh1212m(E-kx)dxnh.2這樣,便有2.2mEcos22d.2Esinnh2,k2E22c

7、os2dnh22cos2221-dnh22E能量間隔最后,對此解作一點討論.首先,注意到諧振子的能量被量子化了；其次,這量子化的能量是等間隔分布的.兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負電子對,如果兩光子的能量相等,問要實現(xiàn)實種轉(zhuǎn)化,光子的波長最大是多少？解：關于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負電子對的動力學過程,如兩個光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負電子對的問題,嚴格來說,需要用到相對性量子場論的知識去計算,修正當涉及到這個過程的運動學方面,如能量守恒,動量守恒等,我們不需要用那么高深的知識去計算,具體到此題,兩個光子能量相等,因此當對心碰撞時,轉(zhuǎn)化為正負電子對所需的能量最小,因而所對應的波長也就最長,而且,有Eh

8、vmec2此外,還有Epchc6于是,有一6-m2.41012m2.4103nmmec20.51106盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長,但從數(shù)值上看,也是相當小的,我們知道,電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子,如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之類的更大質(zhì)量的粒子,那么所對應的光子的最大波長將會更小,這從某種意義上告訴我們,當涉及到粒子的衰變,產(chǎn)生,轉(zhuǎn)化等問題,一般所需的能量是很大的.能量越大,粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富,這樣,也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子,這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象,新粒子,新物理.第二章波函數(shù)和薛定調(diào)方程證實在定態(tài)中,幾率流與時間無關.rr-Et證：對于定態(tài),可

9、令(r,t)(r)eh,得可見J與t無關ih2mih2mr(r)e_!_Ethih2mr(r)*r(r)r-Et*r-Et(r)eh)(r)eh*rr(r)(r)r-Et(r)eh)由以下定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度:vr1r1er-eerrrsin一r一r一,v、,.,一所以,J和J只有Vr方向分量12與反向,表示向內(nèi)即向原點傳播的球面波(1)11ikr(2)2ikr說明1表示向外傳播的球面波,2表示向內(nèi)即向原點傳播的球面波解：在球坐標中r(1)J1曳(11*1*1)2mih1ikr1ikr、1ikr2mle7(?e);e1ikrv-(-e)errr1vik-)errhkvhkr2er3rmrm

10、r4與同向,表示向外傳播的球面波rJ2ih2mih1e2mr丹1(2mrhkv2ermrikrr1-2r11ikr、(e)rik1)rhkr1ikr一er12r1ikrv-(e)errr1vik)er-rmr12r粒子在一維勢場U(x)0,0中運動,求粒子的能級和對應的波函數(shù).補充：設t=0時刻波函數(shù)為(x,0)1.sin-xaa0,1sinx,0aa解：U(x)與t無關,是定態(tài)問題.2d22(x)2mdx在各區(qū)域的具體形式為2d2T-22mdx2d2_22mdx2d2；22mdx0,x(x,t).由于(1)、方程中,其定態(tài)S一方程U(x)(x)E(x)i(x)2(x)3(x)由于U(x)i(

11、x)03(x)0即粒子不能運動到勢阱以外的地方去.方程(2)可變?yōu)閐22(x)dx2U(x)i(x)EI(X)aE2(x)U(x)3(x)E3(x),要等式成立,必須令k2誓d22(x)dx22k2(X)0其解為2(x)AsinkxBcoskx根據(jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A、B,由連續(xù)性條件,得2(0)1(0)2(a)3(a)5)B06)Asinka0A0sinka0kan(n1,2,3,)2(x)Asin-xa-2由歸一化條件(x)dx1,a得Asin-xdx10a對應于En的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2.n-Ent-,一sinxe,0 xan(x,t)aa0,xa,xa補充：粒子的一般含時波函數(shù)

12、為(x,t)cnn(x,t),在t=0時亥Ijn112sinxsin一x,0 xa,aa、aa0,x0,xa所以GC21/豉,其余cn1(x,t)2(x,t)(x,t)212E2t、sinxeh,0 xaaax0,xa由三角函數(shù)正交性a_msinxsin0an.xdxaa二mn22(x)一sinaEn222;-2n2ma(n1,2,3,可見E是量子化的.(x,0)12,sinxeh,aa0,0,綜上得任意時刻粒子波函數(shù)為0,x0,xa.證實式中的歸一化常數(shù)是證：nnAsina0,(xa),由歸一化,一歸一化常數(shù)2dx2Asina2n(xa)dxaA2221an/cos(xaa)dxA2aA2a

13、aA22ancos-(xa)dxsin(xaa)求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置由極值條件,令d-1()0,dx1可得x0 xx由1(x)的表達式可知,x0,x而即d21(x)dxx二可見x1、.是所求幾率密度最大的位置.#m解：一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)得幾率密度為Vm/ho對其微分得時,i(x)00顯然不是最大幾率的位置2431在一維勢場中運動的粒子,勢能對原點對稱：U(x)U(x),證實粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱.證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為將式中的*以(x)代換,利用U(x)U(x),得下的粒子狀態(tài)的波函數(shù).能相差一個常數(shù)co方程、可相互進行空間反演(x可

14、見,c2如果體系不存在簡并,它們描寫的是同一個狀態(tài),因此(x)和(x)之間只經(jīng)xx反演,可得,由再經(jīng)乘,(x)(x)cx)c2(x)(x)(x)2dx2(x)U(x)(x)(x)2dx2(x)U(x)(x)x)2d22dx2(x)U(x)(x)x)比擬、式可知,(x)和(x)滿足同樣的S-方程,都是描寫在同一勢場作用x)而得其對方,由當c1時,x)(x)具有偶字稱,當c1時,x)(x)具有奇宇稱.如果體系存在簡并,對(x)和(x)做線性組合:(x)(x)、2(XJ根據(jù)疊加原理,(x),(x)也滿足S-方程,且滿足(x)(x),(x)具有偶宇稱,(x)(x),(x)具有奇宇稱.S-方程的定態(tài)波函

15、數(shù)可以表達為(x)(偶宇稱)和(x)(奇宇稱)的疊加形式綜上,當勢場滿足U(x)U(x)時,粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱.#粒子在一維勢阱中運動,求束縛態(tài)(0EUo)的能級所滿足的方程.補充：取電子質(zhì)量,勢阱深20eV,a=,給出基態(tài)(和第一激發(fā)態(tài))能級的數(shù)值結(jié)果并作波出函數(shù)和概率密度的圖.解法一：粒子所滿足的定態(tài)S-方程為2d12力(x)U(x)(x)E(x)2dx按勢能U(x)的形式分區(qū)域的具體形式為122k2U(x)U00,xa0,xa2-dxi(x)Ui(x)Ei(x)2dx22(x)E2(x)2dx23(x)U03(x)E3(x)整理后,得2E2-令K：(U0E)2K22.K222

16、1Ki1各方程的解為(U02E)2(U.2E)in：3K11AeklXBekix2Csink2xDcosk2x3EekixFek1X由波函數(shù)的有限性,有i有限A3有限E因此1Bek1x3Fek1x由波函數(shù)的連續(xù)性,有1(a)2(a),Bek1aCsink2aDcosk2a1(a)2(a),k1Bek1ak2ccosk2ak2Dsink2a2(a)3(a),Csink2aDcosk2aFek1a2(a)3(a),k2ccosk2ak2Dsink2ak1Fek1a(10)(11)(12)(13)整理10、11、12、13式,并合并成方程組,得ek1aBsink2aCcosk2aD00k1ek1aB

17、k2cosk2aCk2sink2aD000sink2aCcosk2aDek1aF00k2cosk2aCk2sink2aDk1eaF0解此四元一次方程即可得出B、GDF,進而得出波函數(shù)的具體形式.注意,系數(shù)依賴于未定常數(shù)E,即該方程為數(shù)學上的本征方程.要方程組有非零解,必須系數(shù)矩陣的行列式為零ek1asink2ak1ek1ak2cosk2a0sink2a0k2cosk2acosk2ak2sink2acosk2ak2sink2a0hae1k1Bek1ak1k2ek1asin2k2ak22ek1asink2acosk2ak1ek1ak1ek1asink2acosk2ak2ek1acos2k2ak1e

18、k1asink2acosk2ak2ek1asin2k2ae2k1a(k2k12)sin2k2a2k1k2cos2k2ae2k1a022k2k1sin2k2a2k1k2cos2k2a0即k2k；tg2k2a2k1k20為所求束縛態(tài)能級E所滿足的方程.注意KM都依賴于E,做出函數(shù)fEk；k；tg2k2a2卜氏的圖,其中束縛態(tài)要求0EU0其零點即給出本征能量E的解.能級的特點：U0較小1/a且無論多小時,存在且只存在1個束縛態(tài),隨U0的增大,束縛態(tài)數(shù)增加.由于本征方程的解不定,可以差一個常系數(shù),取B為自由量,將其余系數(shù)矩陣部分化為消元法_kae1sink2ak1ek1ak2cosk2a0sink2a0k2cosk2acosk2a0k2sink2a0cosk2aek1ak2sink2ak1