高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題復(fù)習(xí)《函數(shù)的單調(diào)性與最值》

1、函數(shù)的單調(diào)性與最值(45分鐘100分)一、選擇題(每題5分,共40分)1.(2021沈陽(yáng)模擬)以下函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)的是()A.y=ln(x-2)B.y=-C.y=x-xr【解析】選C.函數(shù)y=ln(x-2)在(2,+8)上為增函數(shù),y=-,x在0,+8)上為減函1優(yōu)數(shù),y=x-x=x-X在(0,+8)上為增函數(shù),y=在0,+8)上為減函數(shù),故C正確.2.(2021衢州模擬)以下函數(shù)中,值域?yàn)?-8,0)的是(21I力A.y=-xB.y=3x-11C.y=%D.y=-【解析】選B.函數(shù)y=-x2的值域?yàn)?-8,0；y=3x-1I的值域?yàn)閥<3x3-1=0,即yC(-8,0);y

2、=X的值域?yàn)?-oo,0)u(0,+8)；y=-'xe(-00,0.I)3 .(2021珠海模擬)假設(shè)函數(shù)y=ax與y=-*在(0,+°°)上都是減函數(shù),那么y=ax2+bx在(0,+°°)上是()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增b【解析】選B.由于y=ax與y=-X在(0,+8)上都是減函數(shù),所以a<0,b<0,b所以y=ax2+bx的對(duì)稱軸x=-2a<.,所以y=ax2+bx在(0,+00)上為減函數(shù).4 .奇函數(shù)f(x)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)xi,x2(xiwx2),恒有(xi-x2)(f(xi)-f(x2)>0

3、,那么一定正確的是()A.f(4)>f(-6)B.f(-4)<f(-6)C.f(-4)>f(-6)D.f(4)<f(-6)【解析】選C.由(xi-x2)(f(xi)-f(x2)>0知f(x)在(0,+8)上遞增,所以f(4)<f(6)?f(-4)>f(-6).ox,_15 .(2021杭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=1+2-2,岡表示不超過(guò)x的最大整數(shù),那么函數(shù)y=f(x)的值域是()A.0,1B.0,-1C.-1,1D.1,1【思路點(diǎn)撥】先求f(x)的值域,再據(jù)岡的規(guī)定求f(x)的值域.2X【解析】選B.由于0<乙十,<1,工I所以f(x)=2

4、、+1-2e又x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),所以y=f(x)0,-1.f2jx-4x+6,x>0,6 .(2021天津模擬)設(shè)函數(shù)f(x)="那么不等式f(x)>f(1)的解集是()A.(-3,1)U(3,+8)B.(-3,1)U(2,+oo)C.(-1,1)U(3,+8)D.(-00,-3)U(1,3)【解析】選A.當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(1)=3,即x2-4x+6>3,解得0Wx<1或x>3;當(dāng)x<0時(shí),f(x)>f(1)=3,即x+6>3,解得-3<x<0.故f(x)>f的解集是(-3,1)U(3,+O

5、O).【加固練習(xí)】f(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù),且滿足f(3x-2)<f(1),那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是(A.(-8,1)/+0°)C.、,【解析】選B.由于f(x)D.(1,+8)是定義在(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù),且滿足f(3x-2)<f(1),所以f3x-2>0t'2x>?xC所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是7.(2021廈門模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,2)上是增函數(shù),且f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱,那么()A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)【思路點(diǎn)撥

6、】由得到f(x)的對(duì)稱性,進(jìn)而作出圖象大致形狀,數(shù)形結(jié)合求解.【解析】選A.由于f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱,又f(x)在區(qū)間(-oo,2)上是增函數(shù),那么其在(2,+8)上為減函數(shù),作出其圖象大致形狀如下圖由圖象知,f(-1)<f(3),應(yīng)選A.8.水平挑戰(zhàn)題2021金華模擬設(shè)函數(shù)gx=x2-2x£R,:g(x)+x+4fx<g(x),f(x)=g(x)-X,X>g(x),那么f(x)的值域是()91A.U(1,+8)B.0,+8)-9IC.L91?°D.U(2,+00)【思路點(diǎn)撥】明確自變量的取值范圍,先求每一局部

7、的函數(shù)值范圍,再取并集求值域選D.由x<g(x)=x2-2得x2-x-2>0,那么x<-1或x>2.因此由x>g(x)=x2-2得-1<x<2.iX2+x+2tx<-1或x>2、21x-x-2,-1<x<2,于是f(x)='當(dāng)x<-1或x>2時(shí),f(x)=17九.當(dāng)-1WxW2時(shí),f(x)=且f(-1)=f(2)=0,94所以-"wf(x)<0.I*9"?°由以上可得f(x)的值域是jU(2,+00).二、填空題每題5分,共20分9.2021臺(tái)州模擬如果函數(shù)fx=ax2-3

8、x+4在區(qū)間-8,6上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x+4,函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞減,故在區(qū)間(-00,6)上單調(diào)遞減.3(2)當(dāng)aw0時(shí),二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為直線x=2a.由于f(x)在區(qū)間(-8,6)上單調(diào)遞減,3所以a>0,且2a>6,解得0<aw41綜上所述,0<a<.-1答案：L【誤區(qū)警示】此題易無(wú)視a=0的情況而失誤.1JX<-1,XLx+a,x二一110.函數(shù)f(x)=在R上是減函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【思路點(diǎn)撥】由于f(x)為R上的減函數(shù),所以當(dāng)x<-1時(shí),恒有f(x)>f(

9、-1),由此可求得a的取值范圍.1【解析】由于f(x)為R上的減函數(shù),所以必有f(-1)&、即1+aW-1,所以a<-2.答案：aw-2rx+ax,x<1,'2Tax+x,x>1【加固練習(xí)】(2021保定模擬)函數(shù)f(x)='在R上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2,1x+aXjX<L12ax+XjX>'I【解析】由于函數(shù)f(x)=1在R上單調(diào)遞減,所以g(x)=x2+ax在(-8,1上單調(diào)遞減,且h(x)=ax2+x在(1,+00)上單調(diào)遞減,且g(1)>h(1),a一>li2-'a<011 1<

10、;L2a-J+a工a+L所以解得a<-2.+a+b,a,b是答案：aw-211.(2021寧波模擬)規(guī)定符號(hào)表示一種兩個(gè)正實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算,即a正實(shí)數(shù),1k=3,那么函數(shù)f(x)=kx的值域是.【解析】由題意知1k='k+1+k=3,解得k=1,r所以f(x)=kx=1x=X+1+x答案：(1,+8)12 .函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,假設(shè)x1,x26A且f(x1)=f(x2)時(shí)總有xx2,那么稱f(x)為單函數(shù).例如,函數(shù)f(x)=2x+1(xR)是單函數(shù),以下命題：函數(shù)f(x)=x2(xRR)是單函數(shù)；指數(shù)函數(shù)f(x)=2x(xCR)是單函數(shù)；假設(shè)f(x)為單函數(shù),x1,x2CA

11、且x1wx2,那么f(x1)wf(x2);在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)其中的真命題是(寫出所有真命題的編號(hào)).【解析】對(duì)于,x1=2,x2=-2時(shí),f(x1)=f(x2),而xxx2,故函數(shù)f(x)=x2不為單函數(shù),故錯(cuò)；對(duì)于,由于y=2x在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),故正確；對(duì)于,假設(shè)f(x1)=f(x2),由f(x)為單函數(shù),故x1=x2,這與x1Wx2矛盾,故原命題成立,故正確；對(duì)于,因函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性,即滿足f(x)為單函數(shù)的定義,故正確.答案：、解做題(13題12分,1415題各14分)13 .(2021溫州模擬)函數(shù)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0&

12、lt;a<1).求函數(shù)f(x)的定義域.(2)假設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為-4,求實(shí)數(shù)a的值.-x>0【解析】(1)要使函數(shù)有意義:那么有1X+3>.,解之得-3<x<1.2+4.所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|-3<x<1.(2)函數(shù)可化為f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)由于-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4<4.由于0<a<1,所以loga-(x+1)2+4>loga4,即f(x)min=loga4._£v124由loga4=-4,得a-4=4,

13、所以a=4=2.故實(shí)數(shù)a的值為2.114.函數(shù)f(x)=a-|x|.(1)求證：函數(shù)y=f(x)在(0,+°°)上是增函數(shù).(2)假設(shè)f(x)<2x在(1,+8)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】當(dāng)xC(0,+8)時(shí),1“、xf(x)=a-,設(shè)0<Xi<X2,那么XiX2>0,X2-x1>0,f(x2)-f(x11X2-X1X-X?=-=1>0,所以f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)(2)由題意a-X<2x在(1,+8)上恒成立,設(shè)h(x)=2x+那么a<h(x)在(1,+8)上恒成立.任取xi,x2c(1,+0°)且xi<x2,h(xi)-h(x2)=(xi-x2)由于1<xi<x2,所以xi-x2<0,xix2>1,1所以2-12>0,所以h(x1)<h(x2),所以h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.故a<h(1)即a<3,所以a的取值范圍是(-oo,3.15.(水平挑戰(zhàn)題)(2021紹興模擬)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8),且滿足ffff3女果對(duì)于都有一f(xy)=f(x)+f(y),f=1,如果又于0<x<y,都有f(x)>f(y).求f(1).(2)解不等式f(-x)+f(3-x)