高中數學拋物線點差法

1、點差法拋物線中點弦問題中的妙用定理在拋物線y22mx(m0)中,假設直線l與拋物線相交于M、N兩點,點P(x0,y0)是弦MN的中點,弦MN所在的直線l的斜率為kMN,那么kMNy0m.證實：設M、N兩點的坐標分別為(xyj、(x2,y2),那么有2y12y22mx2.(1)(2),得yi22y22m(x1x2).y2y1x2x1(y2yi)2m.又kMNy2x2x1y1,y2y1kMNy.注意：能用這個公式的條件:(1)直線與拋物線有兩個不同的交點;(2)直線的斜率存在.同理可證,在拋物線x22my(m0)中,假設直線l與拋物線相交于M、N兩點,點P(x0,y0)1是弦MN的中點,弦MN所在

2、的直線l的斜率為kMN,那么x0m.kMN(2)直線的斜率存在,且注意：能用這個公式的條件：(1)直線與拋物線有兩個不同的交點;不等于零.典題妙解例1拋物線4x的過焦點的弦的中點的軌跡方程是(A.2_B.y2(x1)c.y2D.2y2x1解:(1,0)在x軸上.設弦的中點M的坐標為(x,y).由kMNym得：一y2,x1整理得:y22(x1).一2所求的軌跡方程為y2(x1).應選b.例2拋物線y2x2上一組斜率為2的平行弦中點的軌跡方程是(1 1、-11、A.x(y>)B.y(x>)C-y2x(x>1)D.y2x122222 一211斛：由y2x得xy,m一,焦點在y軸上.

3、設平行弦的中點M的坐標為(x,y).24,111由xm得：一x-,kMN241x-.22.1.1在y2x中,當x時,y-.221 1、點M的軌跡萬程為x一(y>).2 2故答案選A.例3(03上海)直線yx1被拋物線y24x截得的線段的中點坐標是.解：m2,焦點(1,0)在x軸上.設弦MN的中點P的坐標為(x,y),弦MN所在的直線l的斜率為kMN,那么kMN1.由kMNym得：yo2,2xo1.從而xo3.所求的中點坐標是(3,2).例4拋物線的頂點在原點,焦點在x軸上,它和直線yx1相交,所得的弦的中點在22xy5上,求拋物線的方程.解：設拋物線的方程為y22mx(m0),直線與拋物

4、線的兩個交點為M、N,弦MN的中點P的坐標為(xo,yo).由kMNy.m得：yom,xoyo1m1.又點P(m1,m)在圓x2y25上,22(m1)m5.解之得：m2,或m1.yx1,9由,得：x22(m1)x10.y2mx直線與拋物線有兩個不同的交點,2.4(m1)4>0.mv2,或m>0.m1.故所求的拋物線方程為y22x.例5.拋物線y212x上永遠有關于直線l:y4xm對稱的相異兩點,求實數m的取值范圍解：設拋物線上A、B兩點關于直線l對稱,且弦AB的中點為p(xo,yo).根據題意,點P在直線l上,ABl,kABAB又y212x,y22mx,m6.1由kAByom/v.

5、y06,y024.4m24又由y°4x0m,得：x0.4點P(x0,y°)在拋物線的開口內,(24)2<12(m24).4解之得：mv216.故實數m的取值范圍(,216).例6.(05全國出文22)設A(x1,yJB(x2,y2)兩點在拋物線y2x2上,l是AB的垂直平分線.(I)當且僅當xx2取何值時,直線l經過拋物線的焦點F?證實你的結論.(n)當x113時,求直線l的方程.111解：(I)x-y,p-,F(0,-).248設線段AB的中點為P(x0,y0),直線l的斜率為k,那么x1x22x0.假設直線l的斜率不存在,當且僅當Xix20時,AB的垂直平分線l為

6、y軸,經過拋物線的焦點F.假設直線l的斜率存在,那么其方程為yk(xx0)y0,kAB由1x0P得：kx0-,X0kAB414k111右直線l經過焦點F,那么得：一kx0y0一y0,y0一,與y00相矛盾.844當直線l的斜率存在時,它不可能經過拋物線的焦點F.綜上所述,當且僅當XiX20時,直線l經過拋物線的焦點F.八_x1x2y1y2_(n)當1,x23時,A(1,2),B(3,18),%二一21,y0一絲10.,1,口.1由x°p得：k-.kAB41一所求的直線l的方程為y(x1)10,即x4y410.421.直線xy20與拋物線y4x交于A、B兩點,那么線段AB的中點坐標是金

7、指點睛22 .直線ykx2與拋物線y8x交于不同的兩點P、Q,假設PQ中點的橫坐標是2,那么|PQ|=3 .拋物線C的頂點在原點,焦點在x軸的正半軸上,直線l:y4x1被拋物線C所截得的弦AB的中點M的縱坐標為2,那么拋物線C的方程為.4 .設P1P2為拋物線x2y的弦,如果這條弦的垂直平分線l的方程為yx3,求弦pP2所在的直線方程.25 .過點Q(4,1)作拋物線y8x的弦AB,假設弦AB恰被Q平分,那么AB所在的直線方程為.26 .拋物線y2x上有不同的兩點A、B關于直線l:yxm對稱,求實數m的取值范圍.27 .(05全國出理21)設A(x1,y1),B(x2,y2)兩點在拋物線y2x

8、上,l是AB的垂直平分線.(I)當且僅當Xx2取何值時,直線l經過拋物線的焦點F?證實你的結論.(n)當直線l的斜率為2時,求l在y軸上的截距的取值范圍.28 .(08陜西文理20)拋物線C:y2x,直線ykx2交C于A、B兩點,M是線段AB的中點,過M作x軸的垂線交C于點N.(I)證實：拋物線C在點N處的切線與AB平行；(n)是否存在實數k使NANB0,假設存在,求k的值；假設不存在,請說明理由.參考答案.221.解：y4x,y2mx,m2.直線的斜率為1.由kMNy.m得：y02.代入x0y020求得x04.線段AB的中點坐標是4,2.2.解:28x,y2mx,m4.kx2中,x02時,y

9、2k2,假設PQ中點的縱坐標是y02k2.由kABy0m得：k(2k2)4,即k2解之得：k2或k1.kx8x.2,cc得：k2x24(k2)x直線與拋物線交于不同的兩點,k20,_2216(k2)16k0.解之得：k>1且k0.k2.40.即4x10.y2x2,.由.得：4x216xy28x.設P(xi,yi),Q(x2,y2),那么xx24,x1x21.|PQ|.(1k2)(x1x2)24x1x2,5(164)215.223.解：y8x,y2mx,4.由kABy°m得：kAB4.AB所在的直線方程為y4(x4),即4xy150.24.解：設拋物線的方程為y2mx(m>

10、0)在y4x1中,斜率為2時,3弦AB的中點M的坐標為一,2.4由kABy°m得：4(8.一2所求的拋物線的方程為y16x.x21.弦P1P2所在直線的斜率為1.設弦P|P2的中點坐標為2x.,y.由一kX0m得:X0P1P2弦PlP2的中點也在直線3上,y.39.弦P1P2的中點坐標為22,2).弦PiP2所在的直線方程為(Xy20.6.解：設弦AB的中點為Pxo,y.根據題意,AB又x2AB又由y.x0得：1x.x.x0m,得：y.點PJ.在拋物線的開口內,z21.1、(-)<-(-m).424解之得：m>3.8故實數m的取值范圍8).7.解:2(I)x設線段AB的中

11、點為Px.,y.,直線l的斜率為k,那么x1x22x0.假設直線l的斜率不存在,當且僅當xx2.時,AB的垂直平分線l為y軸,經過拋物線的焦點F.假設直線l的斜率存在,那么其方程為yk(xx.)y.,kAB,1,口11由x0m得：kx.一,x0一1一,與y.相矛盾.4kAB44k假設直線l經過焦點F,那么得：kx0y0y0,y084當直線l的斜率存在時,它不可能經過拋物線的焦點F.綜上所述,當且僅當x1x2.時,直線l經過拋物線的焦點F.(n)當k2時,由(i)知,X0它在y軸上的截距b直線AB的方程為y代入y2x2并整理得:y.y.1,直線l的方程為y2x8b-.4y02(xX.)y.,即b

12、E164x20.直線AB與拋物線有兩個不同交點,5116(2b-)>0,即32b9>0.8b>.32故l在y軸上的截距的取值范圍是(二,32).211,一,、8.(I)證實：x-y,mp-,設點M的坐標為(x0,y0).24當k0時,點M在y軸上,點N與原點O重合,拋物線在點N處的切線為x軸,與AB平彳T.,一,1當k.時,由kABx0p得:Xo2yN2x0幺.得點8N的坐標為(:k2).設拋物線C在點N處的切線方程為yk2m(x4)代入y一2一2x,得:2x2m(xk2整理得:c22xmxkmk28(2kmk2m2km22k(mk)mk,即拋物線c在點N處的切線的斜率等于直線故拋物線C在點N處的切線與AB平行.(n)解：假設NANB0,那么NANB,即ANB|AB|2|AM|2|BM|2|MN|.MCNxk.m(x)4k20,yokx