(完整word)五年級奧數(shù)題：因數(shù)與倍數(shù)

1、因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)習(xí)題（1）一、填空題1.28的所有因數(shù)之和是.2. 用105個大小相同的正方形拼成一個長方形，有中不同的拼法.3. 一個兩位數(shù)，十位數(shù)字減個位數(shù)字的差是28的因數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字的積是24.這個兩位數(shù)是.4. 李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹，學(xué)生恰好被平均分成四個小組，總共種樹667棵，如果師生每人種的棵數(shù)一樣多，那么這個班共有學(xué)生人.5. 兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公因數(shù)是5,則這兩個數(shù)的差是.6. 現(xiàn)有梨36個，桔108個，分給若干個小朋友，要求每人所得的梨數(shù)，桔數(shù)相等，最多可分給小朋友，每個小朋友得梨?zhèn)€，桔個.7. 一塊長48厘米、寬42厘米的布，不浪費(fèi)邊角料，能剪出最

2、大的正方形布片塊.8. 長180厘米，寬45厘米，高18厘米的木料，能鋸成盡可能大的正方體木塊（不余料）塊.9. 張師傅以1元錢3個蘋果的價格買蘋果若干個，乂以2元錢5個蘋果的價格將這些蘋果賣出，如果他要賺得10元錢利潤，那么他必須賣出蘋果個.10. 含有6個因數(shù)的兩位數(shù)有個.11. 寫出小丁20的三個自然數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1,但兩兩均不互質(zhì)，請問有多少組這種解？12. 和為1111的四個自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)最大能夠是多少？13. 狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳41米，黃鼠狼每次跳2?米,24它們每秒鐘都只跳一次.比賽途中，從起點開始每隔123米設(shè)有一個陷井，當(dāng)它們8之中有一個

3、掉進(jìn)陷井時，另一個跳了多少米？14. 已知a與b的最大公因數(shù)是12,a與c的最小公倍數(shù)是300，b與c的最小公倍數(shù)也是300，那么滿足上述條件的自然數(shù)a，b，c共有多少組？（例如：a=12、b=300、c=300,與a=300、b=12、c=300是不同的兩個自然數(shù)組）答案答案：1. 5628的因數(shù)有1,2,4,7,14,28，它們的和為1+2+4+7+14+28=56.2. 4因為105的因數(shù)有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的長方形的長與寬分別是105和1,35和3,21與5,15與7.所以能拼成4種不同的長方形.3. 64因為28=227,所以28的因數(shù)有6個:1,2,4,

4、7,14,28.在數(shù)字0,1,2,，9中，只有6與4之積，或者8與3之積是24,乂6-4=2,8-3=5.故符合題目要求的兩位數(shù)僅有64.4. 28因為667=2329,所以這班師生每人種的棵數(shù)只能是667的因數(shù):1,23,29,667.顯然，每人種667棵是不可能的.當(dāng)每人種29棵樹時，全班人數(shù)應(yīng)是23-1=22,但22不能被4整除，不可能.當(dāng)每人種23棵樹時，全班人數(shù)應(yīng)是29-1=28,且28恰好是4的倍數(shù)，符合題目要求.當(dāng)每人種1棵樹時，全班人數(shù)應(yīng)是667-1=666,但666不能被4整除，不可能.所以，一班共有28名學(xué)生.5. 40或20兩個自然數(shù)的和是50,最大公因數(shù)是5,這兩個自然

5、數(shù)可能是5和45,15和35,它們的差分另U為(45-5=)40,(35-15=)20,所以應(yīng)填40或20.注這里的關(guān)鍵是依最大公因數(shù)是5的條件，將50分拆為兩數(shù)之和：50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36個、桔子108個分給若十個小朋友，要求每人所得的梨數(shù)、桔子相等，小朋友的人數(shù)一定是36的因數(shù)，乂要是108的因數(shù)，即一定是36和108的公因數(shù).因為要求最多可分給多少個小朋友，可知小朋友的人數(shù)是36和108的最大公因數(shù).36和108的最大公因數(shù)是36,也就是可分給36個小朋友.每個小朋友可分得梨：3636=1(只)每個小朋友可分得桔子：10836=3(只)所以,最多可分得

6、36個小朋友,每個小朋友可分得梨1只，桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長48厘米及寬42厘米,所以它是48與42的公因數(shù)，題目乂要求剪出的正方形最大，故正方形的邊長是48與42的最大公因數(shù).因為48=22223,42=237,所以48與42的最大公因數(shù)是6.這樣，最大正方形的邊長是6厘米.由此可按如下方法來剪：長邊每排剪8塊，寬邊可剪7塊，共可剪(486)(426)=87=56(塊)正方形布片.8. 200根據(jù)沒有余料的條件可知長、寬和高分別能被正方體的棱長整除，即正方體的棱長是180,45和18的公因數(shù).為了使正方體木塊盡可能大,正方體的棱長應(yīng)是180、45和18

7、的最大公因數(shù).180,45和18的最大公因數(shù)是9,所以正方體的棱長是9厘米.這樣,長180厘米可公成20段，寬45厘米可分成5段，高18厘米可分成2段.這根木料共分割成(1809)(459)(189)=200塊棱長是9厘米的正方體.9. 150根據(jù)3與5的最小公倍數(shù)是15,張老師傅以5元錢買進(jìn)15個蘋果，乂以6元錢賣出15個蘋果，這樣，他15個蘋果進(jìn)與出獲利1元.所以他獲利10元必須賣出150個蘋果.10. 16含有6個因數(shù)的數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)有以下兩種情況：一是有5個相同的質(zhì)因數(shù)連乘；二是有兩個不同的質(zhì)因數(shù)其中一個需連乘兩次，如果用M表示含有6個因數(shù)的數(shù)，用a和b表示M的質(zhì)因數(shù)，那么Ma5或Ma

8、2b因為M是兩位數(shù)，所以M=a5只有一種可能M=25，而M=a2b就有以下15種情況M223,M225,M227,M2211,M2213,M2217,M2219,M2223,M322,M325,M327,M3211,M522,M523,M722.所以，含有6個因數(shù)的兩位數(shù)共有15+1=16（個）11. 三個數(shù)都不是質(zhì)數(shù)，至少是兩個質(zhì)數(shù)的乘積，兩兩之間的最大公因數(shù)只能分別是2,3和5,這種自然數(shù)有6,10,15和12,10,15及18,10,15三組.12. 四個數(shù)的最大公因數(shù)必須能整除這四個數(shù)的和，也就是說它們的最大公因數(shù)應(yīng)該是1111的因數(shù).將1111作質(zhì)因數(shù)分解，得1111=11101最大

9、公因數(shù)不可能是1111,其次最大可能數(shù)是101.若為101,則將這四個數(shù)分別除以101,所得商的和應(yīng)為11.現(xiàn)有1+2+3+5=11,即存在著下面四個數(shù)101,1012,1013,1015,它們的和恰好是101（1+2+3+5）=10111=1111,它們的最大公因數(shù)為101.所以101為所求.13. 黃鼠狼掉進(jìn)陷井時已跳的行程應(yīng)該是23與123的“最小公倍數(shù)”99,484即跳了99重=9次掉進(jìn)陷井，狐貍掉進(jìn)陷井時已跳的行程應(yīng)該是41和123的4428“最小公倍數(shù)”99,即跳了99-=11次掉進(jìn)陷井.222經(jīng)過比較可知，黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，這時狐貍已跳的行程是14-9=40.5（米）.先將12、

10、300分別進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解：12=223300=22352(1) 確定a的值.依題意a只能取12或125(=60)或1225(=300).確定b的值.當(dāng)a=12時，b可取12,或125,或1225;當(dāng)a=60,300時，b都只能取12.所以，滿足條件的a、b共有5組：a=12-a=12-a=12ja=60-a=300b=12,:b=60,:b=300,Ib=12,:b=12.確定a,b,c的組數(shù).對丁上面a、b的每種取值，依題意，c均有6個不同的值：222222225,52,52,53,523,523,即25,50,100,75,150,300.所以滿足條件的自然數(shù)a、b、c共有56=30(組)

11、因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)習(xí)題(2)填空題1.把20個梨和25個蘋果平均分給小朋友，分完后梨剩下2個，而蘋果還缺2個，一共有個小朋友.2. 幼兒園有糖115顆、餅干148塊、桔子74個，平均分給大班小朋友；結(jié)果糖多出7顆，餅干多出4塊，桔子多出2個.這個大班的小朋友最多有人.3. 用長16厘米、寬14厘米的長方形木板來拼成一個正方形，最少需要用這樣的木板塊.4. 用長是9厘米、寬是6厘米、高是7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要這種長方體木塊塊.5. 一個公共汽車站，發(fā)出五路車，這五路車分別為每隔3、5、9、15、10分鐘發(fā)一次，第一次同時發(fā)車以后，鐘乂同時發(fā)第二次車.6. 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子

12、分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒.那么平均給三群猴子，每只可得粒.7. 這樣的自然數(shù)是有的：它加1是2的倍數(shù)，加2是3的倍數(shù)，加3是4的倍數(shù)，加4是5的倍數(shù)，加5是6的倍數(shù)，加6是7的倍數(shù)，在這種自然數(shù)中除了1以外最小的是.8. 能被3、7、8、11四個數(shù)同時整除的最大六位數(shù)是.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組，要求每一組中任意兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1,那么至少要分成組.10. 210與330的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的倍.解答題答案：1. 9若梨減少2個，則有20-2=18（

13、個）；若將蘋果增加2個，則有25+2=27（個），這樣都被小朋友剛巧分完.由此可知小朋友人數(shù)是18與27的最大公因數(shù).所以最多有9個小朋友.2. 36根據(jù)題意不難看出，這個大班小朋友的人數(shù)是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因數(shù).所以,這個大班的小朋友最多有36人.3. 56所鋪成正方形的木板它的邊長必定是長方形木板長和寬的倍數(shù)，也就是長方形木板的長和寬的公倍數(shù)，乂要求最少需要多少塊，所以正方形木板的邊長應(yīng)是14與16的最小公倍數(shù).先求14與16的最小公倍數(shù).21614|87故14與16的最小公倍數(shù)是287=112.因為正方形的邊長最小為112厘米，所以最少需要用這

14、樣的木板112112_=78=56（塊）16144. 5292與上題類似，依題意，正方體的棱長應(yīng)是9,6,7的最小公倍數(shù)，9,6,7的最小公倍數(shù)是126.所以，至少需要這種長方體木塊126126126=142118=5292（塊）967注上述兩題都是利用最小公倍數(shù)的概念進(jìn)行“拼圖”的問題，前一題是平面圖形，后一題是立體圖形，思考方式相同，后者可看作是前者的推廣.將平面問題推廣為空間問題是數(shù)學(xué)家喜歡的研究問題的方式之一.希望引起小朋友們注意.5. 90依題意知，從第一次同時發(fā)車到第二次同時發(fā)車的時間是3,5,9,15和10的最小公倍數(shù).因為3,5,9,15和10的最小公倍數(shù)是90,所以從第一次同

15、時發(fā)車后90分鐘乂同時發(fā)第二次車.6. 5依題意得花生總粒數(shù)=12第一群猴子只數(shù)=15第二群猴子只數(shù)=20第三群猴子只數(shù)由此可知，花生總粒數(shù)是12,15,20的公倍數(shù)，其最小公倍數(shù)是60.花生總粒數(shù)是60,120,180,，那么第一群猴子只數(shù)是5,10,15,第二群猴子只數(shù)是4,8,12,第三群猴子只數(shù)是3,6,9,所以，三群猴子的總只數(shù)是12,24,36,.因此，平均分給三群猴子，每只猴子所得花生粒數(shù)總是5粒.7. 421依題意知，這個數(shù)比2、3、4、5、6、7的最小公倍數(shù)大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍數(shù)是420,所以這個數(shù)是421.8. 999768由題意知，最大的六位數(shù)是3,7,

16、8,11的公倍數(shù),而3,7,8,11的最小公倍數(shù)是1848.因為9999991848=541231,由商數(shù)和余數(shù)可知符合條件的最大六位數(shù)是1848的541倍，或者是999999與231的差.所以，符合條件的六位數(shù)是999999-231=999768.9. 3根據(jù)題目要求，有相同質(zhì)因數(shù)的數(shù)不能分在一組,26=213,91=713,143=1113,所以，所分組數(shù)不會小于3.下面給出一種分組方案：(1)26,33,35;(2)34,91;(3)63,85,143.因此，至少要分成3組.注所求組數(shù)不一定等于出現(xiàn)次數(shù)最多的質(zhì)因數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)，如15=35,21=37,35=57,3,5,7各出現(xiàn)兩次，而

17、這三個數(shù)必須分成三組，而不是兩組除了上述分法之外，還有多種分組法，下面再給出三種：(1) 26,35;33,85,91;34,63,143.(2) 85,143,63;26,33,35;34,91.(3) 26,85,63;91,34,33;143,35.10. 77根據(jù)“甲乙的最小公倍數(shù)甲乙的最大公因數(shù)=甲數(shù)乙數(shù)”，將210330分解質(zhì)因數(shù)，再進(jìn)行組合有210330=235723511=223252711=(235)(235711)因此，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的711=77(倍).11. 根據(jù)題意，先求出8,10,16的最小公倍數(shù)是80,即從第一次三車同時發(fā)出后，每隔80分鐘乂同時發(fā)車

18、.從早上6:00至20:00共14小時，求出其中包含多少個80分鐘.601480=1040分鐘由此可知,20:00前40分鐘，即19:20為最后一次三車同時發(fā)車的時刻.12. 甲乙兩數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的兩個商是互質(zhì)數(shù).而這兩個互質(zhì)數(shù)的乘積，恰好是甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公因數(shù)所得的商12.這一結(jié)論的根據(jù)是：(我們以“約”代表兩數(shù)的最大公因數(shù)，以“倍”代表兩數(shù)的最小公倍數(shù))甲數(shù)乙數(shù)=倍約甲數(shù)乙數(shù)倍約八八一=,所以：約約約約甲數(shù)乙數(shù)倍甲數(shù)乙數(shù)=12約約約'約約將12變成互質(zhì)的兩個數(shù)的乘積：12=43,12=112先看，說明甲乙兩數(shù)：一個是它們最大公因數(shù)的4倍，一個是

19、它們最大公因數(shù)的3倍.甲乙兩數(shù)的差除以上述互質(zhì)的兩數(shù)(即4和3)之差，所得的商，即甲乙兩數(shù)的最大公因數(shù).18(4-3)=18甲乙兩數(shù)，一個是:183=54,另一個是：184=72.再看,18(12-1)=1，不符合題意，舍去.1113. 依題意，設(shè)所求最小分?jǐn)?shù)為M，則NM5M15M1=a=b1=cN28N56N20M28M56人M20即=a=b=cN5N15N21其中a,b,c為整數(shù).因為地是最小值，且a，b，c是整數(shù)，所以M是5,15,21的最小公倍數(shù)小是N28,56,20的最大公因數(shù)，因此，符合條件的最小分?jǐn)?shù)：M=105=261N4414.(1)根據(jù)2號15號同學(xué)所述結(jié)論，將合數(shù)4,6,-,15分解