線性代數(shù)：第2章 矩陣.docx

1、第二章矩陣矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基本概念，它是研究線性代數(shù)的基本工具，在數(shù)學(xué)的其他分支以及相關(guān)專業(yè)的理論及實(shí)踐中也都有著重要的應(yīng)用。本章主要介紹矩陣的運(yùn)算、秩與初等變換。§1矩陣的概念在上一章的克萊姆法則中，元線性方程組的解七=4由系數(shù)構(gòu)成的行列'D式可以確定，利用數(shù)表%a2anba2a22a2n”2編ann如及行列式的概念很容易寫出解。同樣在很多實(shí)際問題中，利用數(shù)表形式可用來簡(jiǎn)化問題并進(jìn)行討論，下面給出矩陣的定義。定義1："?x個(gè)數(shù)=l,2,.-n）（通常也稱為元素）排列成卜冽形式的數(shù)表：“12ana2a22<aman,2anm）稱為以矩陣（Matrix）,

2、通常記為（"n或（）,亦可記為Ag或A等大寫英文字母。元素為實(shí)（復(fù)）數(shù)的矩陣稱為實(shí)（復(fù)）矩陣，元素全為0的矩陣稱為零矩陣，記為0或OJX0當(dāng)2=時(shí)，稱矩陣為（階）方陣,特別地m=n=l,也記（%）=%1。階方陣按其形狀依次稱為上三角矩陣，下三角矩陣和對(duì)角形矩陣。&。12。0.0、0.0、09%.090。22.00"C<00嘰再給出證明。(0.0"0A,0一般地，對(duì)于分塊對(duì)角陣4=-,有|4|=|耳|總|.|41。°°如果每個(gè)小方陣A,可逆，則有X、A-*=&.o<§5矩陣的秩與初等變換秩是矩陣的一個(gè)重要特征

3、量，應(yīng)用非常廣泛。矩陣的初等變換是討論矩陣及其性質(zhì)的最基本方法。一、秩(Rank)在矩陣A中，任意取定R行和k列，位于交叉點(diǎn)處的爐個(gè)元素按原來的位置構(gòu)成的&階行列式稱為A的k階子式。定義9：如果矩陣A中存在某一，階子式不等于0,所有高于廠階子式全為0,則稱矩陣A的秩為r,記為秩(A)或R(A),r(A)。2。22例如0000ar%arr00Cini(q淫0j=1,2,.,r)的秩為,。00#0,任一高于r的子式中至少一行元“11a2因?yàn)橛幸?，階子式°00素全為0,從而高于尸的子式為0。一般地，小矩陣按上述定義方法來求秩非常麻煩。下面介紹的矩陣的初等變換可以解決該問題。二、初等

4、變換定義10：下列變換稱為矩陣的初等變換：1）交換矩陣第，行（列）與第，行（列）元素（記為，;。，:或弓0勺）；2）把矩陣的第，行（列）每一元素乘以非零數(shù)k（記為如;或S）；3）把矩陣第/行（列）元素的R倍加到第，行（列）對(duì)應(yīng)的元素上（記為i+給.或q+kcj）o上述三種變換分別稱為矩陣的第一類、第二類和第三類初等變換，變換前后的矩陣之間用“”連接，所做變換寫在“T”的上方或下方。例如23<231)（231)31123今一3為12312J12；lo-5-7Z213性質(zhì)1：初等變換不改變矩陣的秩。只要證明每經(jīng)過一次初等變換，變換前后的矩陣秩不變即可。讀者自行練習(xí)。下列形式的矩陣稱為階梯形矩

5、陣：-10340、3532、227-2000.H-90:2：00020000000階梯形矩陣的特征是沿虛線看像一個(gè)倒置的階梯，階梯下部元素全為0；階梯的“高度”（行數(shù)）只能為一行，“寬度”（列數(shù)）為正整數(shù)。為了后面敘述方便，把方框內(nèi)的元素稱為階梯的“角”，“角”上元素不能為零。如果階梯形中“角”上元素為1,“角”所在列的其他元素為0,則稱該階梯形為簡(jiǎn)化階梯形。定理2：任一非零矩陣A一定可以經(jīng)過一系列的初等行變換化為階梯形；進(jìn)而化為簡(jiǎn)化階梯形。證明：設(shè)人=（%）,“，分三種情形來討論:1）若。口。0,則做初等變換-冬*，4-冬把第1列的其他元素化為0,變成形式*'x,A為（所-1）x（-

6、1）矩陣;1°）2）若=0,m某一。"0,則作初等變換4。/;,可變?yōu)?）的情形;3) 若前A列元素全為0,3ak+j0,作變換*如，再按1)進(jìn)行變換為©.0財(cái)*、*oo4/©.0財(cái)*、*oo4/,A為(2-S1)x(-1)矩陣。對(duì)于A繼續(xù)按上面方法進(jìn)行處理，最后即得階梯形矩陣。推論L任一非0矩陣一定可以經(jīng)過一系列初等變換化為Er0、，其中，=秩(A)。事實(shí)上，對(duì)簡(jiǎn)化階梯形再進(jìn)行初等列變換即可得上述形式。上述形式稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。例8討論矩陣并把它化成簡(jiǎn)化階梯形。解:當(dāng)心0>-120-1200、01q1111、qi111、q0-1-1-2、At0-

7、1-2-2a-30i22301223<01223)、o000000嘰易知，同階矩如果矩陣A經(jīng)過一系列初等變換化為矩陣稱A與B等價(jià)。陣A與8等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)秩(A)二秩(B)，從而它們有相同的標(biāo)準(zhǔn)形。<10-1-I-2、1)當(dāng)。=0時(shí)，秩為2,簡(jiǎn)化階梯形為01223<00000>2)當(dāng)6/()時(shí)，秩為3,簡(jiǎn)化階梯形上面已給出。三、初等矩陣定義11：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過一次初等變換后所得到的矩陣稱為初等矩陣。記E一印,八,EEEH.j(k)；_.：kc.c；+kc：則E印,jl，EEi(k),E一EjJ(k)o由定義容易得到下列性質(zhì)：1）初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣。其中Ei

8、J=EiJ,礦以）=?。◤V）,E"i,j（k）=EiJ（-k）o2）初等矩陣左（右）乘矩陣A相當(dāng)于對(duì)A進(jìn)行相應(yīng)的行（列）的初等變換,反之亦成立。有了初等矩陣，前面提到的初等變換前后矩陣之間可用等式連接起來。例9：設(shè)三階方陣A滿足：J01、。10、123、010100=231,求01J<001,。12；q23、解：題中等式即El,3AE1,2=231。12,<123、即A=E'1,3(1)J231。12，<123、=£1,3(-1)231£1,2012,"-211、<1-11)231£1,2=321o312,J32

9、,由初等矩陣的性質(zhì)，還可以將本章的定理2及推論1寫成下述形式：定理2,對(duì)任一非零矩陣4,一定存在初等矩陣出,，使得乙人為階梯形矩陣（或簡(jiǎn)化階梯形）。推論1'：對(duì)任一非零矩陣A,一定存在初等矩陣R和已,。，使得（Er0）".叫。°記e=e.-e,，則戶、。均為可逆陣。因此推論r又可改寫成（E0、“對(duì)任一非。矩陣A,一定存在可逆矩陣F、Q，使得PAQ=r二四、初等變換求逆當(dāng)A為可逆矩陣時(shí)，(2)式又可寫成PxPSAQ'''Qt=E=>Q-''QP'''PS=E,即AT=0。又=a-,£=a-

10、,o故令b=(ae)9則有Q.Qg.R(A|E)=(E|A").(3)式表明對(duì)矩陣(A|E)經(jīng)過一系列的初等行變換把A化為單位矩陣時(shí)，這些變換也就同時(shí)把A右邊的矩陣E化為H這種求逆方法稱為初等變換求逆法。12例10：求矩陣人=233、1的逆陣。V3、1的逆陣。V123解：（A|E）=2310120102-1-53-5-7100、-210-3010-1（°°18()000;5171818180:J2518181818:7-5100。1007-515J_2_181818175181818751181818習(xí)題二1)（也易沔）01a2a2。22。13。23工29皿%33

11、>2)已知A=1010；求A2.A、1'311、<11-r2.設(shè)1)A=212,B=2-101k23)01.計(jì)算,求AB-BA.A4o3.3.設(shè)A=互不相同。證明與A可交換的矩陣只,求AB.(abc、1ac、2)A=cha，B=1bbJ1uJc(X)設(shè)A是階實(shí)方陣,且A!A=0。證明A=0o能為對(duì)角矩陣。5. 證明任一方陣可表示成一對(duì)稱矩陣和一反對(duì)矩陣之和。6. 設(shè)./*(；1)=。/'+%人+%,定義f(A)=q/T+qA+%E,其中A211、是階方陣。已知/(A)=22-l,人=312,計(jì)算/(A)oJT°,7. 己知方陣A滿足A2-A-7E=0o證明

12、A及A+2E可逆，并求它們的逆矩陣。8. 求下列矩陣的逆陣：<211、”23、U3、;2)121；3)1-1021J12,L21,111、<21、11-1-I214)1-11-1；5)21J-1-1<2,<422)9. 已知A=120,且AB=A+2B,求B。技123,設(shè)A是階方陣，如果對(duì)任意xl矩陣X均有AX=0。證明A=0o10. 己知4階方陣人的行列式|A|=5,求|a。11. 設(shè)A,B分別為，n,階可逆方陣，證明分塊矩陣可逆，并求逆。SB)(0A12. 設(shè)X=,其中A-'L存在，求X_,o求下列矩陣的秩：<224114、32-1-3、-1-1-30

13、2-12-131;2)121113705-1/q12-2-1-b1。aA2=kA(k是一個(gè)數(shù))。1。aA2=kA(k是一個(gè)數(shù))。/、3) Ibb2屏。1cc2c37提高題1. 秩為，的矩陣可表示為，個(gè)秩為1的矩陣之和。2. 設(shè)mxn矩陣A的秩為1,證明：W、i) A可表示成：(b、如)；設(shè)人是階方陣，X是xl矩陣1,證明：1）AX的第，個(gè)元素等于A的第，行元素之和；2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常數(shù)。，則人一|的每一行元素之和也相等。3. 證明：1）上（下）三角矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣；2）可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣。4. 己知實(shí)三階方陣A滿足：1）灼=島；

14、2）%3=一1。求仇|。5. 設(shè)A=E-a-a,其中a是xl非零矩陣。證明：1）A2=A的充分必要條件是礦。=1；2）當(dāng)q'q=1時(shí)，A是不可逆矩陣。EB設(shè)A,B分別是nxm.矩陣，證明w=En-AB=Em-BAoAE8.A,8如上題，人。0。證明En-A=-,nEm-B/.10.0、0|.o階方陣uu稱為(階)單位矩陣，通常記為旦或,00.1,只有一行的矩陣稱為行矩陣，通常記為%)；只有一列的矩陣稱為列矩陣。如果兩個(gè)矩陣A與B的行數(shù)、列數(shù)以及對(duì)應(yīng)位置上的元素都相同，則稱矩陣A與矩陣B相等，記為4=6。§2矩陣的運(yùn)算一、加(減)法.定義2：設(shè)A=(%)mxn,B=(by)mx

15、rt,令勺=氣+為,稱矩陣C=(c.)mxn為矩陣A與矩陣B的和，記為C=A+B.容易驗(yàn)證下列性質(zhì)：1) (人+B)+C=A+(B+C)；2) 人+3=3+人；3) 人+0=0+人。矩陣稱為矩陣A=(四).“的負(fù)矩陣，記為-A。則有性質(zhì)：4) A+(-A)=()o矩陣的減法定義為：A-B=A+(-B)o二、數(shù)與矩陣的乘法定義3：矩陣(飽危稱為數(shù)k與矩陣A=(%履的乘積(簡(jiǎn)稱為數(shù)乘)，記為kA。容易驗(yàn)證下列性質(zhì)：1) (A:+/)A=M+M；2) k(A+B)=kA+kB；3) k(JA)=(kl)A；4) A=AoRE稱為數(shù)量矩陣。三、乘法在中學(xué)討論二次曲線的時(shí)候，利用坐標(biāo)變換在中學(xué)討論二次曲

16、線的時(shí)候，利用坐標(biāo)變換該變換由矩陣y="+a22y%2a22決定。如果再作坐標(biāo)變換Iw匕變換由矩陣決定。結(jié)果有x=0吊+a2b2l)x,+(aify2+a2b22)yn累積的兩y=(七也i+2如)*+(%如+%2奶2)礦次坐標(biāo)變換由矩陣C=(c;)2x2決定，其中C疽也/+%2奶，它是由48中的元素的某一運(yùn)算關(guān)系所確定。把這種運(yùn)算關(guān)系推廣到一般情形，有下面乘法定義。定義4：設(shè)A=(%),g，能("網(wǎng)，記勺也(即勺等于A的第i行與*=1A的第頂列對(duì)應(yīng)元素乘積的和)，稱為矩陣0與矩陣B的乘積(稱為乘法)。記為C=43或人注意：只有A的列數(shù)等于B的行數(shù)時(shí)，乘積AB才有意義。/、.

17、41)(03、例1：A=,B=-11。求ABBA.20k)12Oj,、f6112)5/"IO1)解:AB=,BA-11-3©73*7U06j上例可以看出，矩陣乘法不滿足交換律，即一般地，ABBA.但下列運(yùn)算性質(zhì)成立(假定運(yùn)算是可進(jìn)行的)。1) (AB)C=A(BC)；2) A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+M；3) A(AB)=(AA)B=A(AB)；4) A,”：=EnjAtnxn=Ao定義5：若矩陣43滿足AB=BAf稱A與A是可交換的。<100、例2：A=010,求與A可交換的矩陣。<01L"11"12解：由AB=BA知，A

18、,B必為同階方陣，故可設(shè)設(shè)B=如*22»23，匕33>與A可交換，艮"、a"12+13b】3b2lb22b23=21奶2+奶3如321+61b124-b32b23+b-*4“32+”33°33>匕3力32由矩陣相等的定義知對(duì)應(yīng)位置上的元素相等可得=如3=如=°，故與A可交換的矩陣為h0、0b2204”32/?22>h0、0b2204”32/?22>(4i012，22031,力32為任意數(shù))。W、對(duì)于第一章中的線性方程組(3),記A=(«,)_,X=,B=O由。有時(shí)候用矩陣的乘法，(3)可寫成矩陣乘積形式AX=B

19、.對(duì)于上述的坐標(biāo)變換*=同樣也可以寫成矩陣乘積形式y(tǒng))y="+a22y矩陣形式來表示一些對(duì)象比較簡(jiǎn)單。如果A為方陣，可定義階方陣的幕運(yùn)算：A°=£,/V=A,A2=AA,.,人3=人*.#。易知，AA1=Ak+lf(*)'=A"。四、轉(zhuǎn)置01。21'定義6：稱矩陣知為矩陣a=(%扇的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A'或a2n爐。對(duì)于轉(zhuǎn)置，有下列性質(zhì)：1) (4)'=A；2) (A+B)'=A'+8；4)(ABY=B'A!o證明：僅證4)o設(shè)A=(%&)”臨，B=(&)$“，則AB=(Cjj)mxn，

20、=q.也j。代©(AB)'第i行第j列兀素為“沾；+.+：<>又E中第i行第#列元素為如，4的第&行第，列元素為。八.，所以，ZM，中第，行第，列元素為：£誠,從而(AB)r=BfArojt«i如果矩陣A滿足4=A,稱人為對(duì)稱矩陣；若4=-A,稱人為反對(duì)稱矩陣。例3：設(shè)A,8為對(duì)稱矩陣，證明：AB對(duì)稱的充分必要條件是AB=BA.證明：已知A'=A,B'=B。=»若A3對(duì)稱，艮P(ABy=ABo又因?yàn)?AB)'=B'A'=BA,所以AB=BA.<=)若AB=BA,貝(ABS=B,A：

21、=BA=AB,所以/W對(duì)稱。注意：由于矩陣乘法的交換律不成立，因此一些在數(shù)字運(yùn)算中具有的公式，在矩陣的運(yùn)算中只有A與B可交換的時(shí)候才能成立，例如：A2-B2=(A+B)(A-B)；(A+時(shí)=萬+2仙+度。§3矩陣的逆一、方陣的行列式定義7：由"階方陣A的元素按原來的位置關(guān)系構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記為IAI或detAo方陣的行列式有以下性質(zhì)：1) |A'l=|A|;2) |2A|=2n|A|(n階)；3) AB=ABO證明：1)即為第一章的性質(zhì)1。2)由第一章的性質(zhì)3立得。3)證明從略。二、可逆矩陣定義8：對(duì)于階方陣A,如果存在一個(gè)階方陣3,使得AB=BA=

22、E,則稱A是可逆矩陣，B是A的逆矩陣。如果A可逆，容易推出A的逆矩陣是唯一的。事實(shí)上，設(shè)鳥,功均為A的逆矩陣，艮|JAB,=B,A=F,AB2=B2A=E。所以烏=鳥已=烏以外)=(£A)為=與。由于逆矩陣存在時(shí)，逆是唯一的，所以通常用來表示人的逆矩陣。對(duì)于矩陣(1、()1/1-1、'10、()b(1()1是可逆矩陣，其逆。對(duì)于矩陣則不存在逆矩陣，這說明非0矩陣未必都是口J逆的。1-n01>K如果A,3是可逆矩陣，則有下列運(yùn)算性質(zhì):1)2)3)4)4)(W=(A')-L根據(jù)定義可以直接驗(yàn)證。三、伴隨矩陣下面介紹逆矩陣的一種求法。設(shè)A是方陣，記九為仇|中元素灼的代

23、數(shù)余子%A.句a2Ar24%A.句a2Ar24式，稱矩陣A*=為矩陣A的伴隨矩陣?？梢则?yàn)證定理1：階方陣A可逆的充分必要條件是|A|#()。且當(dāng)A可逆時(shí),曰片"。證明：因?yàn)?W=A'A=|A|E(I)n)A可逆，存在矩陣B使得A8=BA=E。故|A|B|=1,從而|人伊()。u)若|A/0,由(1)式，A(At)=(A，)A=EO所以A可逆，且|A|MlA*=|A|由定理1,當(dāng)A為方陣時(shí)，可逆矩陣的定義又可以簡(jiǎn)寫成AB=E或以=E。例4：已知A2+3A+E=0,證明：A+E可逆。證明：由A2+3A+E=O,得G4+E)G4+2E)=E,所以A+E可逆，且(A+E)l=A+2E

24、o例5：求矩陣人“s'血?dú)獾哪婢仃嚒?、一sinQcosOJ解：|A|=1,I=cos。，A2=-sin0,=sin,A22=cos0o.(cos9一sin9)A_,=opSin。cos6?;用定理1的方法求逆，稱之為伴隨矩陣法。一般來說對(duì)高階矩陣，用它來求逆運(yùn)算量比較大，后面再介紹另外的方法。§4分塊矩陣對(duì)有些矩陣，有時(shí)我們把它分成若干小塊，使原來矩陣的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單清晰，意義更加明確，便于計(jì)算及處理問題。這一節(jié)簡(jiǎn)單介紹分塊矩陣的知識(shí)，在后面的章節(jié)里有更多的應(yīng)用。將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多小塊(稱為子塊)，以子塊為元素所構(gòu)成的形式矩陣稱為分塊矩陣。例如A=，記C=CI1C12