小學奧數(shù)質數(shù)合數(shù)分解質因數(shù)

1、5-5質數(shù)合數(shù)分解質因數(shù)鼬帷教學目標本講中的知識點在小學課本內已經有所涉及，并且多以判斷題考察。質數(shù)合數(shù)的出現(xiàn)是對自然數(shù)的另一種分類方式，但是相對于奇數(shù)偶數(shù)的劃分要復雜許多。質數(shù)本身的無規(guī)律性也是一個研究質數(shù)結構的難點。在奧數(shù)數(shù)論知識體系中我們要幫助孩子樹立對質數(shù)和合數(shù)的基本認識，在這個基礎之上能夠會與之前的一些知識點結合運用。分解質因數(shù)法是一個數(shù)論重點方法，本講另一個授課重點在于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈活運用。mm知識點撥1. 質數(shù)與合數(shù)一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)（也叫做素數(shù)）.一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)要特別記住：0和1不是質數(shù)，也不

2、是合數(shù).常用的100以內的質數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共計25個；除了2其余的質數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5,其余的質數(shù)個位數(shù)字只能是1,3,7或9.考點：值得注意的是很多題都會以質數(shù)2的特殊性為考點.除了2和5,其余質數(shù)個位數(shù)字只能是1,3,7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.2. 質因數(shù)與分解質因數(shù)質因數(shù)：如果一個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質數(shù)是這個數(shù)的質因數(shù)互質數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互質數(shù).分解質因數(shù)：把一個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質

3、因數(shù)例如：30235.其中2、3、5叫做30的質因數(shù).又如12223223,2、3都叫做12的質因數(shù)，其中后一個式子叫做分解質因數(shù)的標準式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標準式.分解質因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征.3. 唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質數(shù)的連乘積，即：npap；2p?Lp；k其中為質數(shù)，a；2LLak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的該式稱為n的質因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).分析：210=2X3X5X,7可知這三個數(shù)是5、6和7.4. 部分特殊數(shù)的分解111337;10017111

4、3；1111141271;1000173137;199535719;1998233337;200733223;2008222251;10101371337.5. 判斷一個數(shù)是否為質數(shù)的方法根據定義如果能夠找到一個小于p的質數(shù)q（均為整數(shù)），使得q能夠整除p,那么p就不是質數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p,我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)K2,再列出所有不大于K的質數(shù)，用這些質數(shù)去除p,如沒有能夠除盡的那么p就為質數(shù).例如：149很接近1441212,根據整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數(shù).例題精講模塊一、質

5、數(shù)合數(shù)的基本概念的應用【例1】下面是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華朋會友，幼長相親同切磋；杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌.請你將詩中56個字第1行左邊第一字起逐行逐字編為156號，再將號碼中的質數(shù)由小到大找出來，將它們對應的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話.【鞏固】（2008年南京市青少年“科學小博士”思維訓練）炎黃驕子菲爾茲獎被譽為“數(shù)學界的諾貝爾獎”：只獎勵40歲以下的數(shù)學家.華人數(shù)學家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎.我們知道正整數(shù)中有無窮多個質數(shù)（素數(shù)），陶哲軒等證明了這樣一個關

6、于質數(shù)分布的奇妙定理：對任何正整數(shù)k,存在無窮多組含有k個等間隔質數(shù)（素數(shù)）的數(shù)組.例如，k3時，3,5,7是間隔為2的3個質數(shù)；5,11,17是間隔為6的3個質數(shù)：而,是間隔為12的3個質數(shù)（由小到大排列，只寫一組3個質數(shù)即可）.【鞏固】（2003年“祖沖之杯”邀請賽）大約1500年前，我國偉大的數(shù)學家祖沖之，計算出兀的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把兀的值精確到7位小數(shù)的人.現(xiàn)代人利用計算機已經將兀的值計算到了小數(shù)點后515億位以上.這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律.但是細心的同學發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質數(shù)，31也是質數(shù)，但314不是質數(shù)，在3141,31415

7、,314159,3141592,31415926,31415927中恰有一個是質數(shù)，是哪個？【鞏固】（2004年全國小學奧林匹克）自然數(shù)N是一個兩位數(shù)，它是一個質數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質數(shù)，這樣的自然數(shù)有多少個？【例2】兩個質數(shù)之和為39，求這兩個質數(shù)的乘積是多少.【解析】因為和為奇數(shù)，所以這兩個數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個是2,另一個是37,乘積為74.我們要善于抓住此類題的突破口?！眷柟獭咳绻鸻,b均為質數(shù)，且3a7b41,則ab【鞏固】A,B,C為3個小于20的質數(shù)，ABC30,求這三個質數(shù)【鞏固】已知3個不同質數(shù)的和是最小的合數(shù)的完全平方，求這3個質數(shù)的乘積是多少?【鞏固】

8、小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼是四位數(shù).同時，她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為abba,其中ab,而且ab和ba都是質數(shù)（a和b是兩個數(shù)字）.具有這種形式的數(shù)共有多少個？【例3】（“祖沖之杯”小學數(shù)學邀請賽）九九重陽節(jié)，一批老人決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去參觀兵馬俑.如果打算每輛車坐22個人，就會有1個人沒有座位；如果少開一輛車，那么，這批老人剛好平均分乘余下的大巴.那么有多少個老人？原有多少輛大巴？【鞏固】（俄羅斯數(shù)學奧林匹克）萬尼亞想了一個三位質數(shù)，各位數(shù)字都不相同.如果個位數(shù)字等于前兩個數(shù)字的和，那么這個數(shù)是幾？【鞏固】（第五屆“華杯賽”口試第15題）

9、圖中圓圈內依次寫出了前25個質數(shù)；甲順次計算相鄰二質數(shù)之和填在上行方格中；乙順次計算相鄰二質數(shù)之積填在下行方格中.甲填和數(shù)質數(shù)列乙填積數(shù)問：甲填的數(shù)中有多少個與乙填的數(shù)相同？為什么？【鞏固】（全國小學數(shù)學奧林匹克）從19中選出8個數(shù)排成一個圓圈，使得相鄰的兩數(shù)之和都是質數(shù).排好后可以從任意兩個數(shù)字之間切開，按順時針方向讀這些八位數(shù)，其中可以讀到的最大的數(shù)是多少？【鞏固】（保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學邀請賽不算）除1及它本身以外，不能被是什么？）用L表示所有被3除余1的全體正整數(shù).如果L中的數(shù)（1L的任何數(shù)整除，稱此數(shù)為“L質數(shù)”.問：第8個“L質數(shù)”【例4】9個連續(xù)的自然數(shù)，每個數(shù)都大于80,那么

10、其中最多有多少個質數(shù)？請列舉和最小的一組【鞏固】（我愛數(shù)學少年數(shù)學夏令營）用0,1,2，9這10個數(shù)字組成6個質數(shù)，每個數(shù)字至多用1次,每個質數(shù)都不大于500,那么共有多少種不同的組成6個質數(shù)的方法.請將所有方法都列出來.【鞏固】從小到大寫出5個質數(shù)，使后面數(shù)都比前面的數(shù)大12。這樣的數(shù)有幾組?【例5】用1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)字組成質數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次,那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質數(shù).【鞏固】有三張卡片，它們上面各寫著數(shù)字1,2,3,從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來,可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請你將其中的質數(shù)都寫出來【鞏固】某

11、質數(shù)加6或減6得到的數(shù)仍是質數(shù)，在50以內你能找出幾個這樣的質數(shù)？把它們寫出來【例6】7個連續(xù)質數(shù)從大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。已知它們的和是偶數(shù)，那么d是多少?【鞏固】從20以內的質數(shù)中選出6個，然后把這6個數(shù)分別寫在正方體木塊的6個面上，并且使得相對兩個面的數(shù)的和都相等.將這樣的三個木塊擲在地上，向上的三個面的三個數(shù)之和可能有多少種不同的值？【鞏固】將八個不同的合數(shù)填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數(shù)互質，那么A最小是幾?A=()+()=()+()=()+()=()+()【鞏固】4只同樣的瓶子內分別裝有一定數(shù)量的油.每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8,9,10,

12、11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數(shù)，求最重的兩瓶內有多少油？【例7】將60拆成10個質數(shù)之和，要求最大的質數(shù)盡可能小，那么其中最大的質數(shù)是多少【鞏固】將50分拆成10個質數(shù)的和，要求其中最大的質數(shù)盡可能大，則這個最大的質數(shù)是多少?【鞏固】將37拆成若干個不同的質數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中拆出的那些質數(shù)相乘,得到的乘積中，哪個最小？【鞏固】如果一個數(shù)不能表示為三個不同合數(shù)的和,幾？那么我們稱這樣的數(shù)為智康數(shù)，那么最大的智康數(shù)是模塊二、分解質因數(shù)【例8】兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積是111555，這兩個奇數(shù)之和是多少？【鞏固】三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三

13、個數(shù)是多少?【鞏固】把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組，要求每組中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么至少要分幾組.【鞏固】把40,44,45,63,65,78,99,105這八個數(shù)平分成兩組，使每組四個數(shù)的乘積相等?！纠?】4個一位數(shù)的乘積是360,并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個是多少？【鞏固】將19九個自然數(shù)分成三組，每組三個數(shù).第一組三個數(shù)的乘積是48,第二組三個數(shù)的乘積是45,第三組三個數(shù)字之和最大是多少？【例10】在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209,如果它的長、寬、高都是質數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？【

14、鞏固】一個長方體的長、寬、高是連續(xù)的3個自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米？【鞏固】一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米？【例11】（老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大2歲，他們四個人年齡的乘積是48384。問他們四個人的年齡各是幾歲？【鞏固】甲乙兩人的年齡和為一個質數(shù)，這個數(shù)的個位與十位數(shù)字的和是13,甲比乙大13歲，那么乙今年多大？【例12】甲數(shù)比乙數(shù)大5,乙數(shù)比丙數(shù)大5,三個數(shù)

15、的乘積是6384,求這三個數(shù)?【鞏固】如果兩數(shù)的和是64,兩數(shù)的積可以整除4875,那么這兩個數(shù)的差等于多少?【鞏固】四個連續(xù)自然數(shù)的乘積是3024,這四個自然數(shù)中最大的一個是多少?【鞏固】2004720的計算結果能夠整除三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少?【鞏固】三個質數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質數(shù)【鞏固】三個質數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質數(shù).【例13】3個質數(shù)的倒數(shù)之和是16史，則這3個質數(shù)之和為多少.1986【鞏固】有一種最簡真分數(shù)，它們的分子與分母的乘積都是140.如果把所有這樣的分數(shù)從小到大排列,那么第三個分數(shù)是多少？【鞏固】一個分數(shù)，分

16、母是901，分子是一個質數(shù).現(xiàn)在有下面兩種方法：分子和分母各加一個相同的一位數(shù)；分子和分母各減一個相同的一位數(shù).用其中一種方法組成一個新分數(shù)，新分數(shù)約分后是-.那么原來分數(shù)的分子是多少.135看成8,由此得乘積為【例14】在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字1872.那么原來的乘積是多少？【鞏固】某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元.這個學校共有35名教師，14個教學班.各班學生人數(shù)相同且多于30人不超過45人.如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元？【例15】在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶），或者是不超過10的自然數(shù).甲、乙兩名運動員各射了

17、5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764,但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán).求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少？【鞏固】已知5個人都屬牛，它們年齡的乘積是589225,那么他們年齡的和為多少?模塊三、質數(shù)合數(shù)綜合型題目【例16】P是質數(shù)，P10,P14,P102都是質數(shù).求P是多少?【鞏固】已知P是質數(shù)，P21也是質數(shù)，求P51997是多少?【例17】有些自然數(shù)能夠寫成一個質數(shù)與一個合數(shù)之和的形式，并且在不計加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有13種。那么所有這樣的自然數(shù)中最小的一個是多少.【鞏固】如果一些不同質數(shù)的平均數(shù)是21,那么這些質數(shù)中最大的一個可能是多少?【鞏固】求1-100中不能表示成兩個合數(shù)的乘

18、積再加一個合數(shù)的最大數(shù)是多少?【例18】已知P,Q都是質數(shù)，并且P11Q932003，則PQ=【鞏固】將1到9這9個數(shù)字在算式的每個括號內各填入一個數(shù)字，使得算式成立,并且要求所填每一個括號內數(shù)字均為質數(shù)【鞏固】三個質數(shù)、口。如果口1,口。，那么是多少?【例19】有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù).求這兩個整數(shù)分別是多少？【鞏固】兩個學生抄寫同一個乘法算式，兩個乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯了一個數(shù)字，于是得到兩個不同的算式，但巧合的是，他們計算的結果都是936。如果正確的乘積不能被6整除，那么它等于多少？【例20】如果某整數(shù)同時具備如下三條性質：這個數(shù)與1的差是質數(shù)，這個數(shù)除以2所得的商也是質數(shù)，這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5,那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù)。求出所有的兩位幸運數(shù)【鞏固】如果一個數(shù)，將它的數(shù)字倒排后所得的數(shù)仍是這個數(shù)，我們稱這個數(shù)為回文數(shù).如年份數(shù)1991,具有如下兩個性質：1991是一個回文數(shù).199