橢圓大題中的向量問題—基礎(chǔ)篇

1、橢圓中的向量問題一、基礎(chǔ)知識(shí)部分：向量的數(shù)量積運(yùn)算、垂直關(guān)系 & 角度判斷、橢圓內(nèi)的平行四 邊形問題1向量的數(shù)量積問題記點(diǎn) P t ,0 是 x 軸上的一點(diǎn)， Ax , y、 Bx, y是直線 l ： ykxm （ l 不經(jīng)過橢圓11222y21 ab0uuuruuur的頂點(diǎn)） 和橢圓 x的兩個(gè)交點(diǎn)，則PAPB 計(jì)算過程可分為以下三步：a2b2uuuruuurI 寫出向量的坐標(biāo)（末初），并將 PAPB 表示成 fx1 x2 , x1x2的形式uuur uuurPA PBx1t , y1x2t, y2x1t , kx1m x2t, kx2mk21 x1 x2km tx1x2m2t 2&#

2、183;·····II 聯(lián)立直線 l 和橢圓，得出 x1 x2f1k, m， x1x2f 2k,m；聯(lián)立y kxm，得 a 2k 2b 2x22kma2 x a2 m2b20 ，b2 x2a 2 y2a2 b20則 x1x22kma2， x1 x2a2m2b 2，a2 k 2b2a2 k2b2uuuruuuruuuruuurIII 將 x1x2 ， x1 x2 代入式中，得到PAPBg k, m，將 PAPB 轉(zhuǎn)化為含 k, m 的式子uuuruuura2m2b22kma2k 2m2t21kmt PAPBa 2k 2b2b2a2 k222222

3、22t2abma bk12kmtaa 2k 2b 2a2 k2b2其中 I 、II 兩步可以互換順序uuur uuur2a 2b2m2a2 b2 k 212mtb2同理，若點(diǎn) P 0,t ，則 PA PBta 2k2b2a2 k2b2特殊情況：當(dāng)uuuruuura2b 2m2a 2b 2k 21P為原點(diǎn) O時(shí)， OA OBa2 k2b2基礎(chǔ)練習(xí)：請(qǐng)按照以下條件作答2x21已知斜率為k 的直線 l 經(jīng)過點(diǎn)1,0 與橢圓y1 交于 A、B 兩點(diǎn)，uuuruuur（1）若點(diǎn) O 為原點(diǎn)，請(qǐng)寫出OA OB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；uuuruuur（2）已知點(diǎn) P 2,0 ，請(qǐng)寫出 PA PB 關(guān)于斜率

4、 k 的關(guān)系式；2若斜率為 k 的直線 l 經(jīng)過點(diǎn)0,2 與橢圓 x2y21 交于 A、B 兩點(diǎn)（注意0 ），32uuur uuur（1）若點(diǎn) O 為原點(diǎn)，請(qǐng)寫出 OA OB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；（2）若點(diǎn) P 1,0uuuruuur，請(qǐng)寫出 PAPB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；（3）若點(diǎn) P 2,0uuuruuur，請(qǐng)寫出 PA PB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；1.1 求向量數(shù)量積的問題（給出點(diǎn)P 的坐標(biāo)）例 1：已知橢圓 C ： x2y21 ，直線 l 經(jīng)過 C 的右焦點(diǎn) F 與橢圓交于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn)43P3,0uuuruuuruuuruuur7k215 ）（1）寫出 PAPB 關(guān)于

5、直線 l 的斜率 k 的關(guān)系式； （ PAPB4 k23uuuruuur22 ，求直線 l 的方程； （ yx1 ）（2）若 PAPB7uuuruuuruuuruuuruuuruuur29 ）（3）若 OAOB2 ，求 PA PB 的值； （ k22，PAPBuuuruuuruuuruuur117 ,5（4）求 PAPB 的取值范圍； （ PAPB）4uuuruuuruuuruuuruuuruuur5,22 ）（5）若 APPB 24，求PAPB 的取值范圍； （ k 2 1， PAPB747（6）記 D、 E 分別為橢圓 C 的左右頂點(diǎn)，uuuruuuruuuruuurx1 ）若 ADEBA

6、EDB 90 ，求直線 l 的方程； （ y7uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur21求 ADEBAEDB 的取值范圍 （ ADEBAEDB2,16 ）練習(xí) 1.1x2y21 的離心率 e3 ，若直線 l ： y kx2 與橢圓恒有兩個(gè)不同的交1已知橢圓42uuuruuur2 ，求 k 的取值范圍點(diǎn) A、B且OA OB222已知橢圓 xy1 的左焦點(diǎn)為 F ，設(shè) A、 B 分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F 且斜率為32k 的直線與橢圓交于uuur uuuruuur uuurC、 D 兩點(diǎn) .，若 AC·DBAD·CB 8 ，求 k 的值1.2 動(dòng)點(diǎn)分

7、析問題（直線l過橢圓頂點(diǎn)的問題）以 l 經(jīng)過橢圓 x2y21 ab 0 的左頂點(diǎn) Aa,0為例a2b2設(shè) l ： ykxa且 l 過點(diǎn) A 與橢圓交于點(diǎn)Bx2 , y2，ykxa，得 a 2k 2b 2 x22k2 a4 x a 4 k2a2 b20 ，聯(lián)立a 2 y2a2 b20b2 x2 x1 x2ax2a 4k 2a2 b2，得 x2 ab2a3k 2， y22ab2 k，a 2k 2b 2a 2k 2b2a2 k2b2即點(diǎn) Bab2a3k 22ab2 k2 a2k2b2, 2k2ba動(dòng)點(diǎn)分析問題的過程如下：I 分析問題中涉及的動(dòng)點(diǎn)；II 按難易程度，通過聯(lián)立的方法用直線斜率k 表示出問

8、題中所涉及的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；III 按照目標(biāo)向量所涉及的點(diǎn)，將向量坐標(biāo)運(yùn)用直線斜率k 表示出來；IV 將向量的數(shù)量積運(yùn)用含k 的式子表示出來例 2：如圖，橢圓E ：2xy21 ，記A、 B 為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)C 為橢圓的上頂點(diǎn)，直4線 l 經(jīng)過點(diǎn) C 與橢圓交于另一點(diǎn) D ，并與 x 軸交于點(diǎn) P ，直線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) Q當(dāng)點(diǎn) P異于點(diǎn) B 時(shí)（ 1）記 k 為直線 l 的斜率，用 k 表示點(diǎn) P、 D 的坐標(biāo)；（ P1,0 、D8k1, 14k 2）k4k24k21（2）用 k 表示出 lBD 的斜率； （ kBD2k1）4k2（3）用 k 表示出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)； （ Q4k,2 k

9、1 ）uuuruuuruuuruuuruuur1uuur4k,2 k 1 ，（4）用 k 表示出 OP 、 OQ 的坐標(biāo)，并求 OPOQ （ OP,0， OQkuuuruuurOP OQ 4）練習(xí) 1.2：1已知橢圓 C : x2y21 ，若 F 為橢圓 C 的右焦點(diǎn)，經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)B 的直線 l 與橢圓2uuur uuur另一個(gè)交點(diǎn)為 A ，且滿足 BA BF =2（1）用直線 l 的斜率 k 表示點(diǎn) A 的坐標(biāo)；uuuruuur（2）用含 k 的式子表示 BA 的坐標(biāo)，同時(shí)表示出BF 的坐標(biāo)；uuur uuur2 ；（3）用含 k 的式子表示 BA BF ，構(gòu)建方程 f k（4）解出 k

10、 的值，寫出直線l 的方程 .2已知橢圓 x2y21 若 C、D 分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MDCD ，連2uuuuruuur接 CM 交橢圓于點(diǎn) P ，證明： OMOP 為定值（1）記直線 lCM的斜率為 k ，用含 k 的式子表示出點(diǎn)M 的坐標(biāo)；（2）用含 k 的式子表示出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；（3）用含 k 的式子分別表示出uuuruuuurOP 、 OM 的坐標(biāo)；uuuuruuur（4）證明 OMOP 為定值3已知橢圓 x2y21，點(diǎn) A2,0，設(shè)直線 l 過點(diǎn) A 與橢圓交于另一點(diǎn)B ，點(diǎn) Q(0, y0 ) 在4uuuruuur線段 AB 的垂直平分線上，且QA QB 4 ，求

11、y0 的值（1）設(shè)直線 l 的斜率為 k ，用含 k 的式子表示點(diǎn)B 的坐標(biāo)；（2）用含 k 的式子表示出AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出AB 的中垂線方程；（3）用含 k 的式子表示出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；（4）用含 k 的式子分別表示出uuuruuurQA， QB ；uuur uuurf k4 ，求直線 l 的方程，并求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)（5）運(yùn)用 QA QB2數(shù)量積問題的延伸 垂直問題和角度判斷問題2.1 直線的垂直問題，可以轉(zhuǎn)換為向量的數(shù)量積為零的問題記點(diǎn) Pt ,0是 x 軸上的一點(diǎn)， A x , y、 B x, y是直線 l ： ykx m 和橢圓1122x2y21 ab 0的兩個(gè)交點(diǎn)，由之前的討論

12、可知，a2b 2uuur uuura2b2m22b2k21a2kmta2t 2PA PBa2 k2b2，a 2k 2b 2若 PAuuuruuur0 PB ，則 PA PB例 3：如圖，記 A 為橢圓 x2y21 a b 0 的上頂點(diǎn)，a 2b2F1、 F2 為橢圓的兩焦點(diǎn)，B1、 B2 分別為 OF1、 OF2 的中點(diǎn)， AB1 B2 是面積為 4 的直角三角形（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）過點(diǎn)1 作直線l與橢圓相交于P、Q 兩點(diǎn)，若22 ，求直線l的方程BPBQB練習(xí) 2.11已知橢圓 C ： x2y21 ， F1、F2 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若過點(diǎn)F2 的直線 l 與橢圓2u

13、uuruuurC 相交于 P、Q 兩點(diǎn)，且 F1 PF1Q ，求直線 l 的方程2已知橢圓 G ： x2y21 ，短軸上、下頂點(diǎn)分別為A、 B ，若 C、D 是橢圓 G 上關(guān)于2y 軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線BC 與 x 軸交于點(diǎn) M ，判斷以線段 MD 為直徑的圓是否過點(diǎn) A ，并說明理由x2y21 ，設(shè)點(diǎn) P、Q 分別是橢圓和圓3如圖，已知橢圓24O 上位于 y 軸兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若直線PQ 與 x 軸平行，直線AP、 BP 與 y 軸的交點(diǎn)記為M、N ，試證明MQN 為直角 .2.2 角度問題判斷角度為鈍角、直角還是銳角，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系若 APB 90o ，則 cos APBuuur u

14、uuruuuruuur0，即 PA PBPAPB cos APB 0點(diǎn) P 在以 AB 為直徑的圓外APB90o ，則 cosAPBuuuruuuruuuruuurAPB0若0，即 PA PBPAPB cos點(diǎn) P 在以 AB 為直徑的圓上APB90o ，則 cosAPBuuuruuuruuuruuurAPB0若0，即 PA PBPAPB cos點(diǎn)P在以角度判斷AB 為直徑的圓內(nèi)例 4：記F1、 F2分別是橢圓x2y21的左、右焦點(diǎn)，設(shè)過定點(diǎn)M0,2的直線l 與橢圓交4于同的兩點(diǎn)A、B ，且AOB 為銳角，求直線l 的斜率k 的取值范圍練習(xí) 2.2.11已知點(diǎn)x2y2F ，斜率為 k 的直線

15、l 交F 是橢圓1 的右焦點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)43222橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，若 OAOBAB ，求 k 的取值范圍2設(shè) A、B 分別為橢圓 x2y21 的左、右頂點(diǎn)，設(shè) P 為直線 x 4 上不同于點(diǎn) 4,0的任4意一點(diǎn)，若直線AP 與橢圓相交于異于 A 的點(diǎn) M ，證明： MBP 為鈍角三角形2.2.2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題例 5：已知橢圓 E ： x2+ y2= 1 ，設(shè)直線 x = my - 1, (m? R) 交橢圓 E 于 A、B 兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)429與以線段 AB 為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由G(- ,0)4練習(xí) 2.2.21已知橢圓 x2y21 ，直線 l 經(jīng)過橢圓

16、右焦點(diǎn)F 與橢圓相交于A、B 兩點(diǎn)，試判斷點(diǎn)32M (2,0) 與以 AB 為直徑的圓的位置關(guān)系22已知橢圓C ： xy21 ， A、 B 為 C 的左右頂點(diǎn)，直線l 經(jīng)過點(diǎn)4B 且 lx 軸，點(diǎn) P 是 C 上異于 A、 B 的任意一點(diǎn)，直線AP 交直線 l 于點(diǎn) Q （1）記 k1、 k2 分別為直線 OQ、 BP 的斜率，證明k1 k2 為定值；（2）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)Q 與以 BP 為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論3向量線性運(yùn)算問題向量的共線問題有很多種出題的模式，在這里我們只講解最簡(jiǎn)單的一種模型 橢圓內(nèi)的平行四邊形問題記點(diǎn) A x1 , y1 、 B x2 , y2是直線

17、l ： ykx m 與橢圓 x2y21 a b0 的兩交點(diǎn)，a2b2點(diǎn) P x3 , y3 在橢圓上，且四邊形OAPB 為平行四邊形，如下圖yBOxQPA聯(lián)立y kxm，得 a2 k2b2 x22kma2 xa 2m2b21 ，b2 x2a 2 y21 x x2kma2， y y2k x2x2m2b2 m，12a2 k 2b212a2 k2b 2uuuruuuruuur再由平行四邊形的性質(zhì)可得OPOAOB ， xxx， yyy ，則點(diǎn) P2kma2,2b2m,312312a 2 k2b 2 a 2k 2b2將點(diǎn) P 代入橢圓中可得14k2 m2 a414b 4m21，a 2a2 k2b 22b

18、2a2 k2b2 2即4m21 ，得 4m 2a 2k 2b 2 a2 k2b2在橢圓方程已知的情況下（1）當(dāng)直線 l 過定點(diǎn)，或直線斜率確定，我們可以求出直線的方程；（2）若直線 l 不過定點(diǎn)，也未知直線斜率，我們可以得到k,m 的關(guān)系，結(jié)合0 ，我們可以求出OP 、 AB 、點(diǎn) O 到直線 l 的距離 d ， AOB 或平行四邊形OAPB 的面積等幾何量的取值范圍（3）若點(diǎn) P 在以 OA、OB 為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上，則uuuruuuruuurOPOAOB ，可以得出x31xx2， y31yy ，進(jìn)而得到4m 22 ，這也是一個(gè)很有用的結(jié)112a2 k 2b2論例 6：已知橢圓 C： x2y21 ，直線 l 經(jīng)過點(diǎn) P 0,1交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，以 OA、 OB 為32鄰邊做平行四邊形OAPB ，其