信息光學(傅里葉光學)Chap3-1

1、第三章 標量衍射理論 Scalar Theory of Diffraction衍射: 不能用反射或折射來解釋的光對直線光路的任何偏離衍射理論實際上就是光波傳播的規(guī)律標量衍射理論: 是對矢量理論的簡化. 條件:1. 衍射孔徑波長2. 衍射場(觀察區(qū)域)不太靠近孔徑首先要對標量波進行數(shù)學描述3-1 光波的數(shù)學描述單色光波場的復振幅表示光場隨時間的變化關系: 由頻率n表征.光振動是空間點 (P)和時間(t)的實簡諧函數(shù), 可表為:u(P,t) = a(P)cos2pnt - j(P)振幅頻率初位相可見光: n 1014Hz嚴格單色光: n為常數(shù)光場隨空間的變化關系體現(xiàn)在: (1) 空間各點的振幅可能

2、不同(2) 空間各點的初位相可能不同, 由傳播引起.光場變化的空間周期為l.光場變化的時間周期為1/ n.將光場用復數(shù)表示,有利于簡化運算3-1 光波的數(shù)學描述單色光波場的復振幅表示光場隨時間的變化e -j2pnt不重要: u(P,t) = a(P)cos2pnt - j(P) = ea(P)e-j2pnt -j(P) n 1014Hz, 無法探測n為常數(shù),線性運算后亦不變對于攜帶信息的光波, 感興趣的是其空間變化部分.故引入復振幅U(P):將光場用復數(shù)表示,有利于簡化運算= ea(P) e jj(P). e -j2pnt 復數(shù)表示有利于將時空變量分開U(P) = a(P) e jj(P)#3

3、-1 光波的數(shù)學描述單色光波場的復振幅表示: 說明 U(P)是空間點的復函數(shù), 描寫光場的空間分布, 與時間無關;U(P) = a(P) e jj(P) U(P)同時表征了空間各點的振幅 |U(P)| = |a(P)|和相對位相arg(U)= j(P) 方便運算,滿足疊加原理 實際物理量是實量. 欲恢復為真實光振動:# 光強分布: I = UU* 光強是波印廷矢量的時間平均值, 正比于電場振幅的平方 u(P,t)= eU(P)exp(-j2pnt) 即可3-1 光波的數(shù)學描述球面波 : 空間分布點光源或會聚中心球面波: 等相面為球面, 且所有等相面有共同中心的波k = | k |=2p /l

4、, 為波數(shù). 表示由于波傳播, 在單位長度上引起的位相變化, 也表明了光場變化的“空間頻率”(P(x,y,z)0zyx源點S(rk設觀察點P(x, y, z)與發(fā)散球面波中心的距離為r, k: 傳播矢量#球面波的等位相面: kr=c 為球面jkreraPU0)(則P點處的復振幅:j(P) = k . rk : 傳播矢量球面波: k/ra0: 單位距離處的光振幅3-1 光波的數(shù)學描述球面波 : 空間分布會聚球面波jkreraPU0)(距離 r 的表達若球面波中心在原點: 222zyxr(P(x,y,z)會聚點S(r若球面波中心在 S (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyx

5、xr#0zyxk光波的數(shù)學描述球面波 : 在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為z軸,光沿 z 軸正方向傳播.所考察的平面垂直于z 軸令點光源位于z = 0的平面上坐標(x0, y0)處. 考察與其距離為z的x - y平面上的光分布Sx0zxy0y02/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近軸近似#光波的數(shù)學描述球面波 : 近軸近似只考慮 x - y平面上對源點S張角不大的范圍, 即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展開(1+D)1/2 1+ D /2一級近似二級近似對振幅中r 的可作一級近似. 但因為 k 很大, 對

6、位相中的 r 須作二級近似#3.1 光波的數(shù)學描述二、球面波 : 近軸近似已將球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 軸正方向傳播.如果 z 0, 上式代表從 S 發(fā)散的球面波.如果 z l, 觀察距離 r (2)一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式1. 惠更斯包絡作圖法 (1678): 從某一時刻的波陣面求下一時刻波陣面的方法.把波陣面上每一面元作為次級子波的中心,后一時刻的波陣面是所有這些子波的包絡面.惠更斯原理不僅能解釋光的反射和折射, 也能預見光在通過簡單孔徑時的衍射現(xiàn)象.但它只能判斷光的傳播方向,不能定量計算.#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾

7、霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉說 (1818): 子波間應當互相干涉,并且應當考慮不同方向子波的差異. 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理: 波陣面上任意未受阻擋的點,產生一個與原波頻率相同的子波. 此后空間任何一點的光振動是這些子波疊加的結果. 其數(shù)學表述為:dsreKPUcPUjkr)()()(0q常數(shù)幅相因子傾斜因子球面子波表達式源點光擾動U(P0)ds: 球面子波的振幅相干疊加觀察點(場點)復振幅# 球面子波源3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式原波陣面源點處的面元法線場點源點到場點的距離所考慮的傳播方向與面元法線的夾角源點dsreKPUcPUjkr

8、)()()(0q成功: 可計算簡單孔徑的衍射圖樣強度分布.局限:難以確定K(q ).無法引入-p /2的相移#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式3. 基爾霍夫衍射公式的導出(1882)光場振動應滿足的波動方程應用數(shù)學工具格林定理光場復振幅必須滿足的亥姆霍茲方程對格林函數(shù)和光場復振幅函數(shù)施加一定的限制條件基爾霍夫邊界條件用格林定理解亥姆霍茲方程導出嚴格的衍射公式#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式3. 基爾霍夫衍射公式的導出基爾霍夫邊界條件1. 在開孔上各點, 場分布U及其一階導數(shù) 與屏不存在時相同.2. 在不透明屏后各點, U

9、及其一階導數(shù) 恒為0.3. 孔徑l, 觀察距離 r nUnU#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式在單色點光源照明平面孔徑的情況下:P0nPPrrdsreKPUcPUjkr)()()(0qdsrereajPUjkrjkr2) cos()cos(1)(0rn,rn,l過渡到惠-菲原理常數(shù)幅相因子 1/jl 自動出現(xiàn)K(q)函數(shù)形式確定#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式對于更普遍的照明情況:1. 可以把任意復雜的光波分解為簡單球面波的線性組合2. 波動方程的線性性質, 允許對單個球面波應用基爾霍夫公

10、式, 然后再把它們對P點的貢獻疊加起來.普遍情形下用U(P0)代替 , 得:a0e jkrrdsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,l#3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線性性質考察基爾霍夫衍射公式與線性系統(tǒng)的關系第一步: 將基爾霍夫衍射積分擴展到無窮故基爾霍夫衍射積分可寫為:根據(jù): 對開孔的假定基爾霍夫邊界條件1. 在開孔上各點, 場分布U及其一階導數(shù) 與屏不存在時相同.2. 在不透明屏后各點, U及其一階導數(shù) 恒為0.nUnUdsreKPUjPUjkr)()(1)(0ql#3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線性性質考察基爾霍夫衍射公式與線性系統(tǒng)的

11、關系第二步: 將基爾霍夫衍射積分表示成線性系統(tǒng)的疊加積分2. 考慮x0- y0平面上的孔徑, ds = d x0 d y0, 觀察平面為x-y平面,則基爾霍夫衍射積分可寫為:1jl e jkrrK(q )1. 令 h(P, P0) =代表孔徑上P0點的擾動在觀察點P點處產生的貢獻, 或者說是P0點的子波源在P點產生的復振幅分布#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線性性質這正是描述線性系統(tǒng)輸入- 輸出關系的疊加積分: 輸入函數(shù): 孔徑平面上的復振幅分布 U(x0,y0) 輸出函數(shù): 觀察平面上的復振幅分布 U(x, y) 脈沖

12、響應: (x0,y0)點的子波源發(fā)出的球面波在觀察平 面產生的復振幅分布h(x, y; x0,y0) 輸入U(x0, y0)輸出U(x, y)傳播、衍射（h）光波傳播的規(guī)律,可以用一個線性系統(tǒng)描述.但這個線性系統(tǒng)是否空不變的系統(tǒng)?#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線性性質傳播現(xiàn)象看成線性空不變系統(tǒng)的條件： (1) 照明點光源足夠遠，并且是近軸的 cos(n,r) -1 (對任何r都成立) (2) 觀察平面與孔徑的距離z , 并且仍考慮近軸近似 cos(n,r) 1由此可導出:K(q ) 11jl e jkrrh(P, P0) =#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線性性質將 r (源點-場點距離)展開:20202)()(yyxxzr對于固定的觀察平面,即固定的z, r僅決定于(x-x0, y-y0), 故脈沖響應函數(shù)成為空不變的:),( )()()()(exp1),;,(00202022020200yyxxhyyxxzyyxxzjkjyxyxhl基爾霍夫衍射公式的疊加積分形式可進一步寫成卷積積分000000),(),(),(dydxyyxx