全等三角形判定經(jīng)典

1、11.2三角形全等的判定基礎知識一. 教學內容：三角形全等的判定1. 三角形全等的判定；2. 直角三角形全等的判定；3. 學習掌握綜合證明的格式、步驟。二. 知識要點：1. 三角形全等的判定（1） 三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（SSS）。（2） 兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（ASA）。（3）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中，AB

2、CDEF（AAS）。（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。表示方法：如圖所示，在RtABC和RtDEF中，ABDE， BCEF，RtABCRtDEF（HL）。注意：三角形全等的判定方法中有一個必要條件是：有一組對應邊相等。兩邊及其中一邊的對角對應相等的情況，可以畫圖實驗，如下圖，在ABC和ABD中，ABAB，ACAD，BB，顯然它們不全等。三個角對應相等的兩個三角形不一定全等，如兩個大小一樣的等邊三角形。2

3、. 全等三角形的基本圖形在平面幾何中，有很多問題都可以借助于三角形全等來解決，比如線段的相等、角的相等、平行、垂直關系等。在運用三角形全等這一工具時，主要是找兩個三角形，并找出它們滿足全等的條件來；解題時經(jīng)常需要通過觀察圖形的運動狀況，把兩個全等三角形中的一個看成是另一個的平行移動、翻折、旋轉等方法得到的，這需要對常見的全等三角形做到心中有數(shù)，如下圖列舉了幾個常見的基本圖形。掌握這些全等形的對應邊和對應角的位置關系，對我們在復雜的幾何問題中迅速、準確地確定全等三角形是至關重要的。 三. 重點難點：1. 重點：能夠快速準確地找出適合題意的三角形全等的判定方法。理解證明的基本過程，掌握綜合法證明的

4、格式。2. 難點：分析證明命題的途徑，這一步學習起來比較困難，需要在學習中逐步培養(yǎng)學生的分析能力。4 考點分析： 三角形全等的判定是一個非常重要的知識點，在中考題目中必有一道三角形全等證明題，一般是選擇題和填空題，探究題也會常常用到全等的判定知識。典型例題例1. 如圖所示，ABCD，ACDB。求證：ABCDCB。分析：由已知可得ABCD，ACDB，又因為BC是兩個三角形的公共邊，所以根據(jù)SSS可得出ABCDCB。證明：在ABC和DCB中，ABCDCB（SSS）評析：證明格式：點明要證明的兩個三角形；列舉兩個三角形全等的條件（注意寫在前面的三角形，條件也放在前面），用大括號括起來；條件按照“SS

5、S”順序排序；得出結論，并把判斷的依據(jù)注在后面。例2. 已知：如圖所示，ABDE，BDEF，BECF。求證：ACDF。分析：欲證ACDF，可通過證明ACBF，由平行線的判定定理即可得證。而ACB與F分別是ABC和DEF的內角，所以應先證明ABCDEF。由BECF易得BCEF，再結合已知條件ABDE，BDEF即可達到目的。證明：BECF，BEECCFEC，即BCEF。在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。ACBF。ACDF。評析：通過證明兩個三角形全等可以提供角相等、線段相等，進而解決其它問題。這里大括號中的條件按照“SAS”順序排列。 例3. 如圖所示，RtABC中，ACB90°

6、;，ACBC，ADCD于D，BFCD于F，AB交CD于E，求證：ADBFDF。分析：要證ADBFDF，觀察圖形可得CFCDDF，只需證明CFAD，CDBF即可，也就是要證明CFBADC。由已知BCAC，CFBADC90°，只要再證明有一個銳角對應相等即可，由BFCD，ACB90°，易證得CBFACD，問題便得到證明。 證明：ACB90°，BFCDACDBCD90°，CBFBCD90°CBFACD（同角的余角相等）又ADCD，CFBADC90°在CFB和ADC中，（已知）CFBADC（AAS）CFAD，BFCD（全等三角形的對應邊相等）

7、又CFCDDFADBFDF 評析：由條件ACBC和垂直關系可得，AC、BC為兩個直角三角形的斜邊，還需要一對角相等即可用AAS證三角形全等；由條件可用余角性質轉換角度證明角相等。 例4. 如圖所示，ABCD，AFDE，BECF，求證：ABCD。分析：要證明ABCD，由于AB、CD分別是ABF和DCE的邊，可嘗試證明ABFDCE，由已知易證：BC，AFBDEC，下面只需證明有一邊對應相等即可。事實上，由BECF可證得BFCE，由ASA即可證明兩三角形全等。證明：ABCD，BC（兩直線平行，內錯角相等）又AFDE，AFCDEB（同上）AFBCED（等角的補角相等）又BECF，BEEFCFEF，即B

8、FCE在ABF和DCE中，ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形對應邊相等） 評析：由平行條件轉化角，由線段和差關系轉化線段，為證三角形全等做準備。解題思路：由已知條件，探尋三角形全等的條件，證得全等，再利用全等的性質解決相關問題。 例5. 如圖所示，RtABC中，C90°，AC10cm，BC5cm，一條線段PQAB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AM上運動。問點P運動到AC上什么位置時，ABC才能和PQA全等？分析：要使ABC與PQA全等，由于CPAQ90°，PQAB，則只需APCB或APCA，由HL即可知道它們全等，從而容易確定P點的位置。解：由題

9、意可知，CPAQ90°，又ABPQ，要使ABCPQA，則只需APCB或APCA即可，從而當點P運動至AP5cm，即AC中點時，ABCQPA；或點P與點C重合時，即APCA10cm時，ABCPQA。評析：要證某兩個三角形全等，但缺少條件，要求把缺少的條件探索出來。解決這類題要從結論出發(fā)，借助相關的幾何知識，探討出使結論成立所需的條件，從而使問題得以解決。本題中涉及到分類討論的思想，要求同學們分析思考問題要全面，把各種情況都考慮到。例6. 如圖，ABC和EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三點在同一直線上，連結CD、AE，并延長AE交CD于F。（1） 求證：ABECBD。 （2）直線AE

10、與CD互相垂直嗎？請證明你的結論。 分析：根據(jù)已知條件易得ABBC，BEBD，ABCCBD90°正好是ABE和CBD全等的條件。對于AE與CD垂直關系的證明需要推證出CFA90°。證明：（1）ABC和EBD都是等腰直角三角形，ABCB，BEBD，ABCCBD90°ABECBD（SSA）（2）AECD，在ABE和CEF中，EABECF，AEBCEF，且ABE90°，ECFCEFEABAEBECFCEF180°（EABAEB）即AFCABE90°AECD。評析：利用已知，結合圖形探索三角形全等的條件，逐步分析解決問題，把握解題思路。拓展提

11、高1.(07北京中考)我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在中，點分別在上，設相交于點，若，請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；（3）在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論2.(09宣武一模)已知等邊三角形ABC中，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，M為直線BC上一動點，DMN為等邊三角形（點M的位置改變時， DMN也隨之整體移動）（1）如圖1，當點M

12、在點B左側時，請你連結EN，并判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關系？點F是否在直線NE上？請寫出結論，并說明理由；（2）如圖2，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立? 若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點M在點C右側時，請你判斷（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立? 若成立,請直接寫出結論；若不成立，請說明理由 AEFDBNCM （第23題圖1） （第23題圖2） （第23題圖3）3.(09崇文一模)在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且, ,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移

13、動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是_； 此時_； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q=_（用、L表示）課堂試題（答題時間：60分鐘）一. 選擇題1. 下列條件不能判定兩個三角形全等的是（ ）A. 有兩邊和夾角對應相等B. 有三邊分別對應相等C. 有兩邊和一角對應相等D. 有兩角和一邊對應相等2. 下列條件能判

14、定兩個三角形全等的是（ ）A. 有三個角相等B. 有一條邊和一個角相等C. 有一條邊和一個角相等D. 有一條邊和兩個角相等3. 如圖所示，已知ABCD，ADBC，那么圖中共有全等三角形（ ）A. 1對B. 2對C. 4對D. 8對4. 如圖所示，已知AD，12，那么要得到ABCDEF，還應給出的條件是（ ）A. EBB. EDBC C. ABEFD. AFCD5. 如圖所示，點E在ABC外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若12，EC，AEAC，則 （ ）A. ABCAFEB. AFEADCC. AFEDFCD. ABCADE6. 我們學過的判定兩個直角三角形全等的條件，有（ ）A. 5種B

15、. 4種C. 3種D. 2種7. 如圖所示，ABEFCD，ABC90°，ABDC，那么圖中的全等三角形有 （ ）A. 1對B. 2對C. 3對D. 4對8. 如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，且BC6cm，則BD的值（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm9. 如圖所示，DEAB，DFAC，AEAF，則下列結論成立的是（ ）A. BDCDB. DEDF C. BCD. ABAC二. 填空題 10. 如圖所示，ACBD，ACBD，那么_，理由是_. 11. 已知ABCA'B'C'，AB6cm，BC7cm，AC9cm，A'70&

16、#176;，B'80°，則A'B'_，B'C'_，A'C'_C'_，C_. 12. 如圖所示，已知ABAC，在ABD與ACD中，要使ABDACD，還需要再添加一個條件是_. 13. 如圖所示，已知ABCDEF，AB4cm，BC6cm，AC5cm，CF2cm，A70°，B65°，則D_，F(xiàn)_，DE_，BE_. 14. 如圖，點D、E分別在線段AB、AC上，BE、CD相交于點O，AEAD，要使ABEACD，需添加一個條件是_（只要求寫一個條件）. 15. 如圖，AC、BD相交于點O，AD，請你再補充一個條

17、件，使得AOBDOC，你補充的條件是_. 三. 解答題16. 已知：如圖，12，CD，求證：ACAD. 17. 如圖，A、E、B、D在同一直線上，在ABC和DEF中，ABDE，ACDF，ACDF. （1）求證：ABCDEF；（2）你還可以得到的結論是_（寫出一個即可，不再添加其他線段，不再標注或使用其它字母） 18. 你一定玩過蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直. 當一方著地時，另一方上升到最高點. 問：在上下轉動橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA'、BB'有何數(shù)量關系？為什么？ 19. MN、PQ是校園里的兩條互相垂直的

18、小路，小強和小明分別站在距交叉口C等距離的B、E兩處，這時他們分別從B、E兩點按同一速度沿直線行走，如圖所示，經(jīng)過一段時間后，同時到達A、D兩點，他們的行走路線AB、DE平行嗎？請說明你的理由. 20. 有一塊不規(guī)則的魚池，下面是兩位同學分別設計的能夠粗略地測量出魚池兩端A、B的距離的方案，請你分析一下兩種方案的理由. 方案一：小明想出了這樣一個方法，如圖所示，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CDBC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，測得DE的長就是AB的長. 你能說明一下這是為什么嗎？方案二：小軍想出了這樣一個方法，如圖所示，先在平地上取一個可以直接到達魚池兩端A、B的

19、點C，連結AC并延長到點D，使CDCA，連結BC并延長到E，使CECB，連結DE，量出DE的長，這個長就是A、B之間的距離. 你能說明一下這是為什么嗎？拓展提高答案：1. 解： （1）平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可. （2）與A相等的角是BOD（或COE） 四邊形DBCE是等對邊四邊形. （3）此時存在等對邊四邊形DBCE. 證明1：如圖，作CGBE于G點，作BFCD交CD的延長線于F點. DCB=EBC=A，BC為公共邊 BGCCFB BF=CG BDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+A GEC=ABE+A BDFCEG BD=CE 故四邊形DBCE是等對邊四邊形.

20、證明2：如圖，在BE上取一點F，使得BF=CD，連接CF. 易證BCDCBF，故BD=CF，F(xiàn)CB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+A CEF=ABE+A CF=CE BF=CE 故四邊形DBCE是等對邊四邊形.2解：（1）判斷： EN=MF，點F在直線NE上證明：如答圖1,連結DE、DF、EFABC是等邊三角形， AB=AC=BC又D、E、F是三邊的中點， DE、DF、EF為ABC的中位線DE=DF=EF，F(xiàn)DE=DFE60°DMN是等邊三角形，MDN60°，DM=DNFDENDF=MDN+NDF， MDF=NDE 在DMF和D

21、NE中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN， （第23題答圖1）DMFDNE MF=NE設EN與BC交點為P，連結NF由ABC是等邊三角形且D、F分別是AB、BC的中點可得DBF是等邊三角形，MDN=BDF60°,MDNBDN =BDFBDN，即MDB=NDF.在DMB和DNF中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF DBM=DFNABC =60°，DBM =120°，NFD =120°. （第23題答圖2）NFD+DFE =120°+60°=180°.N、F、E三點共線，F(xiàn)與P重合，F(xiàn)在直線NE上4分

22、（2）成立。證明：如答圖2，連結DE、DF、EFABC是等邊三角形，AB=AC=BC又D，E，F(xiàn)是三邊的中點，DE，DF，EF為ABC的中位線DE=DF=EF，F(xiàn)DE=60°又MDF+FDN=60°，NDE+FDN=60°，MDF=NDE在DMF和DNE中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN，DMFDNE MF=NE 6分 （3） MF=NE仍成立 7分 （第23題答圖3.解：（I）如圖1， BM、NC、MN之間的數(shù)量關系 BM+NC=MN 此時 （II）猜想：結論仍然成立證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE ,且又是等邊三角形，在與中：(SAS) DM=DE,