全等三角形判定經(jīng)典

1、11.2三角形全等的判定基礎(chǔ)知識(shí)一. 教學(xué)內(nèi)容：三角形全等的判定1. 三角形全等的判定；2. 直角三角形全等的判定；3. 學(xué)習(xí)掌握綜合證明的格式、步驟。二. 知識(shí)要點(diǎn)：1. 三角形全等的判定（1） 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（SSS）。（2） 兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（ASA）。（3）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中，AB

2、CDEF（AAS）。（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。表示方法：如圖所示，在RtABC和RtDEF中，ABDE， BCEF，RtABCRtDEF（HL）。注意：三角形全等的判定方法中有一個(gè)必要條件是：有一組對(duì)應(yīng)邊相等。兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的情況，可以畫圖實(shí)驗(yàn)，如下圖，在ABC和ABD中，ABAB，ACAD，BB，顯然它們不全等。三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如兩個(gè)大小一樣的等邊三角形。2

3、. 全等三角形的基本圖形在平面幾何中，有很多問(wèn)題都可以借助于三角形全等來(lái)解決，比如線段的相等、角的相等、平行、垂直關(guān)系等。在運(yùn)用三角形全等這一工具時(shí)，主要是找兩個(gè)三角形，并找出它們滿足全等的條件來(lái)；解題時(shí)經(jīng)常需要通過(guò)觀察圖形的運(yùn)動(dòng)狀況，把兩個(gè)全等三角形中的一個(gè)看成是另一個(gè)的平行移動(dòng)、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法得到的，這需要對(duì)常見(jiàn)的全等三角形做到心中有數(shù)，如下圖列舉了幾個(gè)常見(jiàn)的基本圖形。掌握這些全等形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的位置關(guān)系，對(duì)我們?cè)趶?fù)雜的幾何問(wèn)題中迅速、準(zhǔn)確地確定全等三角形是至關(guān)重要的。 三. 重點(diǎn)難點(diǎn)：1. 重點(diǎn)：能夠快速準(zhǔn)確地找出適合題意的三角形全等的判定方法。理解證明的基本過(guò)程，掌握綜合法證明的

4、格式。2. 難點(diǎn)：分析證明命題的途徑，這一步學(xué)習(xí)起來(lái)比較困難，需要在學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力。4 考點(diǎn)分析： 三角形全等的判定是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，在中考題目中必有一道三角形全等證明題，一般是選擇題和填空題，探究題也會(huì)常常用到全等的判定知識(shí)。典型例題例1. 如圖所示，ABCD，ACDB。求證：ABCDCB。分析：由已知可得ABCD，ACDB，又因?yàn)锽C是兩個(gè)三角形的公共邊，所以根據(jù)SSS可得出ABCDCB。證明：在ABC和DCB中，ABCDCB（SSS）評(píng)析：證明格式：點(diǎn)明要證明的兩個(gè)三角形；列舉兩個(gè)三角形全等的條件（注意寫在前面的三角形，條件也放在前面），用大括號(hào)括起來(lái)；條件按照“SS

5、S”順序排序；得出結(jié)論，并把判斷的依據(jù)注在后面。例2. 已知：如圖所示，ABDE，BDEF，BECF。求證：ACDF。分析：欲證ACDF，可通過(guò)證明ACBF，由平行線的判定定理即可得證。而ACB與F分別是ABC和DEF的內(nèi)角，所以應(yīng)先證明ABCDEF。由BECF易得BCEF，再結(jié)合已知條件ABDE，BDEF即可達(dá)到目的。證明：BECF，BEECCFEC，即BCEF。在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。ACBF。ACDF。評(píng)析：通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等可以提供角相等、線段相等，進(jìn)而解決其它問(wèn)題。這里大括號(hào)中的條件按照“SAS”順序排列。 例3. 如圖所示，RtABC中，ACB90°

6、;，ACBC，ADCD于D，BFCD于F，AB交CD于E，求證：ADBFDF。分析：要證ADBFDF，觀察圖形可得CFCDDF，只需證明CFAD，CDBF即可，也就是要證明CFBADC。由已知BCAC，CFBADC90°，只要再證明有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等即可，由BFCD，ACB90°，易證得CBFACD，問(wèn)題便得到證明。 證明：ACB90°，BFCDACDBCD90°，CBFBCD90°CBFACD（同角的余角相等）又ADCD，CFBADC90°在CFB和ADC中，（已知）CFBADC（AAS）CFAD，BFCD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

7、又CFCDDFADBFDF 評(píng)析：由條件ACBC和垂直關(guān)系可得，AC、BC為兩個(gè)直角三角形的斜邊，還需要一對(duì)角相等即可用AAS證三角形全等；由條件可用余角性質(zhì)轉(zhuǎn)換角度證明角相等。 例4. 如圖所示，ABCD，AFDE，BECF，求證：ABCD。分析：要證明ABCD，由于AB、CD分別是ABF和DCE的邊，可嘗試證明ABFDCE，由已知易證：BC，AFBDEC，下面只需證明有一邊對(duì)應(yīng)相等即可。事實(shí)上，由BECF可證得BFCE，由ASA即可證明兩三角形全等。證明：ABCD，BC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又AFDE，AFCDEB（同上）AFBCED（等角的補(bǔ)角相等）又BECF，BEEFCFEF，即B

8、FCE在ABF和DCE中，ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 評(píng)析：由平行條件轉(zhuǎn)化角，由線段和差關(guān)系轉(zhuǎn)化線段，為證三角形全等做準(zhǔn)備。解題思路：由已知條件，探尋三角形全等的條件，證得全等，再利用全等的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。 例5. 如圖所示，RtABC中，C90°，AC10cm，BC5cm，一條線段PQAB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過(guò)A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)。問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)，ABC才能和PQA全等？分析：要使ABC與PQA全等，由于CPAQ90°，PQAB，則只需APCB或APCA，由HL即可知道它們?nèi)龋瑥亩菀状_定P點(diǎn)的位置。解：由題

9、意可知，CPAQ90°，又ABPQ，要使ABCPQA，則只需APCB或APCA即可，從而當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AP5cm，即AC中點(diǎn)時(shí)，ABCQPA；或點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，即APCA10cm時(shí)，ABCPQA。評(píng)析：要證某兩個(gè)三角形全等，但缺少條件，要求把缺少的條件探索出來(lái)。解決這類題要從結(jié)論出發(fā)，借助相關(guān)的幾何知識(shí)，探討出使結(jié)論成立所需的條件，從而使問(wèn)題得以解決。本題中涉及到分類討論的思想，要求同學(xué)們分析思考問(wèn)題要全面，把各種情況都考慮到。例6. 如圖，ABC和EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)CD、AE，并延長(zhǎng)AE交CD于F。（1） 求證：ABECBD。 （2）直線AE

10、與CD互相垂直嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。 分析：根據(jù)已知條件易得ABBC，BEBD，ABCCBD90°正好是ABE和CBD全等的條件。對(duì)于AE與CD垂直關(guān)系的證明需要推證出CFA90°。證明：（1）ABC和EBD都是等腰直角三角形，ABCB，BEBD，ABCCBD90°ABECBD（SSA）（2）AECD，在ABE和CEF中，EABECF，AEBCEF，且ABE90°，ECFCEFEABAEBECFCEF180°（EABAEB）即AFCABE90°AECD。評(píng)析：利用已知，結(jié)合圖形探索三角形全等的條件，逐步分析解決問(wèn)題，把握解題思路。拓展提

11、高1.(07北京中考)我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于點(diǎn)，若，請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；（3）在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論2.(09宣武一模)已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)， DMN也隨之整體移動(dòng)）（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M

12、在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你連結(jié)EN，并判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 若成立,請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 AEFDBNCM （第23題圖1） （第23題圖2） （第23題圖3）3.(09崇文一模)在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且, ,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移

13、動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是_； 此時(shí)_； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q=_（用、L表示）課堂試題（答題時(shí)間：60分鐘）一. 選擇題1. 下列條件不能判定兩個(gè)三角形全等的是（ ）A. 有兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等B. 有三邊分別對(duì)應(yīng)相等C. 有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等D. 有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等2. 下列條件能判

14、定兩個(gè)三角形全等的是（ ）A. 有三個(gè)角相等B. 有一條邊和一個(gè)角相等C. 有一條邊和一個(gè)角相等D. 有一條邊和兩個(gè)角相等3. 如圖所示，已知ABCD，ADBC，那么圖中共有全等三角形（ ）A. 1對(duì)B. 2對(duì)C. 4對(duì)D. 8對(duì)4. 如圖所示，已知AD，12，那么要得到ABCDEF，還應(yīng)給出的條件是（ ）A. EBB. EDBC C. ABEFD. AFCD5. 如圖所示，點(diǎn)E在ABC外部，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于F，若12，EC，AEAC，則 （ ）A. ABCAFEB. AFEADCC. AFEDFCD. ABCADE6. 我們學(xué)過(guò)的判定兩個(gè)直角三角形全等的條件，有（ ）A. 5種B

15、. 4種C. 3種D. 2種7. 如圖所示，ABEFCD，ABC90°，ABDC，那么圖中的全等三角形有 （ ）A. 1對(duì)B. 2對(duì)C. 3對(duì)D. 4對(duì)8. 如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，且BC6cm，則BD的值（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm9. 如圖所示，DEAB，DFAC，AEAF，則下列結(jié)論成立的是（ ）A. BDCDB. DEDF C. BCD. ABAC二. 填空題 10. 如圖所示，ACBD，ACBD，那么_，理由是_. 11. 已知ABCA'B'C'，AB6cm，BC7cm，AC9cm，A'70&

16、#176;，B'80°，則A'B'_，B'C'_，A'C'_C'_，C_. 12. 如圖所示，已知ABAC，在ABD與ACD中，要使ABDACD，還需要再添加一個(gè)條件是_. 13. 如圖所示，已知ABCDEF，AB4cm，BC6cm，AC5cm，CF2cm，A70°，B65°，則D_，F(xiàn)_，DE_，BE_. 14. 如圖，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)O，AEAD，要使ABEACD，需添加一個(gè)條件是_（只要求寫一個(gè)條件）. 15. 如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，AD，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條

17、件，使得AOBDOC，你補(bǔ)充的條件是_. 三. 解答題16. 已知：如圖，12，CD，求證：ACAD. 17. 如圖，A、E、B、D在同一直線上，在ABC和DEF中，ABDE，ACDF，ACDF. （1）求證：ABCDEF；（2）你還可以得到的結(jié)論是_（寫出一個(gè)即可，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其它字母） 18. 你一定玩過(guò)蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直. 當(dāng)一方著地時(shí)，另一方上升到最高點(diǎn). 問(wèn)：在上下轉(zhuǎn)動(dòng)橫板的過(guò)程中，兩人上升的最大高度AA'、BB'有何數(shù)量關(guān)系？為什么？ 19. MN、PQ是校園里的兩條互相垂直的

18、小路，小強(qiáng)和小明分別站在距交叉口C等距離的B、E兩處，這時(shí)他們分別從B、E兩點(diǎn)按同一速度沿直線行走，如圖所示，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，同時(shí)到達(dá)A、D兩點(diǎn)，他們的行走路線AB、DE平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由. 20. 有一塊不規(guī)則的魚池，下面是兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)的能夠粗略地測(cè)量出魚池兩端A、B的距離的方案，請(qǐng)你分析一下兩種方案的理由. 方案一：小明想出了這樣一個(gè)方法，如圖所示，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CDBC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng). 你能說(shuō)明一下這是為什么嗎？方案二：小軍想出了這樣一個(gè)方法，如圖所示，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)魚池兩端A、B的

19、點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CDCA，連結(jié)BC并延長(zhǎng)到E，使CECB，連結(jié)DE，量出DE的長(zhǎng)，這個(gè)長(zhǎng)就是A、B之間的距離. 你能說(shuō)明一下這是為什么嗎？拓展提高答案：1. 解： （1）平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可. （2）與A相等的角是BOD（或COE） 四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形. （3）此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形DBCE. 證明1：如圖，作CGBE于G點(diǎn)，作BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F點(diǎn). DCB=EBC=A，BC為公共邊 BGCCFB BF=CG BDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+A GEC=ABE+A BDFCEG BD=CE 故四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形.

20、證明2：如圖，在BE上取一點(diǎn)F，使得BF=CD，連接CF. 易證BCDCBF，故BD=CF，F(xiàn)CB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+A CEF=ABE+A CF=CE BF=CE 故四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形.2解：（1）判斷： EN=MF，點(diǎn)F在直線NE上證明：如答圖1,連結(jié)DE、DF、EFABC是等邊三角形， AB=AC=BC又D、E、F是三邊的中點(diǎn)， DE、DF、EF為ABC的中位線DE=DF=EF，F(xiàn)DE=DFE60°DMN是等邊三角形，MDN60°，DM=DNFDENDF=MDN+NDF， MDF=NDE 在DMF和D

21、NE中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN， （第23題答圖1）DMFDNE MF=NE設(shè)EN與BC交點(diǎn)為P，連結(jié)NF由ABC是等邊三角形且D、F分別是AB、BC的中點(diǎn)可得DBF是等邊三角形，MDN=BDF60°,MDNBDN =BDFBDN，即MDB=NDF.在DMB和DNF中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF DBM=DFNABC =60°，DBM =120°，NFD =120°. （第23題答圖2）NFD+DFE =120°+60°=180°.N、F、E三點(diǎn)共線，F(xiàn)與P重合，F(xiàn)在直線NE上4分

22、（2）成立。證明：如答圖2，連結(jié)DE、DF、EFABC是等邊三角形，AB=AC=BC又D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，DE，DF，EF為ABC的中位線DE=DF=EF，F(xiàn)DE=60°又MDF+FDN=60°，NDE+FDN=60°，MDF=NDE在DMF和DNE中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN，DMFDNE MF=NE 6分 （3） MF=NE仍成立 7分 （第23題答圖3.解：（I）如圖1， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN 此時(shí) （II）猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE ,且又是等邊三角形，在與中：(SAS) DM=DE,