第四章表象與變換

1、內(nèi)容簡介：本章討論各種不同的表象以及它們之間的變換關(guān)系。這就如同，在數(shù)學(xué)中給定坐標(biāo)系后，應(yīng)該討論坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換一樣。另外，我們還曾指出，一個量子態(tài)，相當(dāng)于一個態(tài)“矢量”。在數(shù)學(xué)中，一個矢量，在選定坐標(biāo)系后，可以用它在該坐標(biāo)系中的一組分量來表示。但是，一個矢量，也可以用一個矢量符號表示。這種表示并不依賴于坐標(biāo)系的選取，但同樣可以進(jìn)行各種矢量運(yùn)算。同樣，在量子力學(xué)中，一個態(tài)矢量也可用類似的方法表示，這就是狄拉克符號。在本章將介紹這種表示法以及運(yùn)算規(guī)則。 除表象外，本章還要介紹一些有關(guān)繪景的知識。 4.1 矢量空間 4.2 態(tài)和算符的表象表示 4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示 4.4 幺正變換

2、4.5 狄拉克符號 4.6 線性諧振子粒子數(shù)表象 4.7 繪景的分類4.1 矢量空間矢量空間1.線性矢量空間定義：無窮多個抽象的數(shù)學(xué)元素的集合，規(guī)定了下列兩種 運(yùn)算，則稱這個集合為一個線性矢量空間。運(yùn)算一：集合內(nèi)任意兩個矢量 和 ，總有一個確定的 與 之對應(yīng)，記作 這種對應(yīng)法稱為加法。 加法運(yùn)算滿足下列條件： 交換律 結(jié)合律()() 存在唯一零矢量 ，對任意矢量 都有 對集合中的任意矢量 ，都有唯一的逆矢量 存 在，滿足()() 4.1 矢量空間矢量空間運(yùn)算二：規(guī)定一種確定的對應(yīng)方法，使得 中的任意矢量 和數(shù)域中任意數(shù) ，在集合中總有一個矢量 與之對應(yīng)，這種對應(yīng)法則叫數(shù)乘，記作RCC數(shù)乘滿足下

3、列條件： 1212()CCCC111()CCC 1212()()C CC C 1 2.線性相關(guān)與線性無關(guān)線性無關(guān)：對于線性矢量空間 個矢量集合 ，若線性組合 ，只有當(dāng)所有系數(shù) 時才成立，ni10niiiC0iC 4.1 矢量空間矢量空間則稱 個矢量線性無關(guān)，否則 個矢量稱線性相關(guān)。nn 一個線性矢量空間中可以找到的線性無關(guān)矢量個數(shù)的最大值 ，稱為該線性矢量空間的維數(shù)。n3.內(nèi)積運(yùn)算 規(guī)定一種確定的對應(yīng)方法，對于線性矢量空間中的任意兩個矢量 和 ，總有一個復(fù)數(shù) 與之對應(yīng)，且滿足下列條件，則稱為矢量的內(nèi)積：C*( , )( ,) ( ,)( , )( , ) ( ,)( , )aa ( ,)0 4.1 矢量空間矢量空間4.標(biāo)準(zhǔn)正交基 作為標(biāo)準(zhǔn)正交基，必須滿足下列條