第一章習題課

1、第一章 習 題 課函數(shù)與極限函數(shù)與極限一 基本要求(一)函數(shù)1.理解函數(shù)的概念,明確函數(shù)定義中的兩個要素(對應關系和定義域),會求定義域.2.了解函數(shù)性質(zhì)(有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性).3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念,了解反函數(shù)和隱函數(shù)概念,并會將復合函數(shù)拆成基本初等函數(shù).4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形.(二)極限1.理解極限的概念,明確變量的極限是描述變量的某種變化趨勢的.2.了解極限的性質(zhì)(唯一性,有界性和保號性)及極限存在的兩個準則(夾逼、單調(diào)有界).3.掌握極限的四則運算法則和兩個重要極限,并會利用它們求極限.4.了解無窮小與無窮大的概念和性質(zhì),會用等價無窮小求極限.(三)連續(xù)

2、1.理解函數(shù)在一點和在區(qū)間上連續(xù)的概念,明確連續(xù)定義的三個要素.2.了解間斷點的概念,會判斷間斷點的類型.3.了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理和介值定理,并會一些簡單的應用.1.利用極限的四則運算法則(有時需要先對函數(shù)作變量代換,恒等變形,如通分或有理化等);2.利用兩個重要極限:3.利用極限存在的兩個準則(夾逼準則,單調(diào)有界準則);exxxxxx )11(lim, 1sinlim0（一）求極限的方法（一）求極限的方法:二 要點提示4.利用無窮小的性質(zhì)(1)無窮小與無窮大的關系;(2)無窮小與有界量的乘積仍是無窮小;(3)等價無窮小代換;常用的等價無窮小: 當 時,

3、0 xxxxxxarctanarcsintansin2cos12xxxexx11ln5.利用函數(shù)的連續(xù)性:6.對于分段函數(shù),在分段點利用左右極限來確定極限是否存在. xfxfxxxx 00limlim（二）連續(xù)性的等價定義（二）連續(xù)性的等價定義函數(shù) 在 處連續(xù): 形式: 當 時 恒有 ., 0, 0. 3;lim. 2; 0lim. 100000 xfxfxxxfxfyxxx 0 xxf（三）間斷點及其分類（三）間斷點及其分類滿足以下三條之一 為 的間斷點:（1）在 處沒有定義;（2） 不存在;按照在間斷點處有無左右極限來分類:第一類包括跳躍和可去間斷點;第二類包括無窮和振蕩間斷點等. 003

4、lim.xxfxfx xfxx0lim xfx00 x三 問題與思考1. 是否正確？答:不正確.例如 而 發(fā)散.數(shù)列 與 的斂散性的關系如下:(1)若 則(2)若 恒正或恒負,則 與 同斂散.(3)若 則 (以后常用).,limlimaxaxnnnnnnn1, 11lim nnxx nnxx0lim0limnnnnxx.limlimaxaxnnnn nx2. 若 則 對嗎？答:不對.在用商的極限法則時,分母的極限不能為零,故當 時,結論正確.當 時,可能存在(未必是1 ),也可能不存在.例如但 不存在.1limlimlim,lim11nnnnnnnnnxxxxax0a0a , 011lim,1

5、1nnxnnnnnnnnnnnnxx1111.1limlim11又如3.無窮大量與無界函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系?答:無窮大量是指在自變量的某一變化過程中,對應的函數(shù)值的一種變化趨勢,即當自變量變化到某一階段后,絕對值無限增大.而無界函數(shù)是以否定有界函數(shù)來定義的,只要求有一個自變量使 滿足即可. . 11limlim, 01lim,11nnxxnnxnnnnnn 01 Kxf 是當 時的無窮大,則 無界.反之不然.例如 在 無界,而當 時, 不是無窮大. 取故無界. 若取 當 時, 不是無窮大. 0 xxxf xf ,cosxxxf xfx .22cos2,2,2, 011MkkkxfMkNkkxM

6、 ,022cos22,22MkkxfNkkx xxf2122111.lim1nnnaaabbb求，| 1,| 1ab其中。四 典型題目3112.lim1xxx223.lim(11)xxx 21111.lim111nnnababab解 原式62.00,xtxt解令，則當時，23221111(1)(1)12limlimlim1(1)(1)13ttttttttttttt 故 原式22222222(11)(11)3.lim111 lim=011xxxxxxxxxx 解原式00101101,lim0,(*),mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm小結小結：當利用極限的四則運算法則時，

7、要注意是否滿足條件。因此，往往需要先作某些恒等式的變形或化簡，比如使用某些求和公式，求積公式，公式的約分或通分，分子分母有理化，三角函數(shù)的恒等變形以及適當?shù)淖兞看鷵Q等。請注意利用求有理分式函數(shù)的極限公式64.lim tan3sin()6xxx5.limxxxcxc4.,66tx xt解令6x當時，0t ，則.0031 sin1limcot3 sinlimcos3sin3 33ttttttttt原式22222221.=lim 1lim1=cxx ccxx cx cc x cccxxccex cx c5.解 原式2()(1)lim(1)2.=lim(1)lim(1)xcxccxcxcxcxcxccexxececxx 解 原式sinlim11lim(1)e1lim(1)e請注意使用重要極限時，左邊的實際涵義，即（ 為無窮小)；（ 為無窮大)（ 為無窮小).或0117.lim( sinsin )xxxxx4220arctan26.limsinxxxx00116.lim sinlimsin0 11xxxxxx 解原式其中第二個極限是第一個重要極限，而第一個極限利用無窮小的性質(zhì)，無窮小量乘以有界函數(shù)仍是無窮小. 7.0 x 解當時，22s