D4_1不定積分

1、第四章第四章微分法微分法:)?()( xF積分法積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算互逆運(yùn)算不定積分不定積分 二、二、 基本積分表基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì) 第四章第四章 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念引例引例: 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn),的作tAFsin下沿直線運(yùn)動(dòng)下沿直線運(yùn)動(dòng) ,).(tv因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知已知,sin)(tmAtv求求?)(tv在變力在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓

2、第二定律, 加速度加速度mFta)(tmAsin定義定義 1 若在區(qū)間若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù)上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及及 f (x)滿足滿足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在區(qū)間在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù) .則稱則稱 F (x) 為為f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的原函數(shù)有的原函數(shù)有 ,cos tmA, 3cos tmA1. 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義問(wèn)題問(wèn)題: 1. 在什么條件下在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原函數(shù)存在若原函數(shù)存在, 它如何表示它如何表示 ?).()( , )( , )( xfxFIxxF

3、IIxf 都有都有使對(duì)任一使對(duì)任一存在可導(dǎo)函數(shù)存在可導(dǎo)函數(shù)上上區(qū)間區(qū)間那么在那么在上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之: 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)2. 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理定理定理 1 ,)()(的一個(gè)原函數(shù)是若xfxF定理定理 2 的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) ) 內(nèi)內(nèi) .證證: 1)的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數(shù)是設(shè))()()2xfx)()(xfx 又知

4、又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故故0)()(CxFx)(0為某個(gè)常數(shù)C即即0)()(CxFx屬于函數(shù)族屬于函數(shù)族.)(CxF即即定義定義 2 )(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)(上的不定積分上的不定積分,d)(xxf其中其中 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;若若, )()(xfxF則則CxFxxf)(d)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )C 稱為稱為積分常數(shù)積分常數(shù)不可丟不可丟 !記作記作3. 不定積分的概念不定積分的概念不定積分的幾何意義不定積分的幾何

5、意義:)(xf的原函數(shù)的圖形稱為的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的圖形的所有積分曲線組成的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族的平行曲線族.yxo0 x的的積分曲線積分曲線 . .d2 xx求求,)3(23xx 由于由于.323的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是所以所以xx.3d 32Cxxx 因此因此.d1xx 求求,1)(ln,0 xxx 由于由于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .lnd1 ,), 0(Cxxx內(nèi)內(nèi)因此在因此在例例1解：解：例例2解：解：.), 0(1ln內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)在在是是所以所以xx,1)1(1 )ln(,0 xxxx 由于由于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .)ln(d1 ,)0 ,(Cx

6、xx內(nèi)內(nèi)因此在因此在可寫(xiě)作可寫(xiě)作內(nèi)的結(jié)果合起來(lái)內(nèi)的結(jié)果合起來(lái)和和把在把在,00 xx .lnd1Cxxx.)0 ,(1)ln(內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)在在是是所以所以 xx例例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)( 1 , 2 ) , 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解：解： xy2xxyd2Cx 2所求曲線過(guò)點(diǎn)所求曲線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121C因此所求曲線為因此所求曲線為12 xyyxo)2, 1 (xdd) 1 (xxfd)()(xf從不定積分定義可知從不定積分定義可知:dxxfd

7、)(xxfd)(或或Cxd)2()(xF)(xF或或Cd)(xF)(xF利用逆向思維利用逆向思維微分運(yùn)算與求不定積分運(yùn)算的關(guān)系微分運(yùn)算與求不定積分運(yùn)算的關(guān)系結(jié)論：結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.二、二、 基本積分表基本積分表 xkd) 1 ( k 為常數(shù)為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時(shí)0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan21d)5(xxCx arcsinxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xx

8、dcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln例例4 求求.d3xxx解：解： 原式原式 =xxd34134Cx313例例5 求求.dcossin22xxx解解: 原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC證證: xxgxxfd)(d)(因?yàn)橐驗(yàn)?xxgxxfd)(d)().()(xgxf 故等式成立故等式成立.（此性質(zhì)可推廣到（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）的情況）.d)(d)(d)()( , )( )( xxgxxfxxgxfxgxf則則的原函數(shù)存在的原

9、函數(shù)存在和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1.d)(d)( , , )( xxfkxxkfkxf則則為非零常數(shù)為非零常數(shù)的原函數(shù)存在的原函數(shù)存在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)2推論推論: 若若, )()(1xfkxfinii則則xxfkxxfiniid)(d)(1例例6.d )5(2xxx 求積分求積分xxxd )5(2125 解解:xxxd )5(2 xxxxd 5d 2125 .310722327Cxx xxxxd 5d 2125 例例7.d)1(23xxx 求積分求積分解解:xxxd)1(23 xxxxxd133223 xxxxd1332 xxxxxxxd1d13d3d2

10、.1ln3322Cxxxx 例例8 求求.d)5(2xexx解解: 原式原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C例例9 求求.dtan2xx解解: 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例10 求求.d)1 (122xxxxx解解: 原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln.d2sin2 xx求求 xxd2sin2 xx d)cos1(21 xx d)cos1(21dcosd21 xxx.)sin(21Cxx 例例11解解:.d2cos2sin122 xxx求求 xxxd2cos2sin122 xxd)2sin(12 xxdcsc42.cot4Cx 說(shuō)明說(shuō)明: 在一般情況下被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，在一般情況下被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表才能使用基本積分表.例例12解解:例例13 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念不定積分的