信號(hào)與系統(tǒng)：第三章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析V3.0

1、3.1 LTI3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)的響應(yīng) 一、差分與差分方程一、差分與差分方程 二、差分方程的經(jīng)典解二、差分方程的經(jīng)典解 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)3.2 3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、單位序列響應(yīng)一、單位序列響應(yīng) 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)3.3 3.3 卷積和卷積和 一、序列分解與卷積和一、序列分解與卷積和 二、卷積的圖解二、卷積的圖解 三、不進(jìn)位乘法三、不進(jìn)位乘法 四、卷積和的性質(zhì)四、卷積和的性質(zhì)3.1 LTI3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)的響應(yīng)一、差分與差分方程一、差分與差分方程 設(shè)有序列設(shè)有序列f(k)，則，則

2、，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等稱為等稱為f(k)的移位序列。的移位序列。 仿照連續(xù)信號(hào)的微分運(yùn)算，定義離散信號(hào)的仿照連續(xù)信號(hào)的微分運(yùn)算，定義離散信號(hào)的差分差分運(yùn)運(yùn)算。算。 tttftfttfttfttfttfttt)()(lim)()(lim)(limd)(d000離散信號(hào)的變化率有兩種表示形式：離散信號(hào)的變化率有兩種表示形式：kkkfkfkkf) 1()() 1()() 1() 1()()(kkkfkfkkf（1）一階前向差分定義：）一階前向差分定義： f(k) = f(k+1) f(k)（2）一階后向差分定義：一階后向差分定義： f(k) = f(k) f(k

3、1) 式中，式中， 和和 稱為差分算子，無原則區(qū)別。稱為差分算子，無原則區(qū)別。 本書主要用后向差分，簡稱為差分。本書主要用后向差分，簡稱為差分。（3）差分的線性性質(zhì)：差分的線性性質(zhì)： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二階差分定義：二階差分定義： 2f(k)= f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) =f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)= f(k) 2f(k-1)+f(k-2)（5）m階差分階差分: : mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)1. 差分差分2. 差分方程差分方程 包含未

4、知序列包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差及其各階差分的方程式稱為差分方程。一般形式：分方程。一般形式： y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵(lì)，利用迭代法可求得其數(shù)值解。件和激勵(lì)，利用迭代法可求得其數(shù)值解。例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始條件已知初始條件y(0)=0,y(1)=2, ,激勵(lì)激勵(lì)f(k)=2k(k), ,求求y( (k)

5、)。解：解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的( (閉合閉合) )解。解。 二、差分方程的經(jīng)典解二、差分方程的經(jīng)典解y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 與微分方程經(jīng)典解類似與微分方程經(jīng)典解類似: y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齊次解齊次解yh(k) 齊次方程齊次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) =

6、 0 其特征方程為其特征方程為 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即，即: n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根其根i( i = 1，2，n)稱為差分方程的特征根。稱為差分方程的特征根。 齊次解的形式取決于特征根。齊次解的形式取決于特征根。 參看教材第參看教材第87頁頁 表表3-1。2. 特解特解yp(k): 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)特解的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān) 參看教材第參看教材第87頁頁 表表3-2 。 如果激勵(lì)信號(hào)是在如果激勵(lì)信號(hào)是在k0時(shí)接入的，差分方時(shí)接入的，差分方程的解適合于程的解適合于k0。 通常以通常以y(1), y(2) , ，y

7、(n)描述系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)。初始狀態(tài)。 對于對于n階差分方程，階差分方程，n個(gè)初始條件個(gè)初始條件( (初始值初始值) )是：是：y(0), y(1) , ，y(n1)例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始條件已知初始條件y(0)=0，y(1)= 1；激勵(lì)；激勵(lì)f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解：特征方程為解：特征方程為 2 + 4+ 4=0 解得解得 特征根特征根1=2= 2， 齊次解為齊次解為yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解為特解為 yp(k)=P(2)k ,

8、,k0 0 代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， 解得解得 P=1/4 所以得特解：所以得特解：yp(k)=2k2 , k0 全解為全解為 y(k)= yh(k)+yp(k)= (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , （k0） 代入初始條件解得代入初始條件解得 C1 1=1 , =1 , C2 2= 1/4 = 1/4 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) y(k) = yzi(k) + yzs(k) , 也可以分別用經(jīng)典法求解。也可以分別用經(jīng)典法求解。 設(shè)激勵(lì)設(shè)激勵(lì)f(k)在在k=0時(shí)接入系統(tǒng)時(shí)接入系統(tǒng)，

9、 通常以通常以y(1), y(2) , ，y(n)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)。描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)。 yzs(1) = yzs(2) = = yzs(n) = 0 所以所以 y(1)= yzi(1) , y(2)= yzi(2),，y(n)= yzi(n) 然后利用迭代法分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)然后利用迭代法分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的初始值的初始值yzi(j)和和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1)例例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激勵(lì)已知激勵(lì)f(k)=2k , k0，初始狀

10、態(tài)，初始狀態(tài)y(1)=0, y(2)=1/2, 求求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解解：（：（1）yzi(k)滿足方程滿足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 初始狀態(tài)初始狀態(tài)yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) = y(2) = 1/2 遞推求出初始值遞推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) 方程的特征根為方程的特征根為1= 1 ，2= 2其解為其解為 yzi(k)=Czi1( 1)k+Czi2(2)k 將初始值代入將初始值代入 并解得并解得

11、Czi1=1 , Czi2= 2 所以所以 yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0 （2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k) 滿足滿足 yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k) 初始狀態(tài)初始狀態(tài)yzs(1)= yzs(2) = 0 遞推求初始值遞推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 , yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)=3分別求出齊次解和特解，得分別求出齊次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs2

12、( 2)k + (1/3)2k代入初始值求得代入初始值求得 Czs1= 1/3 , Czs2=1 所以所以 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 (3)全響應(yīng)全響應(yīng)y(k)=yzi(k)+yzs(k) yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1一、單位序列和單位階躍序列一、單位序列和單位階躍序列 1 1、單位序列、單位序列 定義：定義： ) 0(0) 0(1kkk10k k 2 2、單位階躍序

13、列、單位階躍序列 定義：定義： ) 0(0) 0(1kkk.k(k)10 1 2 3 4 5二、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)二、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)1 1、單位序列響應(yīng)：、單位序列響應(yīng)： 由單位序列由單位序列(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)或單位取樣響應(yīng)，或簡稱單位列響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)或單位取樣響應(yīng)，或簡稱單位響應(yīng)，記為響應(yīng)，記為h(k)。h(k)=T0,(k) 例例1：已知某系統(tǒng)的差分方程為已知某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求單位序列響應(yīng)求單位序列響應(yīng)h(k)。 解：解： 根據(jù)根據(jù)h(k)的定義的定義 有

14、有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0 （2）遞推求初始值）遞推求初始值h(0)和和h(1)。 h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k)h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 對于對于k 0， h(k)滿足齊次方程滿足齊次方程 ： h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 其特征方程為其特征方程為 (+1) ( 2) = 0 所以所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)=

15、C1+2C2 = 1 解得解得 C1= 1/3 , C2=2/3，則，則 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0 或?qū)憺榛驅(qū)憺閔(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 方程移項(xiàng)寫為：方程移項(xiàng)寫為： 例例2：若方程為：若方程為： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求單位序列響應(yīng)求單位序列響應(yīng)h(k) 。解解 ： h(k)滿足滿足h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2) 令只有令只有(k)作用時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)作用時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k) , 它滿足它滿足 h1(k) h1(k 1)

16、 2h1(k 2)=(k) 根據(jù)線性時(shí)不變性，根據(jù)線性時(shí)不變性， h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2) 2 2、階躍響應(yīng)：、階躍響應(yīng)： 當(dāng)當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位階躍序列離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位階躍序列(k) 時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)或階躍時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)或階躍 響應(yīng)，用響應(yīng)，用g(k)表示。表示。0)()()(jkjjkik，(k) =(k) (k 1) = (k) 所以所以0)()()(jkjjkhihkg，h(k) = g(k) 三、二者

17、關(guān)系三、二者關(guān)系例例3 3：已知某系統(tǒng)的差分方程為：已知某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求階躍響應(yīng)求階躍響應(yīng)g( (k) )。解：解：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k) 特解為一常數(shù)，設(shè)為特解為一常數(shù)，設(shè)為P，代入方程得：，代入方程得： P-P-2P=1 （k0） 得：得：P=-1/2 g(k)= C1( 1)k + C2(2)k -1/2 （k0） 用遞推法求出用遞推法求出g(0)=1， g(1)=2代入上式求得代入上式求得C1 、 C2 一、卷積和一、卷積和1 . .序列的時(shí)域分解序列的時(shí)域分解012ik-1f(k)f(-1)f(0)f

18、(1)f(2)f(i)任意離散序列任意離散序列f(k) 可表示為可表示為 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + iikif)()(2 . .任意任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)yzs(k)f (k)根據(jù)根據(jù)h(k)的定義：的定義： (k) h(k) 由時(shí)不變性：由時(shí)不變性：(k - -i)h(k - -i)f (i)(k- -i)由齊次性：由齊次性：f (i) h(k- -i)由疊加性：由疊加性：f (k)yzs(k)卷積和卷積和iikif)()(iik

19、hif)()(izsikhifky)()()(3 . .卷積和的定義卷積和的定義 已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和和 f2(k)，則定義和，則定義和 為為f1(k)與與f2(k)的卷積和，簡稱卷積；記為的卷積和，簡稱卷積；記為 f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虛設(shè)的變量：求和是在虛設(shè)的變量 i 下進(jìn)行的，下進(jìn)行的， i 為求和變?yōu)榍蠛妥兞浚?，k 為參變量。結(jié)果仍為為參變量。結(jié)果仍為k 的函數(shù)。的函數(shù)。 iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyizs例：例：f (k) = a k(k), h(k

20、) = b k(k) ，求求yzs(k)。解：解： yzs(k) = f (k) * h(k)當(dāng)當(dāng)i k時(shí)，時(shí)，(k - i) = 0iikiiikbiaikhif)()()()(bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs,) 1(,11)()()(100注：注：(k)*(k) = (k+1)(k)二、卷積和的圖解法二、卷積和的圖解法卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步：（1）變量替換：）變量替換： k換為換為 i得得 f1(i)， f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) f2(i)右移右移k f2(k i)（3）乘積：）乘積： f1(i)

21、f2(k i) （4）求和：）求和： i 從從 到到對乘積項(xiàng)求和對乘積項(xiàng)求和。注意：注意：k 為參變量。為參變量。下面舉例說明。下面舉例說明。iikfifkf)()()(21例：例：f1(k)、 f2(k)如圖所示，已知如圖所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求，求f(2) =？解解：（1）變量替換）變量替換（2） f2(i)反轉(zhuǎn)得反轉(zhuǎn)得f2( i)（3） f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4） f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2) = 4.5iififf)2()()2(21012k-1f1( k )1.511.521f2( k )01233-2-2-1

22、kiiiif2(i )f2(2i)012i-1f1( i )f2( k- - i )11.523三、三、卷積和的簡便算法卷積和的簡便算法1 1、不進(jìn)位乘法求卷積、不進(jìn)位乘法求卷積f(k)等于所有兩序列序號(hào)之和為等于所有兩序列序號(hào)之和為k 的那些樣本乘積之和。的那些樣本乘積之和。例如例如k=2時(shí)：時(shí)：f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + =+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1) +f1(2)f2(k-2)+ + f1(i) f2(k i) + iikfifkf)()()(21例例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=03 ， 4， 0， 62 ， 1 ， 5解：解：15 ，20， 0， 303 ， 4， 0， 66 ，8， 0， 12+ 6 ，11，19，32，6，30求求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=12、列表法：看教材，本質(zhì)是一樣的。、列表法：看教材，本質(zhì)是一樣的。例：已知序列例：已知序列f1(k)和和 f2