信號(hào)與系統(tǒng)：第18講 第9章 拉普拉斯變換2

1、第第9 9章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 9.4-9.4-9.59.5由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換進(jìn)行幾何求值；由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換進(jìn)行幾何求值； 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)n拉普拉斯變換拉普拉斯變換n拉普拉斯變換與傅里葉變換拉普拉斯變換與傅里葉變換n將將j替換為替換為+ jn增加增加的意義的意義n傅里葉變換應(yīng)用的拓展傅里葉變換應(yīng)用的拓展n拉普拉斯變換收斂域拉普拉斯變換收斂域n取值決定變換存在取值決定變換存在n變換存在的變換存在的取值為收斂域取值為收斂域n同一拉普拉斯變換結(jié)果對(duì)應(yīng)不同信號(hào)（左邊、右邊、雙邊）同一拉普拉斯變換結(jié)果對(duì)應(yīng)不同信號(hào)（左邊、右邊、雙邊）n拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換

2、n反變換的定義反變換的定義n反變換的計(jì)算反變換的計(jì)算n極點(diǎn)與收斂區(qū)位置的判斷，決定信號(hào)的類型（左邊、右邊、雙邊）極點(diǎn)與收斂區(qū)位置的判斷，決定信號(hào)的類型（左邊、右邊、雙邊）n部分分式計(jì)算方法部分分式計(jì)算方法n傅里葉變換與拉普拉斯變換互求傅里葉變換與拉普拉斯變換互求n拉普拉斯變換收斂域包含原點(diǎn)，存在傅里葉變換拉普拉斯變換收斂域包含原點(diǎn)，存在傅里葉變換n進(jìn)行變量替換可以直接互求進(jìn)行變量替換可以直接互求n拉普拉斯變換工程運(yùn)算簡(jiǎn)單拉普拉斯變換工程運(yùn)算簡(jiǎn)單n實(shí)函數(shù)代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單實(shí)函數(shù)代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單n通過零極點(diǎn)圖表示直觀通過零極點(diǎn)圖表示直觀n傅里葉變換概念清晰，直接描述頻率響應(yīng)傅里葉變換概念清晰，直接描述頻率響

3、應(yīng)n借助傅里葉變換求取系統(tǒng)頻率響應(yīng)借助傅里葉變換求取系統(tǒng)頻率響應(yīng)n通過零極點(diǎn)圖求取系統(tǒng)頻率響應(yīng)通過零極點(diǎn)圖求取系統(tǒng)頻率響應(yīng)2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講4nO.零極點(diǎn)圖確定零極點(diǎn)圖確定X(s)n有理拉普拉斯變換有理拉普拉斯變換X(s)可以由零點(diǎn)和極點(diǎn)表示可以由零點(diǎn)和極點(diǎn)表示11()( )()RiiPjjsX sMs11( )ssX s要確定的值11111()( )()RiiPjjsX sMs有：11111-( )iijjssssX sM分子中每一因子，是向量 和各零點(diǎn)向量 的差值向量（）之積。分母中每一因子，是向量 和各極點(diǎn)向量的差值向量（）之積。就是上述分子向量積除分母向量積，然后乘常

4、數(shù)因子11( )( )X sX s的模是分子向量模之積除分母向量模之積的相角是分子向量相角之和減去分母向量相角之和111111()()RiRPiiiPijjjBX jMX jA，arg11()()()RiiPjjjX jMj，( )()X sX j傅里葉變換1傅里葉變換在處的模和相角R eImS平面j j 1 1s s1 1j js s 2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講5n通過零極點(diǎn)計(jì)算傅里葉變換舉例通過零極點(diǎn)計(jì)算傅里葉變換舉例11( )Re ( )1/ 22X sssjX ss ，求時(shí)的模和相角1( )()1/ 2sjX sXjj為信號(hào)的傅里葉變換，2221()()(1/ 2)XjXj

5、根據(jù)零極圖，可以求得：，arctan(2)R eImS平面1 1- -2 212j2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講62022-3-156n求求RC電路在正弦電電路在正弦電壓作用下的傳輸系數(shù)壓作用下的傳輸系數(shù)Ku(j)的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)特性。特性。 I(s) 1/sc E(s) R UR(s)rsssc1RR) s (E) s (U) s (HRRC1r 式中：式中： ， p= -r，z=0；)()()(jueABABrjjjHjK 2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講7作矢量圖作矢量圖 列表列表 R eImS平面- -r rjrBA()/H jBA()H j()jH jjr()H j20

6、22-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講82022-3-158幅頻曲線幅頻曲線 相頻曲線相頻曲線在描述過程中，起點(diǎn)、終點(diǎn)、諧振點(diǎn)，這樣的特殊點(diǎn)要掌握。在描述過程中，起點(diǎn)、終點(diǎn)、諧振點(diǎn)，這樣的特殊點(diǎn)要掌握。/2 0 0 1()H j()H j2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講9n1.一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)/1( )( )11( ) 1th teu tH sss 考 慮 一 般 的 一 階 系 統(tǒng) ， 單 位 沖 擊 響 應(yīng)，其 拉 普 拉 斯 變 換 ：，R eR eImS平面1-221()1H j()arctan()H j 111()11H jjj2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講10n2.全通系統(tǒng)全通

7、系統(tǒng)R eImS平面-ajaBAaja()22arctan(/ )H ja()1H j()jaH jja零極點(diǎn)對(duì)稱虛軸，頻率響應(yīng)的模與頻率無關(guān)，是一個(gè)常數(shù)2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講11n1.線性線性121212( )( )( )( )( )( ) x tax tbx taX sbXsX sROCRR，包括L1212( )( )( )ROCX sROCRRX sX sROCRR關(guān)于的說明：的至少為 和 的交集，但是這個(gè)交集可以是空，此時(shí)不存在的可以比 和 的交集大。 121211( )( )( ), ( )1 ( )1( )1(1)(2)x tx tx tX ssXssX sROCss

8、s ，求和R eR e 1211( )( )( )1(1)(2)2 112(1)(2)2X sX sXsssssssss =，R e12-1( )sX sROCRR由于極點(diǎn)抵消，的擴(kuò)大，超越了R eImS平面2 1R eImS平面2 1 R eImS平面2 1111222( )( ) ( )( )x tX sROC Rx tXsROC R，=，=LL1( )X s收斂域2( )Xs收斂域( )Xs收斂域2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講12n2.時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)n3.s域平移域平移( )( ) x tX sROC R，=L00()( ) stx tteX sROC R，=L( )( ) x

9、tX sROC R，=L 000( )() s te x tX ssROC Rs，=R eL 00()ROCX ssROCROCs關(guān)于的說明：的是在原基礎(chǔ)上平移R e00( )()X ssaX sssas有個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)在，中相應(yīng)的零極點(diǎn)在0000jtssjeROCjsaj域頻移為，相當(dāng)于原信號(hào)用周期復(fù)指數(shù)信號(hào)調(diào)制。平行 軸平移，收斂域未變，但是零極點(diǎn)有平移。R eImS平面1r2rR eImS平面 20rsR e 10rsRe2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講13n線性與時(shí)移性質(zhì)舉例線性與時(shí)移性質(zhì)舉例2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講14n4.時(shí)域尺度變換時(shí)域尺度變換n5.共軛共軛n6.卷

10、積性質(zhì)卷積性質(zhì)( )( ) x tX sROC R，=L()()xtXsROCR ，=-L( )ROCX sa0,的要反轉(zhuǎn)1()( ) sRx atXROCaaa，=LR eImS平面2r1rR eImS平面2/r a1/r aR eImS平面1r2r( )( ) x tX sROC R，=L*( )() x tXsROC R，=L*( )()( )X sXsx t，當(dāng)為實(shí)函數(shù)=( )( )x tX s實(shí)函數(shù)的，其零極點(diǎn)都是成對(duì)共軛出現(xiàn)的121212( )( )*( )( )( )( ) x tx tx tX s XsX sROCRR，包括L12( )ROCX sROCRR關(guān)于的說明：若乘積中

11、有零極點(diǎn)相消除，的可以比 和 的交集大。111222( )( ) ( )( )x tX sROC Rx tXsROC R，=，=LL 121( )222( ) 1 1sX ssssXsss，R eR e12( )( )( ) X sX s X sROCs，為全平面1,( )ROC1/1,( )ROC1/ROCaX saaX sa關(guān)于的說明：的要壓縮倍，0的要擴(kuò)展倍，1a 情況0a 情況2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講15n7.時(shí)域微分時(shí)域微分n8.s域微分域微分( )( ) x tX sROC R，=L( )( )dx tsX sROCRdt，包括L1( )1( )( ) ( )22jjs

12、tstjjdx tx tX s e dssX s e dsdt 根據(jù)定義：兩邊求導(dǎo)：( )( )( )( )( )0( )dx tsX ssX sROCX sROCdtX sssX sROC可見：為的拉普拉斯變換，的包含的若含極點(diǎn)，會(huì)消除該極點(diǎn)，會(huì)擴(kuò)大( )1/( )u tsROCstROCs的拉普拉斯變換為，為 右半平面為其導(dǎo)數(shù)，拉普拉斯變換為1，為整個(gè) 平面( )( )( ) ( )ststdX sX sx t edttx t edtds根據(jù)定義：兩邊求導(dǎo)：( )( ) x tX sROC R，=L( )( ) dX stx tROC Rds，=L2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講16n

13、S域微分舉例域微分舉例21( ) 11( ) atateu tsaasdsteu tsadsasas 因?yàn)椋?，?域微分性質(zhì)：，R eR eLL( )( ),atx tteu t求其拉普拉斯變換231 ( ) 2attseu tsaas 再次 域微分：，R eL11 ( ) (1)!natnteu tsanas 一般n次微分：，R eL22255() 1 ( )(1)(2 )ssXssx tss 求R e22213( ) 1 (1)12R O C( )22( )tttXsssssx tteeeu t 部 分 分 式 展 開 ： 從 極 點(diǎn) 和關(guān) 系 ， 可 知 都 是 右 邊 函 數(shù) ，根 據(jù)

14、 上 述 公 式 求 得 ：R e2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講17n9.時(shí)域積分時(shí)域積分n10.初值與終值定理初值與終值定理( )( ) x tX sROC R，=L1( )( ) 0txdX sROCRss，包括R eL1 ( )( ) ()( )* ( ) ( ) 0txdxu tdx tu tu tss因?yàn)椋憾海?R eL(0 )lim( )sxsX s初值定理：0 lim ( )lim( )tsx tsX s終值定理： 0, ( )0(2) 0, ( )tx ttx t使用條件：(1)； 不包含沖激或高階奇異函數(shù)2222512( )(cos3 ) ( ) 1(2)(210)t

15、tsseu tet u tssss 有：， R eL(0 )2 x直接計(jì)算：222512lim2(2)(210)sssssss利用初值定理可以驗(yàn)證：1 ( )( )* ( )( ) 0txdx tu tX sROCRss所以：， 包括R eL2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講18課堂練習(xí)課堂練習(xí)2-1( )( )( )( )11( )2( )( )3( )( )( )( )tsy teu tH sx tsx tx tx ty tx tx th t是系統(tǒng)函數(shù)為的因果全通系統(tǒng)在輸入為時(shí)候的輸出（）求出兩種可能得到該輸出的？（ ）如果絕對(duì)可積，是什么？（ ）如果有一穩(wěn)定系統(tǒng)（未必因果），為輸入，為

16、輸出。這個(gè)是什么？系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是什么？22112/31/3 ( ) Res-2 X( )( )/( ) =+ 2(1)(2)s1s+221-2Re 1 ( )()( )3321Re 1 ( )( )( )33ttttsY ssY sH sssssx te uteu tsx te u teu t 1112 ( ) Re 2 ( ) ( )( )/ ( )12(1)(2)11Re 1 ( )( )2()( )( )-2Re 1tssY ssX sH sX s Y sssssssh tteuty th tx ts 結(jié)合和的收斂域，（）的收斂域必須為本講小結(jié)本講小結(jié)n零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值

17、零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值n拉普拉斯變換的頻域信息拉普拉斯變換的頻域信息n采用幾何求值得到采用幾何求值得到n拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)n線性線性n時(shí)移、頻移時(shí)移、頻移n尺度變換尺度變換n共軛、卷積共軛、卷積n時(shí)域微分、時(shí)域微分、s域微分域微分n時(shí)域積分時(shí)域積分n初值定理、終值定理初值定理、終值定理9.22(a)(c)(e)(g)9.22(a)(c)(e)(g)、 9.249.242022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講212022-3-1521n例：例：求求 f (t) = sin t 的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。n解：解：tttt22221 f(t)= s int=(-) 2 j11

18、, 111s int2 jsc o stjjjjeeeesjsjsjsjss已 知同 理LLLL2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講222022-3-1522n例題：計(jì)算右圖拉普拉斯變換例題：計(jì)算右圖拉普拉斯變換n解：解：n三個(gè)函數(shù)的原始變換三個(gè)函數(shù)的原始變換n根據(jù)時(shí)間平移性質(zhì)根據(jù)時(shí)間平移性質(zhì)00 ( )( ) ()( )stf tF sf ttF s e設(shè)則LLf (t) fa (t)fb (t)fc (t)0000ETTTTtttt)()()()()()()()(TtTtTETtEttTEtftftftfcba22( ),( ),( )abcEEEf tf tf tTssTsLLL222(

19、 )11s Ts Ts TEEEfteeT ssT sET seT sL2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講232022-3-1523計(jì)算半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換計(jì)算半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換n一個(gè)半波分解為兩個(gè)相差半個(gè)周期（一個(gè)半波分解為兩個(gè)相差半個(gè)周期（T/2）的正弦函數(shù)之和）的正弦函數(shù)之和n周期半波為上述合成函數(shù)的周期周期半波為上述合成函數(shù)的周期(T)重復(fù)重復(fù)n周期周期T，周期內(nèi)函數(shù)，周期內(nèi)函數(shù)fT(t)n如果如果n根據(jù)時(shí)移性質(zhì)得到根據(jù)時(shí)移性質(zhì)得到n結(jié)論結(jié)論( )( )()(2 )TTTf tf tf t Tf tT( )( )TTftF sL2( )( )( )( )( ) =1sT

20、sTTTTTsTf tF sF s eF s eF seL1(1)sTe2sss( )()( )(1)2sTTftftFse單 個(gè) 半 波 ：L1122ss( )( )(1)(1)( )(1)sTsTsTf tF seeF se周期半波：L 等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)是否還是否還有其他有其他解法解法2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講242022-3-1524尺度變換與時(shí)間延遲的可交換性尺度變換與時(shí)間延遲的可交換性n解解：n（1）先時(shí)間延遲再尺度變換）先時(shí)間延遲再尺度變換n（2）先尺度變換再時(shí)間延遲）先尺度變換再時(shí)間延遲(0,0)( )( )() () ? abf tF sf atbatb，LL已已知知

21、求求() ()() ()( )1bssbaf tbtbf atbatbF s esFeaaLL()()()()()()11bsafa ta tfa tba tbfatatsFaabbsFeaaaaLLL尺度變換后，尺度變換后，新坐標(biāo)下延時(shí)新坐標(biāo)下延時(shí)2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講252022-3-1525n對(duì)于與指數(shù)函數(shù)相乘的函數(shù)，可以方便的求解對(duì)于與指數(shù)函數(shù)相乘的函數(shù)，可以方便的求解222221sin()c o s()1( )()!( )()a ta ta ta tnnetsasaetsaettsanettsaLLLL2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講262022-3-1526f(t

22、)的拉普拉斯變換為：的拉普拉斯變換為：n采用采用0-系統(tǒng)系統(tǒng)n直接時(shí)域求導(dǎo)得到：直接時(shí)域求導(dǎo)得到：n對(duì)求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換對(duì)求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換n直接采用微分性質(zhì)得到結(jié)果直接采用微分性質(zhì)得到結(jié)果n兩者結(jié)果一致兩者結(jié)果一致n采用采用0+系統(tǒng)系統(tǒng)n直接時(shí)域求導(dǎo)得到直接時(shí)域求導(dǎo)得到n對(duì)求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換對(duì)求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換n直接利用微分性質(zhì)得到結(jié)果直接利用微分性質(zhì)得到結(jié)果n兩者結(jié)果一致兩者結(jié)果一致n采用采用0+、0-結(jié)果不同的原因結(jié)果不同的原因n函數(shù)函數(shù)f(t)求導(dǎo)以后在求導(dǎo)以后在0點(diǎn)有沖激點(diǎn)有沖激( )(t)a tfte1( t)a tesaL(t)( )(t)a ta tde

23、ta ed t ()( 0)ss Fsfsa( )(t)1atastaesasaL(t)(t)a ta tdea ed t (t)ataaesaL( )(0)1sasFsfsasaf(0-)=00+系統(tǒng)不考慮系統(tǒng)不考慮沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)f( 0+)=12022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講272022-3-1527n設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換，則及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換，則f(t)初值為初值為n證明：通過時(shí)域微分性質(zhì)證明證明：通過時(shí)域微分性質(zhì)證明)(lim)(lim)0(0ssFtffst00000000000()( 0)() |( 0)( 0)s ts ts ts

24、ts ts td fd fd fs Fsfed ted ted td td td td fd fd fd ted tfted td td td td fffed td t1|0tste0)0()(dtedtdffssFst0lim( )(0 )lim(0 )stssdfsF sfedtfdt此處可見此處可見時(shí)域微分時(shí)域微分性質(zhì)對(duì)性質(zhì)對(duì)0和和0系統(tǒng)系統(tǒng)的關(guān)系的關(guān)系2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講282022-3-1528n如果函數(shù)如果函數(shù)f(t)在在0時(shí)刻突變時(shí)刻突變n此時(shí)計(jì)算初值沒有結(jié)果此時(shí)計(jì)算初值沒有結(jié)果n因?yàn)橐驗(yàn)閚所以當(dāng)所以當(dāng) f (t) 中包含沖激時(shí)，中包含沖激時(shí)，可先把可先把 (t

25、) 移去后，再應(yīng)用移去后，再應(yīng)用初值定理初值定理( )( )( )afttft)(lim)(limssFsssFass(0 )(0 )(0 )(0 )aafff)(lim)0()0(ssFffasa101p01( )( )( )( )( )( )()( )s()pppppppftatatatftLftFsLftaaasFs 則n同理，若同理，若 f (t) 在在 t=0 處有沖激及其導(dǎo)數(shù)，設(shè)其形式為處有沖激及其導(dǎo)數(shù)，設(shè)其形式為n初值定理應(yīng)表示為初值定理應(yīng)表示為)(lim)0()0(ssFffpsp2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講292022-3-15291( )( )1(0)lim( )lim1ssstsssss L1)(sssF1lim)(lim1111)(sssssFssssFss111lim)(lim)0()0(ssssFffsasa2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第18講302022-3-1530n設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換，且及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換，且F(s)的所有極點(diǎn)的所有極點(diǎn)都在都在S左半平面（包括原點(diǎn)處的單極點(diǎn)），則左半平面（包括原點(diǎn)處的單極點(diǎn)），則f(t)終值為終值為n證明：利用時(shí)域微分性