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文檔簡介
1、4.1 4.1 信號分解為正交函數(略)信號分解為正交函數(略)4.2 4.2 傅里葉級數傅里葉級數4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質4.6 4.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 4.8 取樣定理取樣定理4.1 4.1 信號分解為正交函數(略)信號分解為正交函數(略) 時域分析,以沖激函數為基本信號,任意輸入信號時域分析,以沖激函數為基本信號,任意輸入信號可分解為一系列沖激函數;而可分解為一系列沖
2、激函數;而yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數信號本章將以正弦信號和虛指數信號ejt為基本信號,任為基本信號,任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數信號之和。數信號之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。分析。 4.2 4.2 傅里葉級數傅里葉級數一、傅里葉級數的三角形式一、傅里葉級數的三角形式 設周期信號設周期信號f(t),其周期為,其周期為T,角頻率,角頻率 =2 /T,當,當滿足狄里赫利滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時,它可分解為
3、如下三角條件時,它可分解為如下三角級數級數 稱為稱為f(t)的傅里葉級數的傅里葉級數 。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf 其中其中an , bn稱為傅里葉系數。稱為傅里葉系數。 (1 1)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見,可見, an 是是n的偶函數,的偶函數, bn是是n的奇函數。的奇函數。10)cos(2)(nnntnAAtf式中,式中,A0 = a022nnnbaAnnnabarctan將(將(1)式同頻率項合并,可寫為:)式同頻率項合并,可寫為:可見可見An是是n的偶函數,的偶函數, n是是n的奇函數。的
4、奇函數。an = Ancos n, bn = Ansin n,n=1,2, 上式表明,周期信號可分解為直流和許多余弦上式表明,周期信號可分解為直流和許多余弦分量。分量。 其中,其中, A0/2為直流分量;為直流分量; A1cos( t+ 1)稱為基波或一次諧波,它的角頻率稱為基波或一次諧波,它的角頻率與原周期信號相同;與原周期信號相同; A2cos(2 t+ 2)稱為二次諧波,它的頻率是基波稱為二次諧波,它的頻率是基波的的2倍;倍; 一般而言,一般而言,Ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波。次諧波。 二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數為偶函數對
5、稱縱坐標對稱縱坐標22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0=0,展開為余弦級數。,展開為余弦級數。2 . .f(t)為奇函數為奇函數對稱于原點對稱于原點an =0=0,展開為正弦級數。,展開為正弦級數。 實際上,任意函數實際上,任意函數f(t)都可分解為奇函數和偶函數都可分解為奇函數和偶函數兩部分,即兩部分,即 f(t) = fod(t) + fev(t)。 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t
6、)為奇諧函數為奇諧函數f(t) = f(tT/2) 此時此時 其傅里葉級數中只含其傅里葉級數中只含奇次諧波分量,而不含偶次諧奇次諧波分量,而不含偶次諧波分量即波分量即 : a0=a2=b2=b4=0 f(t)t0TT/2三、傅里葉級數的指數形式三、傅里葉級數的指數形式 三角形式的傅里葉級數,含義比較明確,但運算三角形式的傅里葉級數,含義比較明確,但運算常感不便,因而經常采用指數形式的傅里葉級數。可常感不便,因而經常采用指數形式的傅里葉級數??蓮娜切问酵瞥觯豪脧娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntj
7、njnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項的上式中第三項的n用用n代換,代換,A n=An, n= n, 則上式寫為則上式寫為 :110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0ej0 t , 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以令復數令復數nnjnFFAnnee21稱其為復傅里葉系數,簡稱傅里葉系數。稱其為復傅里葉系數,簡稱傅里葉系數。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntf
8、TntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2, 22de)(1TTtjnnttfTF 上式表明:任意周期信號上式表明:任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻可分解為許多不同頻率的虛指數信號之和。率的虛指數信號之和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。四、周期信號的功率四、周期信號的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 周期信號一般是功率信號,其平均功率為周期信號一般是功率信號,其平均功率為4.3 4.3 周期信號的頻譜及特點周期信號的頻譜及
9、特點一、信號頻譜的概念一、信號頻譜的概念 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系,即:相位隨頻率的變化關系,即: 將將An和和 n的關系分別畫在以的關系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個圖,分別稱為振幅頻譜圖和相位頻面上得到的兩個圖,分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為譜圖。因為n0,所以稱這種頻譜為單邊譜。,所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫也可畫|Fn|和和 n的關系,稱為雙邊譜。若的關系,稱為雙邊譜。若Fn為實數,也可直接畫為實數,也可直接畫Fn 。 試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T,基波角頻率,
10、基波角頻率,畫,畫 出它的單邊頻譜圖,并求出它的單邊頻譜圖,并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解:解: 首先應用三角公式改寫首先應用三角公式改寫f(t)的表達式,即的表達式,即263cos41324cos211)(tttf34cos21t的周期的周期T1 = 8,323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24,基波角頻率,基波角頻率=2/T = /12根據帕斯瓦爾等式,其功率為根據帕斯瓦爾等式,其功率為323741212121122例:周期信號例:周期信號 f(t) = P= 34cos21t是是f(t)的的/4/12
11、=3次諧波分量;次諧波分量; 323cos41t是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量;次諧波分量;畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖:的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖:(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1二、周期信號頻譜的特點二、周期信號頻譜的特點例:有一幅度為例:有一幅度為1,脈沖寬度,脈沖寬度為為 的周期矩形脈沖,其周期的周期矩形脈沖,其周期為為T,如圖所示。求頻譜。,如圖所示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數)取樣函數)
12、 nnTjnTtjn)2sin(2e122)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1,2, Fn為實數,可直接畫成一個頻譜圖。設為實數,可直接畫成一個頻譜圖。設T = 4畫圖。畫圖。零點為零點為mn2所以所以mn2,m為整數。為整數。Fn022441特點:特點: (1)周期信號的頻譜具有諧波周期信號的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置性。譜線位置是基頻是基頻的整數倍;的整數倍;(2)一般具有收斂性??傏厔轀p小。一般具有收斂性。總趨勢減小。譜線的結構與波形參數的關系:譜線的結構與波形參數的關系: (1) T一定,一定, 變小,此時變小,此時 (譜線間隔)不變。兩(譜線間隔)不變。兩零
13、點之間的譜線數目:零點之間的譜線數目: 1/ =(2 / )/(2 /T)=T/ 增多。增多。 (2) 一定,一定,T增大,間隔增大,間隔 減小,頻譜變密。幅度減小,頻譜變密。幅度減小。減小。 如果周期如果周期T無限增長(這時就成為非周期信號),無限增長(這時就成為非周期信號),那么,譜線間隔將趨近于零,周期信號的那么,譜線間隔將趨近于零,周期信號的離散頻譜離散頻譜就過就過渡到非周期信號的渡到非周期信號的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。于無窮小。 4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 為了描述
14、非周期信號的頻譜特性,引入頻譜密度為了描述非周期信號的頻譜特性,引入頻譜密度的概念。令的概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的振幅)單位頻率上的振幅) 稱稱F(j)為頻譜密度函數。為頻譜密度函數。22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考慮到:考慮到:T,無窮小,記為無窮小,記為d; n (由離散量變?yōu)檫B續(xù)量),而(由離散量變?yōu)檫B續(xù)量),而2d21T同時,同時, 于是,于是,ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式傅里葉反變換式傅里葉反變換式 F(j)稱為稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數,簡
15、稱的傅里葉變換或頻譜密度函數,簡稱 頻譜。頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數。的傅里葉反變換或原函數。 根據傅里葉級數根據傅里葉級數也可簡記為也可簡記為 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是復函數,寫為一般是復函數,寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 傅里葉變換存在的充分條件傅里葉變換存在的充分條件:ttfd)(用下列關系還可方便計算一些積分用下列關系還可方便計算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFfdtjFtf)(cos)(1)(0 物理含義:非周期信號由不同頻率的余
16、弦分量組成。物理含義:非周期信號由不同頻率的余弦分量組成。二、常用函數的傅里葉變換二、常用函數的傅里葉變換1. 單邊指數函數單邊指數函數f(t) = e t(t), 0實數實數10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數函數雙邊指數函數f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt3. 門函數門函數(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 沖激函數沖激函數 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0edd
17、de)( )( 5. 常數常數1 有一些函數不滿足絕對可積這一充分條件,如有一些函數不滿足絕對可積這一充分條件,如1, (t) 等,但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求。等,但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求。 可構造一函數序列可構造一函數序列fn(t)逼近逼近f (t) ,即,即而而fn(t)滿足絕對可積條件,并且滿足絕對可積條件,并且fn(t)的傅里葉變換的傅里葉變換所形成的序列所形成的序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F (j )為為)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn 這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變
18、換。這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。 構造構造 f (t)=e- -t , 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此,因此, 1212( ( ) )6. 符號函數符號函數0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數階躍函數 (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)歸納記憶:1. F 變換對
19、變換對2. 常用函數常用函數 F 變換對:變換對:t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()一、線性性質一、線性性質 若若 f1(t) F1(j), f2(t) F2(j) 則則a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 0f ( t )t1-11例:例:f(t)的波形如圖,則的波形如圖,則 F(j) = ?解解: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - -
20、 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -0f ( t )t1-11二、二、奇偶性:奇偶性:若若f(t)是實函數是實函數, 則則tttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RX(1) R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) 若若 f(t) = f(-t) ,則則 X() = 0, F(j) = R() 若若 f(t) = -f(-t) ,則則 R() = 0, F(j) = jX()三、對稱性質三、
21、對稱性質若若 f (t) F(j) 則則F( jt ) 2f () 例:已知例:已知 ( (t)1 )1 代入反變換定義式,有代入反變換定義式,有)(de21ttj將將 t,t- - :)(de21ttj再根據傅里葉變換定義式,得再根據傅里葉變換定義式,得)(2)(2de1ttj例:參見教材第例:參見教材第145-146145-146頁頁 例例4.5-14.5-1、4.5-24.5-2。四、尺度變換性質四、尺度變換性質若若 f (t) F(j) 則則 其中其中“a” 為非零實常數為非零實常數令令 a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(參見教材第參見教材第1
22、47147頁圖頁圖4.5-24.5-2。 尺度變換表明,在時域中信號占據時間的壓縮尺度變換表明,在時域中信號占據時間的壓縮對應于其頻譜在頻域中信號占有頻帶的擴展。對應于其頻譜在頻域中信號占有頻帶的擴展。五、時移性質五、時移性質若:若: f (t) F(j) 則則式中式中t0是實常數是實常數)(e)(00jFttftj證明證明: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj例:例: f(t)的波形如圖,的波形如圖, F(j) = ?解解: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5)
23、 F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468 例:已知例:已知 f (t)F( j), 則則 f (at b) ?解解: f (t b)e - -jb F( j)f (at b) ajFea1bajf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1或:或:六、頻移性質六、頻移性質若若 f (t) F(j) 則則證明證明:F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0)(e)(00tfjF
24、tj例例 :f(t) = ej3t F(j) = ?解解: 1 2() ej3t 1 2(- -3)例:例: f(t) = cos0t F(j) = ?解解:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)例:例: 已知已知 f(t) F(j) , 則則 f(t) cos0t ? 參見教材第參見教材第151頁。頁。例:教材第例:教材第151頁例頁例4.5-5。七、卷積性質七、卷積性質時域卷積定理:時域卷積定理:若若 f1(t) F1(j), f2(t) F2(j)則則 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)頻域卷積定理:頻域卷積定理:若若 f1(t) F1(j),
25、f2(t) F2(j)則則 f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21例:教材第例:教材第154154頁例頁例4.5-74.5-7。八、時域的微分和積分八、時域的微分和積分若若 f (t) F(j) 則則 )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0證明證明:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j)n F(j)(時域卷積定理)(時域卷積定理)f(-1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(其中其中f(t)= 1/t2 ?例例1:解解:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()s
26、gn()(1ddjjtt|)sgn(12t例例2:f(t)2- -20t t2設設 f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)解解:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjF參考教材參考教材155-156155-156頁例頁例4.5-84.5-8。九、頻域的微分和積分九、頻域的微分和積分若若 f (t) F(j) 則則 (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttfd)
27、()(1)()0(d)(21)0(jFf例例 1:f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(解解:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt其中其中4.6 4.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )二、一般周期信號的傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換ntjnnT
28、Ftfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(例例1:周期為:周期為T的單位沖激周期函數的單位沖激周期函數 T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解:解:)()()(2)(nnTnnTt(1)例例2:周期信號如圖,求其傅里葉變換。:周期信號如圖,求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解:周期信號解:周期信號f(t)也可看作也可看作一時限非周期信號一時限非周期信號f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即 f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) =
29、nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本題本題 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式與上頁式與上頁(1)式比較,得式比較,得)2(1)(200TnjFTjnFFn這也給出求周期信號傅里葉系數的另一種方法。這也給出求周期信號傅里葉系數的另一種方法。 傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數函數之和。率的虛指數函數之和。ntjnnFtfe)(對周期信號:對周期信號:對非周期信號:對非周期信號:de)(21)(tjjFtf其基本信號為其基本信號為 ej t 。一、頻率響應一、頻率響應 1、基本信號、基本信號ej t作用于作用
30、于LTI系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應 說明:頻域分析中,信號的定義域為說明:頻域分析中,信號的定義域為(,),而,而t= 總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0,因此本章的響應指零,因此本章的響應指零狀態(tài)響應,常寫為狀態(tài)響應,常寫為y(t)。 設設LTI系統(tǒng)的沖激響應為系統(tǒng)的沖激響應為h(t),當激勵是角頻率,當激勵是角頻率的基本信號的基本信號ej t時,其響應時,其響應 tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換,的傅里葉變換,記為記為H(j ),常稱為系統(tǒng)的頻率響應函數。,常稱為系統(tǒng)的頻率響應函數。de)(jhy(t) = H(j ) e
31、j tH(j )反映了響應反映了響應y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej tY(j ) = F(j )H(j )2、一般信號、一般信號f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) LTI* h (t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)F(j)H(j)Y(j)頻率響應頻率響應H(j )可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應
32、的傅里葉變可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換換Y(j )與激勵與激勵f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )之比,即之比,即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱為幅頻特性(或幅頻響應);稱為幅頻特性(或幅頻響應);( ( ) )稱為相稱為相頻特性(或相頻響應)。頻特性(或相頻響應)。 H(j ) 是是 的偶函數,的偶函數,( )是是 的奇函數。的奇函數。 頻域分析法步驟:頻域分析法步驟:傅里葉變換法傅里葉變換法3、頻率響應、頻率響應H( (j ) )的計算的計算 2) H(j ) = Y(j )/F(j ) 求解方法:求解方法:(
33、1)由微分方程求,對微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求,對微分方程兩邊取傅里葉變換。(2)由電路直接求出。由電路直接求出。 例例1:某系統(tǒng)的微分方程為:某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t) 求求f(t) = e-t(t)時的響應時的響應y(t)。dtethjHtj)()() 1f(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 解:微分方程兩邊取傅里葉變換解:微分方程兩邊取傅里葉變換 j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 21)()()(jjFjYj
34、H例例2:如圖電路,:如圖電路,R=1,C=1F, 以以uC(t)為輸出,求其為輸出,求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解:畫電路頻域模型解:畫電路頻域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e- -t (t) 例例3:3:圖示系統(tǒng),圖示系統(tǒng), 求零狀態(tài)響應求零狀態(tài)響應 y( (t) ) 。解:解:)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)1000()1000()(jS)2()(Satg)(2)2(gtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjFjX21)1000()1000(
35、*)(422g)(21)(4GjF)1000()1000(4144ggtttty1000cossin21)(二、無失真?zhèn)鬏敹o失真?zhèn)鬏?系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類:一類是信系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類:一類是信號的傳輸,一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真,號的傳輸,一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真,而濾波則濾去或削弱不需要有的成分,必然伴隨著失而濾波則濾去或削弱不需要有的成分,必然伴隨著失真。真。 1、無失真?zhèn)鬏?、無失真?zhèn)鬏?(1)定義:信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與)定義:信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與 輸入信號相比,只有幅度的大小和出現時間的先后輸入信號相比,只有幅度
36、的大小和出現時間的先后 不同,而沒有波形上的變化。即不同,而沒有波形上的變化。即 輸入信號為輸入信號為f(t),經過無失真?zhèn)鬏敽?,輸出信號應為,經過無失真?zhèn)鬏敽?,輸出信號應?y(t) = K f(ttd) 其頻譜關系為其頻譜關系為 Y(j )=Ke j tdF(j ) 時域條件:時域條件: h(t)=K (t td) 頻域條件:頻域條件: H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td 即即 H(j ) =K ,( )= td K|H(j)| ()0 0 上述是信號無失真?zhèn)鬏數纳鲜鍪切盘枱o失真?zhèn)鬏數睦硐肜硐霔l件。當傳輸有限帶條件。當傳輸有限帶寬的信號是,只要在信號占有頻帶范圍內,系統(tǒng)
37、的幅頻、寬的信號是,只要在信號占有頻帶范圍內,系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。相頻特性滿足以上條件即可。 (2)(2)無失真?zhèn)鬏敆l件:無失真?zhèn)鬏敆l件:頻譜圖:頻譜圖:例例2: 2: 圖示系統(tǒng),若要求不失真?zhèn)鬏敚▓D示系統(tǒng),若要求不失真?zhèn)鬏?,? 1)求)求R R1 1和和R R2 2; (2 2)求電阻與電容參數關系)求電阻與電容參數關系. .(1)(2)解:解:)1()()() 1()(211221jRRRRjRRjHAjH)(若要求不失真?zhèn)鬏斎粢蟛皇д鎮(zhèn)鬏?22111222111)()2(RCjRRCjRRCjRjH若要求不失真?zhèn)鬏?,則若要求不失真?zhèn)鬏敚瑒t221111RCjRCj2
38、211RCRC121RR)()1()()1)()() 1 (2121jFjRjRjRjRjYcctjejH010 0t1. 1. 理想低通濾波器理想低通濾波器 C 為截止頻率,稱為理想低通濾波器通頻帶。為截止頻率,稱為理想低通濾波器通頻帶。在在0 C 的低頻段內,傳輸信號無失真。(有時延)的低頻段內,傳輸信號無失真。(有時延) 濾波器:濾波器:ccjH01分類:分類:octjeg)(2)(2cg三、理想低通濾波器三、理想低通濾波器 dejHthtj)(21)( ccdeetjtj 0121 0021110ttjttjCCeejtt 00sinttttccc 0ttSacc ) t (t 0tt
39、Sathcc 2. 2. 單位沖激響應單位沖激響應h( (t) )或或octjegjH)(2)()(2tSagccc)()(2occtjttSaegoc1 1、h( (t) )與與 ( (t) )比較,嚴重失真;比較,嚴重失真;2 2、h( (t) )為抽樣函數,最大值為為抽樣函數,最大值為3 3、濾波器限制輸入信號高頻成分;、濾波器限制輸入信號高頻成分;4、 t0時,時,h(t) 0 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng) 理想低通濾波器是物理不可實現;理想低通濾波器是物理不可實現;c5、物理可實現的濾波器,其幅頻特性為物理可實現的濾波器,其幅頻特性為djH21)(lnPaley -Wiener 準則準則 (
40、佩利(佩利-維鈉準則)維鈉準則)(實際低通濾波器通過逼近實現)(實際低通濾波器通過逼近實現)h( (t) )有效持續(xù)時間:有效持續(xù)時間:c2(主瓣)(主瓣) 物理可實現系統(tǒng)的條件物理可實現系統(tǒng)的條件 就時域特性而言,一個物理可實現的系統(tǒng),其沖就時域特性而言,一個物理可實現的系統(tǒng),其沖激響應在激響應在t0時必須為時必須為0,即,即 h(t)=0 ,t0 即響應不應在即響應不應在激勵作用之前出現。激勵作用之前出現。 就頻域特性來說,佩利(就頻域特性來說,佩利(Paley)和維納(和維納(Wiener)證明了物理可實現的幅頻特性必須滿足證明了物理可實現的幅頻特性必須滿足 djH2)(djH21)(l
41、n并且并且稱為佩利稱為佩利-維納準則。(必要條件)維納準則。(必要條件) 從該準則可看出,對于物理可實現系統(tǒng),其幅頻從該準則可看出,對于物理可實現系統(tǒng),其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為特性可在某些孤立頻率點上為0,但不能在某個有限,但不能在某個有限頻帶內為頻帶內為0。 jj1F0)(1)(2tjegjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21)()(13. 3. 理想低通濾波器的階躍響應理想低通濾波器的階躍響應dejoccttj)(12121 0121ttSitgC jjjHFYoctjegjH)(2dttttcoo0)()(sin121dtttxSix0sin)(2上升時間:響應由最小值到
42、最大值所經上升時間:響應由最小值到最大值所經歷的時間,記作歷的時間,記作 BtCr12 CCfB 23階躍響應上升時間與系統(tǒng)帶寬成反比。階躍響應上升時間與系統(tǒng)帶寬成反比。理想低通濾波器的單位階躍響應為理想低通濾波器的單位階躍響應為4理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)和不可實現系統(tǒng)理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)和不可實現系統(tǒng)。4.8 4.8 取樣定理取樣定理 取樣定理論述了在一定條件下,一個連續(xù)信號完取樣定理論述了在一定條件下,一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息,利用這些樣本值可以恢復原信號。信號的全部信息,利用這
43、些樣本值可以恢復原信號。可以說,取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了可以說,取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉換提供了理論依據。一座橋梁。為其互為轉換提供了理論依據。 一、信號的取樣一、信號的取樣 所謂所謂“取樣取樣”就是利用取樣脈沖序列就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信從連續(xù)信號號f(t)中中“抽取抽取”一系列離散樣本值的過程。一系列離散樣本值的過程。 這樣得到的離散信號稱為這樣得到的離散信號稱為取樣信號取樣信號。 如圖一連續(xù)信號如圖一連續(xù)信號f(t)f(t)0 0t t 用取樣脈沖序列用取樣脈沖序列s(t)(開關函數)開關函數)進行取樣,取樣間隔為進行取樣,取樣間隔為TS,fS =1/TS稱為取樣頻率。稱為取樣頻率。t ts(t)1T TS S2T2TS S3T3TS S0 0取樣信號取樣信號 fS(t) = f(t)s(t)f(t)s(t)fs(t)t tf(t)s(t)1T T
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