信號與系統(tǒng)：第9講 第4章 連續(xù)時間傅里葉變換1

1、第第4 4章章 連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間傅里葉變換 4.1-4.1-4.24.2非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換；非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換； 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講2n傅里葉級數(shù)與傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)系統(tǒng)n復(fù)指數(shù)信號作用于復(fù)指數(shù)信號作用于LTI系統(tǒng)得到很簡單的響應(yīng)系統(tǒng)得到很簡單的響應(yīng)n其相應(yīng)的系數(shù)帶來系統(tǒng)函數(shù)的概念其相應(yīng)的系數(shù)帶來系統(tǒng)函數(shù)的概念n特征函數(shù)作用下的特征值構(gòu)造的函數(shù)特征函數(shù)作用下的特征值構(gòu)造的函數(shù)n可以求解周期信號作用下的響應(yīng)可以求解周期信號作用下的響應(yīng)n系統(tǒng)頻率響應(yīng)概念系統(tǒng)頻率響應(yīng)概念n只考慮純虛數(shù)情況下的系

2、統(tǒng)函數(shù)，只考慮純虛數(shù)情況下的系統(tǒng)函數(shù)，n表示系統(tǒng)對不同頻率復(fù)指數(shù)函數(shù)的響應(yīng)，表示系統(tǒng)對不同頻率復(fù)指數(shù)函數(shù)的響應(yīng)，n濾波的概念濾波的概念n頻率成形濾波器頻率成形濾波器-高通、低通、帶通高通、低通、帶通n頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n微分方程和差分方程描述的濾波器分析微分方程和差分方程描述的濾波器分析n低通、高通低通、高通2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講3n周期信號可以用復(fù)指數(shù)信號組合來表示周期信號可以用復(fù)指數(shù)信號組合來表示-傅里傅里葉級數(shù)的展開葉級數(shù)的展開n用傅里葉級數(shù)表示的好處用傅里葉級數(shù)表示的好處n可以簡化輸入輸出關(guān)系可以簡化輸入輸出關(guān)系n系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)可以表征系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)、頻

3、率響應(yīng)可以表征系統(tǒng)特性n系統(tǒng)頻率特性分析，濾波器設(shè)計系統(tǒng)頻率特性分析，濾波器設(shè)計n周期信號的分析怎樣拓展到非周期信號周期信號的分析怎樣拓展到非周期信號n信號的周期變得無窮大，基頻很小，諧波密集信號的周期變得無窮大，基頻很小，諧波密集n傅里葉級數(shù)展開表達(dá)式會演變?yōu)槭裁?？傅里葉級數(shù)展開表達(dá)式會演變?yōu)槭裁?？n信號有基本信號組合的求和表達(dá)式演變?yōu)槭裁?？信號有基本信號組合的求和表達(dá)式演變?yōu)槭裁矗?022-3-15信號與系統(tǒng)第9講4n1.非周期信號傅里葉變換表示的導(dǎo)出非周期信號傅里葉變換表示的導(dǎo)出n從一個周期方波的分析導(dǎo)出非周期信號的傅里葉變換從一個周期方波的分析導(dǎo)出非周期信號的傅里葉變換n周期方波的傅里

4、葉級數(shù)表示周期方波的傅里葉級數(shù)表示n周期趨于無窮大，基波頻率趨于周期趨于無窮大，基波頻率趨于0，離散頻譜變連續(xù)，離散頻譜變連續(xù)nA=1,T=4T1,T=8T1, T=16T1圖示圖示nT1不變，不變，T變大，包絡(luò)不變，譜線變密變大，包絡(luò)不變，譜線變密,nT, Tak包絡(luò)函數(shù)包絡(luò)函數(shù)0110 11101,( )0,/22 sin()22()2 sin()kkkA tTx tTtTAkTT ATaSa kkTTTATTa 周期方波其傅里葉級數(shù)的系數(shù)或者：，當(dāng)做包絡(luò)函數(shù)的樣本一個周期內(nèi)的平均值方波寬度與周期之比2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講5n周期信號在周期無限大轉(zhuǎn)化為非周期信號周期信號在周期無

5、限大轉(zhuǎn)化為非周期信號n非周期信號的傅里葉級數(shù)表示：非周期信號的傅里葉級數(shù)表示：( )( )( )x tx tx t為一非周期信號，為作為第一周期構(gòu)成的周期信號如果這個周期為無窮大，兩個信號相等0( )( ),jktkkx tx ta e對周期信號進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開：00(): ()( )1()()kjktkkkTTaTaX jX jx t edtaX jaX jkT前面已分析， 變大，包絡(luò)不變定義=原系數(shù)與關(guān)系：000000( )()1( )()1()2jktjktkkkjktkx tX jx ta eX jkeTX jke周期信號用表示：000/ 2/ 2/ 2/ 21( )11( )( )

6、TjktkTTjktjktTax t edtTx t edtx t edtTT非周期信非周期信號的傅里號的傅里葉變換葉變換如何演變?yōu)槿绾窝葑優(yōu)榉侵芷谛盘柗侵芷谛盘柕谋磉_(dá)的表達(dá)2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講6n非周期信號的傅里葉變換對非周期信號的傅里葉變換對n分析用包絡(luò)函數(shù)表示的周期信號分析用包絡(luò)函數(shù)表示的周期信號n改寫表達(dá)式，得到非周期信號的傅里葉變換對：改寫表達(dá)式，得到非周期信號的傅里葉變換對：n從變換式分析，非周期信號也可以由復(fù)指數(shù)信號加權(quán)組合得到從變換式分析，非周期信號也可以由復(fù)指數(shù)信號加權(quán)組合得到n由傅里葉變換表示的周期信號傅里葉級數(shù)的系數(shù)由傅里葉變換表示的周期信號傅里葉級數(shù)的系數(shù)

7、000001( )()2,( )( )0,jktkx tX jkeTx tx tdk 在有：此時：1( )() 2j tx tX jed()()( ) ,22j tj tX jdX jdx tee復(fù)指數(shù)信號，加權(quán)0011( )()jktkkax t edtX jTT周期信號與非周周期信號與非周期信號的關(guān)系期信號的關(guān)系0 ()( )jktX jx t edt2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講7n根據(jù)周期信號與非周期信號關(guān)系計算傅里葉變換根據(jù)周期信號與非周期信號關(guān)系計算傅里葉變換2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講8n周期信號系數(shù)與非周期信號積分轉(zhuǎn)換舉例周期信號系數(shù)與非周期信號積分轉(zhuǎn)換舉例2022-

8、3-15信號與系統(tǒng)第9講9n2.傅里葉變換的收斂傅里葉變換的收斂n第一類條件：第一類條件：x(t)能量有限能量有限n第二類條件：狄里赫利條件第二類條件：狄里赫利條件n在無限區(qū)間不絕對可積，借助沖激函數(shù)，也有傅里葉變換。在無限區(qū)間不絕對可積，借助沖激函數(shù)，也有傅里葉變換。n所以上面的兩類條件都是充分條件。所以上面的兩類條件都是充分條件。0221 ()( )( )() 2( )() ( )( )0( )( )jktj tX jx t edtx tX jedx tdtX jx tx tdtx tx t ，如果：，則：，由傅里葉變換表示的信號與原信號在能量上沒有差別. ( )2.( ).( )x t

9、dtx tx t 1 絕對可積任何有限區(qū)間，只有有限最大最小值3任何有限區(qū)間，只有有限不連續(xù)點(diǎn)，且為有限值2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講10n3.連續(xù)時間傅里葉變換舉例連續(xù)時間傅里葉變換舉例n（1）單邊指數(shù)信號）單邊指數(shù)信號2211(), 01()()tan()XjaajXjaXja A如果是復(fù)數(shù)如果是復(fù)數(shù)會怎樣？怎樣會怎樣？怎樣保證絕對可積保證絕對可積( )( ) 0atx teu ta0()0()1atj tajtX jeedteaj 2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講11n（2）偶對稱指數(shù)信號）偶對稱指數(shù)信號n（3）奇對稱指數(shù)信號）奇對稱指數(shù)信號0022()112a tj tatj

10、tatj tX jeedte edteedtaajaja結(jié)果為實數(shù)結(jié)果為實數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)相位為相位為0,0( ) (0),0atatetx taet結(jié)果為純虛數(shù)結(jié)果為純虛數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)相位為相位為- -/2/2( ) 0a tx tea0220112()atj tatj tjX je edteedtajaja 2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講12n（4）單位沖激信號）單位沖激信號n（5）單脈沖信號）單脈沖信號n信號綜合（反變換）的討論信號綜合（反變換）的討論( )( ) x tt單位沖激信號的頻譜在單位沖激信號的頻譜在所有頻率上都是相同的所有頻率上都是相同的無限帶寬無限帶寬111, ( )

11、0, tTx ttT112sin() ( ) ,( )( )2wj twTx tedwx tx t ，當(dāng)有：()( )1j tX jt edt1112sin()()Tj tTTX jedt1 ( )tTx t 在時，收斂于？收斂過程怎樣？收斂于均值收斂于均值吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講13n（6）頻域單脈沖的反變換）頻域單脈沖的反變換n時域頻域變換存在對偶性時域頻域變換存在對偶性n不同不同W情況下的變換結(jié)果比較情況下的變換結(jié)果比較1, () 0, WX jW()( ), ( )( )WX jx tWx tt 增大，變寬，主峰變高，第一波瓣變窄11 2sin()sin(

12、)( )22Wj tWWtWtx tedttt2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講142022-3-1514n（7）n函數(shù)形式函數(shù)形式x(t)n不便直接計算，采用不便直接計算，采用奇雙邊指數(shù)函數(shù)奇雙邊指數(shù)函數(shù)x1(t)在在 0替代替代n計算傅立葉變換計算傅立葉變換n模頻譜、相位頻譜模頻譜、相位頻譜1(0)( )sgn( )1(0)tx ttt100( )lim( )limsgn( ).a taax tx tt e1220022()lim()limaajX jXjaj2()X j22(0)()(0)X jx1(t)10ttaetSgn(t)+1-10a2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講152022

13、-3-1515n（8）時域時域x(t)為沖擊函數(shù)為沖擊函數(shù) 頻域頻域X(j)為沖擊函數(shù)為沖擊函數(shù)t)(t010()Xj( )1x t10t2() 20111 ( )( )22j ted F( )( )1jttt edtF1111.( )2j tedtF 11.2( )jtedt F2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講162022-3-1516n（9）時域時域x(t)為沖擊偶函數(shù)為沖擊偶函數(shù) 頻域頻域X(j)為沖擊偶函數(shù)為沖擊偶函數(shù)12( )()jtdtjeddt()dtjd tF111 ( )( )22j ted F( )( )1jttt edtF1111.( )2j tedtF 11.2( )

14、jtedt F( )()nnndtjd tF2( )()jtdjt edtd 12 ()( )2( )ddtjjdd F2()nnndtjd F2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講172022-3-15n（9）n利用已有結(jié)果求解利用已有結(jié)果求解n階躍函數(shù)分解階躍函數(shù)分解1122( )sgn( )u tt1( )()u tj F u(t)0t()X j02022-3-15信號與系統(tǒng)第9講182022-3-15n（9.2）再求）再求n利用指數(shù)函數(shù)的結(jié)果利用指數(shù)函數(shù)的結(jié)果n參數(shù)取極限求解參數(shù)取極限求解n階躍函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，其變換應(yīng)包含實部和虛部階躍函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，其變換應(yīng)包含實部和虛部0( )

15、lim 0atau tet22221( )atae u tjajaaF22001lim( )limataaeu tjaj虛 部 ：I mF22002200 (0)lim( )limlimataaaaeu taada 當(dāng)實部：存在為常數(shù)R e F220002( )()limlimlimarctan()()221()aaatdaadgaaa 實部是一個函數(shù)，積分結(jié)果就是沖激強(qiáng)度：2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講192022-3-15n（10）2()( ) ()tx tEet 2()( )( )tjtjtx tx t edtEeedtF22()()0( )(cossin)2costtx tEetj

16、t dtEetdtF2()2()XE e2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講202022-3-15n（11）n 與矩形脈沖，升余弦脈沖比較頻譜的散布情況與矩形脈沖，升余弦脈沖比較頻譜的散布情況1 ()( )0 ()tEtx tt( )( )1jtjttx tx t edtEedtF00( )jtjtjtEEx tEedttedttedtF2()()2XESa2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講212022-3-15n（12） 相對矩形脈沖，頻域能量更集中相對矩形脈沖，頻域能量更集中t( )1+cos() ()2Ex ttt( )( )1+cos()2jtjtEx tx t edtedtFtt( )

17、244jjjtjtjtEEEx tedteedteedtF2()()1()ESaX ()()()()22EEXE SaSaSa 2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講22升余弦信號的時域頻域波形升余弦信號的時域頻域波形2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講23n1.周期信號與傅里葉變換周期信號與傅里葉變換n周期信號在頻域內(nèi)是離散的諧波周期信號在頻域內(nèi)是離散的諧波n離散的頻譜如果用沖激函數(shù)表示，就可能用傅里葉變換離散的頻譜如果用沖激函數(shù)表示，就可能用傅里葉變換對周期信號進(jìn)行變換對周期信號進(jìn)行變換0( )jktkkx ta e周期信號的傅里葉級數(shù)表達(dá)式由系數(shù)表示的傅里葉變換0()2()X j 頻域的單個沖

18、激：001( )2()2jtj tx tedte 0()2()kkX jak 頻域上的等間隔沖激：2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講24n2.周期信號傅里葉變換舉例周期信號傅里葉變換舉例n（1）周期方波）周期方波00 1000 10()2()2sin()2()2sin()()kkkkX jakkTkkTkTkk 按照T=4T1作圖，與周期信號傅里葉級數(shù)的表示有系數(shù)2的差別0 102sin()kkTakT信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講25n（2）正弦信號）正弦信號000011()2()2()22( ()()Xjjjj 01100( )cos1,0()2()( ()()kx

19、 ttaaakXj 其他0( )sinkx ta 系數(shù)的表達(dá)1111,0()22kaaakjj 其他2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講26n（3）采樣信號）采樣信號n將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為離散信號的處理手段，周期性沖激串將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為離散信號的處理手段，周期性沖激串00()2()2()22()kkkkX jakkTkTT 時域和頻域的相反關(guān)系：時域和頻域的相反關(guān)系：T增大，時域中間隔大增大，時域中間隔大頻域中則間隔變小頻域中則間隔變小( )()kx ttkT0/ 2/ 211( )TjktkTat edtTT2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講27n（3.2）再求采樣信號的傅里葉變換）再求采樣信號的傅里葉變換n直接利用積分的數(shù)學(xué)計算求解直接利用積分的數(shù)學(xué)計算求解n首先考慮有限長采樣串，再求極限求解首先考慮有限長采樣串，再求極限求解()()()NNNj tj tj kTkNkNkNX jtkT edttkT edte( )lim()NNkNx ttkT(1)1j NTjNTNj kTj TkNeeee(21)(21)(1)2222222TTjNjNTj NTjNTjTTTTjjjjeeeeeeeeesin(21)2sin()2TNT2022-3-15信號與系統(tǒng)第9講28N取值對積分結(jié)果的影響取值對積分結(jié)果的影響2022