大學(xué)物理力學(xué)作業(yè)分析(4)

1、大學(xué)物理作業(yè)分析（四）（2007/04/22）4.1一人從10m深的井中提水，開始時桶中裝有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏出0.2kg。忽略桶的質(zhì)量，問此人要將水桶從井底勻速拉升到井口，需要做多少功。用變力做功計(jì)算。設(shè)井中水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，y軸豎直向上。依題意，當(dāng)桶提升高度為y時，桶中水的質(zhì)量。勻速提升時，外力，故做功 4.5設(shè)兩粒子之間的斥力，式中k為常數(shù)，r為兩粒子之間的距離。試求兩粒子相距為r時的勢能。設(shè)f=0的狀態(tài)為勢能零點(diǎn)。 空間某點(diǎn)的勢能等于保守力從該點(diǎn)（r）到零勢能點(diǎn)的積分，本題要求將零勢能點(diǎn)設(shè)置在處，即，故 注：以上兩題做得很好！4.8長l的繩一端固定，另一端系一質(zhì)量

2、為m的小球，如圖4-21所示。今小球以水平速度從A點(diǎn)拋出，在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，由于存在空氣阻力，小球在C點(diǎn)脫離圓軌道，求阻力所做的功。將小球與地球視為一個系統(tǒng)。在小球由A至C的運(yùn)動過程中，系統(tǒng)受空氣阻力作用，根據(jù)功能原理，空氣阻力做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量，即。取A點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，有在C點(diǎn)時，小球脫離圓軌道，繩松馳，拉力，應(yīng)有聯(lián)立求解、式，得： 注：此題很多同學(xué)計(jì)算結(jié)果出錯！4.10如圖4-22所示，彈簧下面懸掛著質(zhì)量分別為、的兩個物體，開始時它們都處于靜止?fàn)顟B(tài)。突然把與的聯(lián)線剪斷后，的最大速率是多少？設(shè)彈簧的勁度系數(shù)，。本題研究的是剪斷m1與m2間連線后的情況。將m1、彈簧、地球構(gòu)成一

3、系統(tǒng)，該系統(tǒng)不受外力作用，內(nèi)部沒有非保守力做功，機(jī)械能守恒。取剪斷連線的瞬間為初態(tài)，速率最大時為末態(tài)，彈簧為原長時作為彈性勢能和重力勢能的零點(diǎn)，則初態(tài)時彈簧形變x1，且 末態(tài)時因速率要達(dá)到最大（動能最大），必是勢能為最小。令，解得在處EP有極小值，即m1在處速率最大，根據(jù)機(jī)械能守恒，有 將x1及x2代入上式，解得： 注：此題做得很好！4.13一質(zhì)量的子彈，以水平速度飛行，射穿一個用輕繩懸掛的沖擊擺，穿出后的子彈速度，如圖4-24所示。設(shè)擺錘質(zhì)量M=1.0kg，求擺錘能夠上升的最大高度(取g=10m/s2)。 可將整個過程分解為兩個分過程：（）子彈與擺的碰撞過程。將子彈和擺構(gòu)成一個系統(tǒng)，系統(tǒng)水平

4、方向動量守恒。設(shè)子彈射出擺后，擺以速度V開始運(yùn)動，有 （）擺的上升過程。將擺與地球構(gòu)成一個系統(tǒng)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。設(shè)擺在豎直位置處為初態(tài)，此時速度V，擺上升到最大高度h處為末態(tài)，此時速度為零， 聯(lián)立求解、式，可得擺上升的最大高度4.15 測子彈速度的一種方法是把子彈水平射入一個固定在彈簧上的木塊中，由彈簧壓縮的距離就可求出子彈的速度，如圖4-26所示。已知子彈的質(zhì)量0.02kg，木塊質(zhì)量8.98kg，彈簧的勁度系數(shù)，子彈射入木塊后，彈簧被壓縮10.0cm，求子彈的速度。設(shè)木塊與平面間的摩擦因數(shù)為0.20。將問題分解為兩個過程討論：() 子彈射入木塊過程。這是子彈與木塊的完全非彈性碰撞，將子彈與木

5、塊構(gòu)成一個系統(tǒng)，系統(tǒng)動量守恒。設(shè)子彈的初態(tài)速度為，碰后子彈與木塊的共同速度為v，有 () 彈簧壓縮過程。將子彈、木塊、彈簧構(gòu)成一系統(tǒng)，有摩擦力做功，根據(jù)功能原理，摩擦力的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量， 聯(lián)立求解、式，可得子彈的初速度4.17 一框架質(zhì)量為200g，懸掛在彈簧上，使彈簧伸長了10cm，另有一塊粘性物質(zhì)質(zhì)量為200g，從框架底面上方30cm高處自由落下，粘在框架底盤上，見圖4-28。試求框架向下移動的最大距離。將問題分解為三個分過程討論() 粘性物質(zhì)m1從h高度處自由下落至框架面上， () 粘性物質(zhì)m1與框架m2發(fā)生完全非彈性碰撞，撞后共同的速度為V，根據(jù)碰撞過程動量守恒， () 碰后的

6、運(yùn)動。將粘性物質(zhì)m1，框架m2，彈簧和地球看作一個系統(tǒng)，系統(tǒng)無外力和非保守內(nèi)力做功，機(jī)械能守恒。設(shè)m1、m2開始以速度V運(yùn)動時為初態(tài)，此時彈簧伸長，彈簧最大伸長x時為末態(tài)，此時二物體速度為零。取彈簧的原長為彈性勢能和重力勢能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒，有彈簧最大下移 聯(lián)立求解式，得 注：以上三題有少數(shù)同學(xué)計(jì)算過程對了但結(jié)果不對，！4.20圖4-30為衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的示意圖，若分別用m和M表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，和表示衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率，關(guān)于和的關(guān)系，以下3個方程中哪些是正確的？(1) 角動量守恒 (2) 機(jī)械能守恒 (3) 牛頓第二定律 (1) 正確。衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動時，所受地球的萬有引力對

7、地心的力矩為零，根據(jù)角動量守恒定律，衛(wèi)星對地心的角動量應(yīng)守恒。(2) 正確。將衛(wèi)星與地球構(gòu)成一系統(tǒng)，系統(tǒng)只有萬有引力做功，萬有引力是保守力，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(3) 不正確。兩式的右側(cè)含有法向加速度，分別用和表示，式中分母的應(yīng)分別為在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時橢圓軌道的曲率半徑，而不是圖上標(biāo)出的，。注：此題第三問做得不好！4.21 在光滑的水平面桌面上，有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定于O點(diǎn)，另一端連結(jié)一質(zhì)量為M的木塊，處于靜止?fàn)顟B(tài)。一質(zhì)量為m的子彈，以速度沿與彈簧垂直的方向射入木塊，與之一起運(yùn)動，如圖4-31所示。設(shè)木塊由最初的A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)時，彈簧的長度由原長變?yōu)閘，求B點(diǎn)處木塊速度v的大小和方位角。將問題分解為兩個分過程討論：() 子彈射入木塊。將子彈與木塊看作一個系統(tǒng)，碰撞過程動量守恒。設(shè)碰后速度為v1,() 碰后從A運(yùn)動到B。在碰后的運(yùn)動過程中，（）作為一個整體，水平面上只受彈簧的彈力作用，彈力指向0點(diǎn)，對0點(diǎn)的力矩為零，故子彈、木塊系統(tǒng)對0點(diǎn)的角動量守恒， 再將m1、m2及彈簧看作一個系統(tǒng)，系統(tǒng)無外力和非保守內(nèi)力做功，機(jī)構(gòu)能守恒，聯(lián)立求解式，得：注：很多同學(xué)不會求方位角4.22A、B粒子之間有萬有引力作用，B固定不動，A從遠(yuǎn)處以初速按圖示軌道運(yùn)動。在圖4-32中D和A、B的最近距離d均已知。求A在離B最近點(diǎn)時的速率v和B的質(zhì)量。將A、B視