對(duì)稱法作圓錐曲線的切線

1、對(duì)稱法作圓錐曲線的切線徐葉琴 江蘇張家港市樂余高級(jí)中學(xué) 許多資料文獻(xiàn)，如近期的文1、2、3都介召了圓錐曲線的切線的尺規(guī)作法。那么，作圓錐曲線的切線是否存在規(guī)律，有沒有統(tǒng)一的尺規(guī)作法呢？1、切線方程與切點(diǎn)弦方程大家知道，曲線如果在某一點(diǎn)處可導(dǎo)，那么該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該點(diǎn)處切線的斜率。以橢圓型函數(shù)為例，設(shè)為其圖象上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，；對(duì)于，也有。如果利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)，當(dāng)為其上一點(diǎn)，。這樣在處的切線方程為。當(dāng)時(shí)，切線為，也適合上式。故橢圓曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程為。處切線方程的縱、橫截距分別為、，具有對(duì)稱性。當(dāng)在橢圓外，即時(shí)，過的切線有兩條。設(shè)切點(diǎn)為、，則切

2、線PR、PS方程分別為和，在切線上，故有和，此兩式又表明、滿足，故對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的切點(diǎn)弦RS所在直線方程為，切點(diǎn)弦的縱、橫截距也為、，切點(diǎn)弦的縱、橫截距的對(duì)稱性，為我們尋找切點(diǎn)的位置，統(tǒng)一圓錐曲線的尺規(guī)作法提供了思路。2、圓錐曲線切線的統(tǒng)一尺規(guī)作法21橢圓的切線設(shè)橢圓C的方程為，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，切線PR、PS分別與橢圓相切于R、S點(diǎn)，則切點(diǎn)弦RS所在的直線方程為。利用平面幾何中直角三角形的比例中項(xiàng)定理，結(jié)合對(duì)稱找點(diǎn)法，可以利用直尺和圓規(guī)確定兩個(gè)切點(diǎn)的位置。作法：分別在兩坐標(biāo)軸上截得、和、四點(diǎn)；作，；oBRy圖（1）NxADEMS作D、E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)、，作直線與橢圓相交于R、S；連結(jié)PR、PS，則P

3、R、PS為橢圓過點(diǎn)P的切線。證明：如圖所示，由作法，由比例中項(xiàng)定理得，必有異號(hào)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，xyoADM圖（2），同理，故切點(diǎn)弦所在直線方程為，相應(yīng)地，直線PR、PS與橢圓相切于R、S點(diǎn)。證畢。特別地，當(dāng)在橢圓上時(shí)，如圖所示，切點(diǎn)弦退化為切線。只須找到切線之橫截距。作，作，DA交于D點(diǎn)，D關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，連，即橢圓C在點(diǎn)P處的切線。22雙曲線的切線設(shè)雙曲線C的方程為，為雙曲線C外（不含焦點(diǎn)區(qū)域），且不在漸近線上的任意一點(diǎn)，PR、PS是過點(diǎn)P的雙曲線C的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在直線方程為。直線RS的縱橫截距分別為、。作法：分別在、軸上截得、和、四點(diǎn)；作，；EABMxyoPDNSR圖（3）僅作

4、D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)與雙曲線C交于R、S兩點(diǎn)；連結(jié)PR、PS，則PR、PS為雙曲線C的過點(diǎn)P的兩條切線。證明：如圖所示，由作法，、，xyoAPDM圖（4）有，異號(hào)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，同理，直線方程為，即切點(diǎn)弦所在直線方程，故PR、PS為雙曲線C過點(diǎn)P的兩條切線。證畢。特別地，當(dāng)在雙曲線上時(shí)，且異于頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示，作法簡(jiǎn)化。只須作，點(diǎn)，作，DA交于D，D關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，連，則與雙曲線C相切于P點(diǎn)。（證略）設(shè)拋物線的切線設(shè)拋物線C的方程為，為拋物線C外（不含焦點(diǎn)區(qū)域，且不在對(duì)稱軸上）的任意一點(diǎn)，PR、PS為拋物線C的過P點(diǎn)的兩條切線，R、S為切點(diǎn)。則切點(diǎn)弦方程為，利用對(duì)稱法作切線步驟如下：

5、作法：作于D，作D點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；作直線，與拋物線C交于Q，作P關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)M；連，交拋物線于R、S兩點(diǎn)；作直線PR、PS，即為拋物線的過點(diǎn)P的兩條切線。xyoPD圖（）xyoPQRMSD圖（5）證明：如圖所示，在拋物線上，又M、P關(guān)于Q點(diǎn)中心對(duì)稱，故。直線的方程為，即切點(diǎn)弦所在直線為，PR、PS為點(diǎn)P處的拋物線C的兩條切線。證畢。特別地，如圖所示，當(dāng)在拋物線上時(shí)，且異于頂點(diǎn)時(shí)，只須作于D，作D關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連，即切線。當(dāng)時(shí)，只要作P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，再作交拋物線于R、S，PR、PS即過點(diǎn)P的兩條切線。拋物線C的頂點(diǎn)處的一條切線，即軸。用對(duì)稱法作圓錐曲線的切線，不僅溝通了橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線的切線的尺規(guī)作法，而且揭示了點(diǎn)在曲線外、點(diǎn)在曲線上作切線的一般和特殊的辯證關(guān)系；導(dǎo)數(shù)知識(shí)和切線作法密切聯(lián)系，展示了數(shù)學(xué)科學(xué)的對(duì)稱美、和諧美和自然美，是數(shù)學(xué)園地一束絢麗花絮。參考文獻(xiàn)：