定積分的應(yīng)用61939

1、第七章 定積分的應(yīng)用一 、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1掌握定積分的微元法.2會(huì)用定積分的微元法求平面圖形的面積.3會(huì)用定積分的微元法求旋轉(zhuǎn)體的體積.4會(huì)用定積分的微元法求變力所做的功.5會(huì)用定積分的微元法求液體的側(cè)壓力.重點(diǎn) 定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.難點(diǎn) 定積分的微元法，微元法在實(shí)際問題中的應(yīng)用.（二）內(nèi)容提要1定積分的微元法(1)在區(qū)間上任取一個(gè)微小區(qū)間,然后寫出在這個(gè)小區(qū)間上的部分量的近似值,記為(稱為的微元)；（2）將微元上無限“累加”，即在上積分，得上述兩步解決問題的方法稱為微元法.關(guān)于微元，我們有兩點(diǎn)要說明：作為的近似表達(dá)式，應(yīng)該足夠準(zhǔn)確，

2、確切地說，就是要求其差是關(guān)于的高階無窮小，即.稱做微元的量，實(shí)際上就是所求量的微分.具體怎樣求微元呢？這是問題的關(guān)鍵，需要分析問題的實(shí)際意義及數(shù)量關(guān)系。一般按在局部上以“常代變”、“直代曲”的思路（局部線性化），寫出局部上所求量的近似值，即為微元.2.面積微元與體積微元（1）面積微元由曲線軸所圍成的圖形,其面積微元,面積.由上下兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積.由左右兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積（注意，這時(shí)應(yīng)取橫條矩形為，即取為積分變量）.（2）體積微元不妨設(shè)直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和 之間的體積.用“微元法”.為求出體積微元，在微小區(qū)間上視不變

3、，即把上的立體薄片近似看作以為底，為高的柱片，于是其體積微元，再在的變化區(qū)間上積分，則有.3弧微元與平面曲線弧微分公式設(shè)曲線在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),仍用微元法，取為積分變量，在上任取小區(qū)間，切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段的長(zhǎng)度近似代替一段小弧的長(zhǎng)度，得弧長(zhǎng)微元為,這里.二 、主要解題方法（微元法）1求平面圖形的面積的方法 例1 求下列曲線所圍成的圖形的面積(1)拋物線 與直線，(2)圓 .解(1)先畫圖，如圖所示，并由方程， 求出交點(diǎn)為（2，），（8，2）.解一 取為積分變量,的變化區(qū)間為，2，在區(qū)間，2上任取一子區(qū)間，+ ，則面積微元 =, 則所求面積為 = = （）=9.解二取為積分變量，的變化區(qū)間為

4、0，8，由圖知，若在此區(qū)間上任取子區(qū)間，需分成0，2，2，8兩部分完成.在區(qū)間0，2上任取一子區(qū)間， +，則面積微元 1=,在區(qū)間2，8上任取一子區(qū)間， +， 則面積微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 顯然，解法一優(yōu)于解法二。因此作題時(shí)，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，盡量使計(jì)算方便.(2) 如圖，利用極坐標(biāo)計(jì)算.的變化區(qū)間為，則面積微元 =, 于是所求圖形的面積為=2,利用對(duì)稱性，得 =4=2=2（+）=,事實(shí)上，表示一個(gè)半徑為的圓.面積 =是正確的.小結(jié) 計(jì)算面積時(shí)要注意：（1） 適當(dāng)選擇坐標(biāo)系，以便簡(jiǎn)化計(jì)算.如題（2）若采用直角坐標(biāo)系計(jì)算就比較麻煩.一般地曲邊梯形宜

5、采用直角坐標(biāo)系，曲邊扇形宜采用極坐標(biāo)系.（2）要考慮圖形的對(duì)稱性.（3）積分區(qū)間盡量少分塊.2求旋轉(zhuǎn)體體積的方法例2 求由曲線, 直線 ,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解 先畫圖形，因?yàn)閳D形繞軸旋轉(zhuǎn)，所以取為積分變量，的變化區(qū)間為1,4，相應(yīng)于1，4上任取一子區(qū)間,+的小窄條，繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為，底面積為的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為 =, 于是，體積 =1616=12.小結(jié) 求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，第一要明確形成旋轉(zhuǎn)的平面圖形是由哪些曲線圍成，這些曲線的方程是什么；第二要明確圖形繞哪一條坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線旋轉(zhuǎn),正確選擇積分變量，寫出定積分的表達(dá)式及積分上下限.3 求

6、曲線的弧長(zhǎng)的方法例3(1)求曲線 上從0到3一段弧的長(zhǎng)度,(2)求圓的漸開線方程 ,上相應(yīng)于從0到的一段弧的長(zhǎng)度.解(1) 由公式 = （）知,弧長(zhǎng)為=.(2) 因?yàn)榍€方程以參數(shù)形式給出，所以弧微元為 ,=, = ,故 =,故所求弧長(zhǎng)為=.4求變力做功的方法例4 設(shè)有一彈簧，假定被壓縮0.5cm時(shí)需用力1N（牛頓）,現(xiàn)彈簧在外力的作用下被壓縮3cm，求外力所做的功.解 根據(jù)胡克定理，在一定的彈性范圍內(nèi)，將彈簧拉伸（或壓縮）所需的力與伸長(zhǎng)量（壓縮量）成正比，即= （為彈性系數(shù)）按假設(shè) 當(dāng) =0.005m時(shí) ，=1N， 代入上式得 =2N/m,即有=200,所以取為積分變量，的變化區(qū)間為0，0.

7、03，功微元為 =200,于是彈簧被壓縮了3cm時(shí)，外力所做的功為=0.09（J）.5求液體對(duì)側(cè)面的壓力的方法例5 一梯形閘門倒置于水中，兩底邊的長(zhǎng)度分別為，（）,高為，水面與閘門頂齊平，試求閘門上所受的壓力.解 取坐標(biāo)系如圖所示,則的方程為 , 取水深為積分變量，的變化區(qū)間為0，在0，上任取一子區(qū)間， +，與這個(gè)小區(qū)間相對(duì)應(yīng)的小梯形上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)= (為水的比重), 小梯形上所受的水壓力=()=2（）小梯形上所受的總壓力為=2=2=2（）=（）.三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵是如何應(yīng)用微元法，解決一些實(shí)際問題，這也是本章的難點(diǎn).2首先要弄清楚哪種量可以用積分表達(dá)，即用微元法來求它，所求的量必須滿足 （1）與分布區(qū)間有關(guān)，且具有可加性；（2）分布不均勻，而部分量可以表示出來.3用微元法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是如何定出部分量的近似表達(dá)式，即微元.如面積微元，功微元.微元一般是部分量的線性主部，求它雖有一定規(guī)律，可以套用一些公式，但我們不希望死套公式，而應(yīng)用所學(xué)知識(shí)學(xué)會(huì)自己去建立積