二項式定理典型例題

1、高考數(shù)學專題復習二項式定理練習題1. 在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決解：二項式的展開式的通項公式為：前三項的得系數(shù)為：，由已知：，通項公式為為有理項，故是4的倍數(shù)，依次得到有理項為說明：本題通過抓特定項滿足的條件，利用通項公式求出了r的取值，得到了有理項類似地，的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有系數(shù)和為2.（1）求展開式中的系數(shù)；（2）求展開式中的常數(shù)項分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉化為二項式展開的問題，（1）可以視為兩個二項展開式相乘；（

2、2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉化為二項式解：（1）展開式中的可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：用展開式中的常數(shù)項乘以展開式中的項，可以得到；用展開式中的一次項乘以展開式中的項可得到；用中的乘以展開式中的可得到；用 中的項乘以展開式中的項可得到，合并同類項得項為：（2）由展開式的通項公式，可得展開式的常數(shù)項為說明：問題（2）中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決這時我們還可以通過合并項轉化為二項式展開的問題來解決3. 求展開式中的系數(shù)分析：不是二項式，我們可以通過或把它看成二項式展開解：方法一： 其中含的項為含項的系數(shù)為6方法二：其中含的項為項的系數(shù)為6方法3：本題還可通過把看成6個相乘，每

3、個因式各取一項相乘可得到乘積的一項，項可由下列幾種可能得到5個因式中取x，一個取1得到3個因式中取x，一個取，兩個取1得到1個因式中取x，兩個取，三個取1得到合并同類項為，項的系數(shù)為64.求證：（1）；（2）分析：二項式系數(shù)的性質實際上是組合數(shù)的性質，我們可以用二項式系數(shù)的性質來證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值解決這兩個小題的關鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項變化的等數(shù)固定下來，從而使用二項式系數(shù)性質解：（1）左邊 右邊（2）左邊 右邊說明：本題的兩個小題都是通過變換轉化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質求解此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項

4、式定理才能完成，所以需仔細觀察，我們可以看下面的例子：求的結果仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與的展開式接近，但要注意： 從而可以得到：5.利用二項式定理證明：是64的倍數(shù)分析：64是8的平方，問題相當于證明是的倍數(shù)，為了使問題向二項式定理貼近，變形，將其展開后各項含有，與的倍數(shù)聯(lián)系起來解：是64的倍數(shù)說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復雜的指數(shù)式除以一個數(shù)的余數(shù)8.若將展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為（）A11B33C55D66分析：看作二項式展開解：我們把看成，按二項式展開，共有“項”，即這時，由于“和”中各項的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式展

5、開，不同的乘積（）展開后，都不會出現(xiàn)同類項下面，再分別考慮每一個乘積（）其中每一個乘積展開后的項數(shù)由決定，而且各項中和的指數(shù)都不相同，也不會出現(xiàn)同類項故原式展開后的總項數(shù)為，應選D9.若的展開式的常數(shù)項為，求分析：題中，當時，把三項式轉化為；當時，同理然后寫出通項，令含的冪指數(shù)為零，進而解出解：當時，其通項為，令，得，展開式的常數(shù)項為；當時，同理可得，展開式的常數(shù)項為無論哪一種情況，常數(shù)項均為令，以，逐個代入，得10.的展開式的第3項小于第4項，則的取值范圍是_分析：首先運用通項公式寫出展開式的第3項和第4項，再根據(jù)題設列出不等式即可解：使有意義，必須；依題意，有，即（）解得的取值范圍是應填：

6、11.已知的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為，這三項是第幾項？若展開式的倒數(shù)第二項為，求的值解：設連續(xù)三項是第、項（且），則有，即，所求連續(xù)三項為第、三項又由已知，即兩邊取以為底的對數(shù)，或說明：當題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關系時，常利用二項式通項，根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進行求解12.的展開式中第項與第項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項分析：根據(jù)已知條件可求出，再根據(jù)的奇偶性；確定二項式系數(shù)最大的項解：，依題意有的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為設第項系數(shù)最大，則有或（）系婁最大的項為：，說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質，為奇數(shù)時

7、中間兩項的二項式系數(shù)最大，為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得13.設()，若其展開式中關于的一次項的系數(shù)和為，問為何值時，含項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值分析：根據(jù)已知條件得到的系數(shù)關于的二次表達式，然后利用二次函數(shù)性質探討最小值問題解：，或，或時，項系數(shù)最小，最小值為說明：二次函數(shù)的對稱軸方程為，即，由于、距等距離，且對，、距最近，所以的最小值在或處取得14.若，求(1) ；(2) ；(3) 解：(1)令，則，令，則(2)令，則由得：(3)由得：說明：（1）本解法根據(jù)

8、問題恒等式特點來用“特殊值”法這是一種重要的方法，它適用于恒等式(2)一般地，對于多項式，的各項的系數(shù)和為：的奇數(shù)項的系數(shù)和為的偶數(shù)項的系數(shù)和為18.在的展開式中的系數(shù)為（）A160B240C360D800分析：本題考查二項式定理的通項公式的運用應想辦法將三項式轉化為二項式求解解法1：由，得再一次使用通項公式得，這里，令，即所以，由此得到的系數(shù)為解法2：由，知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項為，的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項為因此原式中的系數(shù)為解法3：將看作個三項式相乘，展開式中的系數(shù)就是從其中一個三項式中取的系數(shù)，從另外個三項式中取常數(shù)項相乘所得的積，即應選B19.已知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_

9、分析：利用二項式的通項公式解：在的展開式中，通項公式為根據(jù)題設，所以代入通項公式，得根據(jù)題意，所以應填：20.若，求證明：能被整除分析：考慮先將拆成與的倍數(shù)有關的和式，再用二項式定理展開解：，均為自然數(shù)，上式各項均為的整數(shù)倍原式能被整除說明：用二項式定理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將某項湊成與除數(shù)有關的和式，再展開證之該類題也可用數(shù)學歸納法證明，但不如用二項式定理證明簡捷21.已知的展開式各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項分析：先由條件列方程求出(1)需考慮二項式系數(shù)的性質；(2)需列不等式確定解：令得展開式的各項系數(shù)之和為，而展開式的二項式系數(shù)的和為，有(1)，故展開式共有，其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項，(2)設展開式中第項的系數(shù)最大，故有即解得，即展開式中第項的系數(shù)最大說明：展開式中二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項是兩個不同的概念，因此其求法亦不同前者用二項式系數(shù)的性質直接得出，