分段函數(shù)的幾種常見題型及解法

1、復(fù)習(xí)教案：分段函數(shù)的幾種常見題型及解法數(shù)學(xué)組分段函數(shù)的幾種常見題型及解法【關(guān)鍵詞】 分段函數(shù); 定義域; 值域或最值; 函數(shù)值; 解析式; 圖像; 反函數(shù); 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù).它是一類表達(dá)形式特殊的函數(shù),是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要函數(shù)模型。分段函數(shù)有關(guān)問題蘊(yùn)含著分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法.它是一個(gè)函數(shù), 卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù); 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集, 其值域也是各段函數(shù)值域的并集. 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用, 時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng),

2、對(duì)于分段函數(shù)類型的求解不少同學(xué)感到困難較多， 筆者就幾種具體的題型做了一些思考, 解析如下：1 求分段函數(shù)的定義域和值域分段函數(shù)的定義域?yàn)槊恳欢魏瘮?shù)定義域的并集,在表示每一段函數(shù)中x的取值范圍時(shí),要確保做到定義域不重不漏,即交集為空集, 并集為整個(gè)定義域.值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。例1求函數(shù)的定義域和值域例1求函數(shù)的定義域、值域. 【解析】作圖, 利用“數(shù)形結(jié)合”易知的定義域?yàn)? 值域?yàn)? 例5求函數(shù)的值域。 解：因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，x2+11；當(dāng)x<0時(shí)，-x2<0。 所以，原函數(shù)的值域是1,+)(-,0)。 注：分段函數(shù)的值域求解，只要分別求出各部分的值域

3、，再取其并集即可。 2 求分段函數(shù)的函數(shù)值在求分段函數(shù)的值時(shí)，一定首先要判斷屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式例1、（遼寧理）設(shè)則_2、（2006山東）設(shè)則 A.0 B.1 C.2 D.33、 已知 ，若記為的反函數(shù)，且則 .4 、設(shè) 則 ( ） A. B. C. D.5、 已知?jiǎng)t的值為 .4（05年浙江理）已知函數(shù)求. 【解析】因?yàn)? 所以. 例1 已知函數(shù) 求fff(a) (a<0)的值。分析 求此函數(shù)值關(guān)鍵是由內(nèi)到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1, , , 所以，。 注：求分段函數(shù)值的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值代入相應(yīng)的函數(shù)段 3求分

4、段函數(shù)的最值例3求函數(shù)的最大值. 【解析】當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), , 綜上有. 例4設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,xR, 求f(x)的最小值。 分析：因?yàn)樵瘮?shù)可化為 所以，只要分別求出其最小值，再取兩者較小者即可。 解：當(dāng)x<a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-x+a+1, 所以若，則函數(shù)f(x)在(-,a上單調(diào)遞減，從而f(x)在(-,a上的最小值為f(a)=a2+1。 若，則函數(shù)f(x)在(-,a上的最小值為，且； 當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)； 若，則函數(shù)f(x)在a,+)上的最小值為，且。 若，則函數(shù)f(x)在a,+)上的最小值為f(a)=a2+1。 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)

5、的最小值是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是。 (2005上海高考題)對(duì)定義域分別是的函數(shù).規(guī)定：函數(shù)（I）若函數(shù)，寫出函數(shù)的解析式；（II）求問題（I）中函數(shù)的最大值；注：分段函數(shù)的最值求解的方法是先分別求出各段函數(shù)的最值，再進(jìn)行大小比較，從而達(dá)到求解的目的。 4求分段函數(shù)的解析式例4在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個(gè)單位, 再沿軸向上平移1個(gè)單位, 所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）, 則函數(shù)的表達(dá)式為（ ）【解析】當(dāng)時(shí), , 將其圖象沿軸向右平移2個(gè)單位, 再沿軸向下平移1個(gè)單位, 得解析式為,

6、所以, 當(dāng)時(shí), , 將其圖象沿軸向右平移2個(gè)單位, 再沿軸向下平移1個(gè)單位, 得解析式, 所以, 綜上可得, 故選A. 5作分段函數(shù)的圖像例5函數(shù)的圖像大致是（ ） 例9已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|的圖象與直線y=a有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，求a的值。 解： f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|, 由圖象易知a=4。 注：此題可以根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性直接畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求出，不用寫出函數(shù)解析式，更簡單。6求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知是定義在上的奇函數(shù), 且當(dāng)時(shí), , 設(shè)得反函數(shù)為, 求的表達(dá)式. 【解析】設(shè), 則, 所以, 又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù), 所以,

7、 且, 所以, 因此, 從而可得. 注 ：求分段函數(shù)的反函數(shù)只要分別求出其反函數(shù)即可。 7判斷分段函數(shù)的奇偶性例7判斷函數(shù)的奇偶性. 【解析】當(dāng)時(shí), , , 當(dāng)時(shí), , 當(dāng), , 因此, 對(duì)于任意都有, 所以為偶函數(shù). 注：分段函數(shù)的奇偶性必須對(duì)x的值分類，從而比較f(-x)與f(x)的關(guān)系，得出f(x)是否是奇偶函數(shù)的結(jié)論。 8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8判斷函數(shù)的單調(diào)性. 【解析】顯然連續(xù). 當(dāng)時(shí), 恒成立, 所以是單調(diào)遞增函數(shù), 當(dāng)時(shí), 恒成立, 也是單調(diào)遞增函數(shù), 所以在上是單調(diào)遞增函數(shù); 或畫圖易知在上是單調(diào)遞增函數(shù). 注：分段函數(shù)的單調(diào)性的討論必須對(duì)自變量的值分類討論。 例9寫出函數(shù)的

8、單調(diào)減區(qū)間. 【解析】, 畫圖易知單調(diào)減區(qū)間為. 9解分段函數(shù)的方程1、.函數(shù)f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)根，那么a滿足A.a<0B.0a<1C.a=1D.a>12、設(shè)定義為R的函數(shù)則關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的充要條件是 （ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且3、設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間上，只有. （）試判斷函數(shù)的奇偶性； （）試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.例10（01年上海）設(shè)函數(shù), 則滿足方程的的值為 【解析】若, 則, 得, 所以（舍去）, 若, 則, 解得, 所以即為所求. 10解分段函數(shù)的不等式2已知，則不等式的解集是

9、_3、（山東理）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為(A)（1，2）（3，+）(B)（，+）(C)（1，2） （ ，+）(D)（1，2）4、 設(shè)(x)=，使所有x均滿足x·(x)(x)的函數(shù)g(x)是（ ）A(x)=sinx B(x)=x C(x)=x2 D(x)=|x|例11設(shè)函數(shù), 若, 則得取值范圍是（ ） 【解析1】首先畫出和的大致圖像, 易知時(shí), 所對(duì)應(yīng)的的取值范圍是. 【解析2】因?yàn)? 當(dāng)時(shí), , 解得, 當(dāng)時(shí), , 解得, 綜上的取值范圍是. 故選D. 例12設(shè)函數(shù), 則使得的自變量的取值范圍為（ ）A B. C. D. 【解析】當(dāng)時(shí), , 所以, 當(dāng)時(shí), , 所以, 綜