18.一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(提高)知識講解

1、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解一次函數(shù)的概念，理解一次函數(shù)y kx b的圖象與正比例函數(shù) y kx的圖象之間的關(guān)系；2 .能正確畫出一次函數(shù) y kx b的圖象.掌握一次函數(shù)的性質(zhì).利用函數(shù)的圖象解決與一次函數(shù)有關(guān)的問題，還能運用所學(xué)的函數(shù)知識解決簡單的實際問題.3 .對分段函數(shù)有初步認(rèn)識，能運用所學(xué)的函數(shù)知識解決實際問題.【要點梳理】要點一、一次函數(shù)的定義一般地，形如y kx b （k, b是常數(shù)，k0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).要點詮釋：當(dāng)b=0時，y kx b即y kx ,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的定義是根據(jù)它的解析式的形式特征給出的，要注意其中對常

2、數(shù) k, b的要求,一次函數(shù)也被稱為線性函數(shù) .要點二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1 .函數(shù)y kx b （k、b為常數(shù)，且k0）的圖象是一條直線；當(dāng)b>0時，直線y kx b是由直線y kx向上平移b個單位長度得到的；當(dāng)b<0時，直線y kx b是由直線y kx向下平移| b|個單位長度得到的.2 .一次函數(shù)y kx b （k、b為常數(shù)，且k0）的圖象與性質(zhì):解析式7=辰+3 （小為常數(shù)，且上# 口）自變量取值范圉形狀全體實數(shù)過占）和（-士，0）點的一條亙線k、h的取值b >0文口不扇圖< <0.tk<0i（t "力0）11 > Q bCh位苴S

3、52一、象限經(jīng)過一、二、四象限經(jīng)過一、二、四象限經(jīng)過二、三、四象限趨勢函數(shù)變化規(guī)律從左向右上升從左向右下降少隨工的增大而噌大衛(wèi)隨M的噌大而減小3 . k、b對一次函數(shù)y kx b的圖象和性質(zhì)的影響:k決定直線y kx b從左向右的趨勢，b決定它與y軸交點的位置，k、b 一起決定直線y kx b經(jīng)過的象限.4 .兩條直線11： y k1x b和l2： y k2x b2的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：（1） k1 k211 與 I2 相交；（2） k1 k2,且 b1 b211 與 I2 平行；【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式】要點三、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一

4、次函數(shù)y kx b （ k , b是常數(shù)，kw0）中有兩個彳f定系數(shù) k, b,需要兩個獨立條件確定兩個關(guān)于 k, b的方程，這兩個條件通常為兩個點或兩對x , y的值.要點詮釋：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數(shù)法.由于一次函數(shù)y kx b中有k和b兩個待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時需要根據(jù)兩個條件列二元一次方程組（以k和b為未知數(shù)），解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式 .要點四、分段函數(shù)對于某些量不能用一個解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，因此得到的函數(shù)是形式比較復(fù)雜的分段函數(shù).解題中要注意解析

5、式對應(yīng)的自變量的取值范圍，分段考慮問題 .要點詮釋：對于分段函數(shù)的問題，特別要注意相應(yīng)的自變量變化范圍.在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍.【典型例題】類型一、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式1、（1）已知直線y kx b（k 0）,與直線y 2x平行，且與y軸的交點是（0, 2）,則直線解析式為 .（2）若直線y kx b（k 0）與y 3x 1平行，且同一橫坐標(biāo)在兩條直線上對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)相差 1個單位長度，則直線解析式為 .【思路點撥】（1） 一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象平行，則比例系數(shù)k相同，再找一個條件求b即可，而題中給了圖象過（0, 2）點，可用待定系數(shù)法求 b. （2）題

6、同樣比例系 數(shù)k相同，注意同一橫坐標(biāo)在兩條直線上對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)相差一個單位長度有兩種情況， 都要考慮到.【答案】（1） y 2x 2； （2） y 3x 2或 y 3x.【解析】（1）因為所求直線與y 2x平行，所以y 2x b,將（0, 2）代入，解得b =2,所以 y 2x 2.由題意得k = 3,假設(shè)點（1, 4）在y 3x 1上面，那么點（1, 5）或（1, 3）在直線y 3x b上，解得b =2或b =0.所求直線為y 3x 2或y 3x.【總結(jié)升華】互相平行的直線k值相同.舉一反三：【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例 2【變式1】一次函數(shù)交y軸于點A (0, 3)

7、,與兩軸圍成的三角形面積等于6,求一次函數(shù)解析式.【答案】解：Q A 0, 3 , OA 3.1 -Q SaaobOA OB,21 八- 6 - 3 OB2OB 4B 4,0 或 B 4,0 .設(shè)一次函數(shù)的解析式為 y kx 3.3當(dāng)過 B 4,0 時，4k 3 0 - k 3 ；4,一3當(dāng)過 B 4,0 時，4k 3 0 k ；43 3所以，一次函數(shù)的解析式為y3x3或y±x3.4 4【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例3】【變式2】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知兩點 A( 1, 0), B( 2, 3),在y軸上求作一點P,使AP+ BP最短，并求出點 P的坐標(biāo).

8、解：作點A關(guān)于y軸的對稱點為【答案】A 1,0，連接AB,與y軸交于點 巳點P即為所求.Q直線AB過A1,0 ,B設(shè)直線AB的解析式為yAB的解析式為:x 1 ,它與y軸交于P(0,2kb 31).類型二、一次函數(shù)圖象的應(yīng)用2、李明騎自行車去上學(xué)途中，經(jīng)過先上坡后下坡的一條路段，在這段路上所走的路程 S （米）與時間t （分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如 圖所示.根據(jù)圖象，解答下列問題：（1） 求李明上坡時所走的路程G （米）與時間t （分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式和下坡時所走的路程S2（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2） 若李明放學(xué)后按原路返回，且往返過程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同， 問

9、李明返回時走這段路所用的時間為多少分鐘？【思路點撥】由圖象可知，上坡時，路程是時間的正比例函數(shù)， 根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點（6,900）, 可以確定函數(shù)解析式； 下坡時，路程是時間的一次函數(shù)， 根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點（6,900）,（10, 2100）,可以求出函數(shù)解析式.【答案與解析】解：設(shè)6 kit,由已知圖象經(jīng)過點（6 , 900）,得900= 6 ki .解得ki = 150.所以 ' =150t （0 < t < 6）.設(shè)立 k2t b ,由已知圖象經(jīng)過點 （6, 900）, （10, 2100）,6k2 b10k2 b900，解得2100.k2 b300900所以 S2

10、= 300t - 900(6<t < 10).（3） 李明返回時所用的時間為(2100900)+(900 +6) + 900+ (2100 900)+(10 6) =8+3= 11(分鐘).因此，李明返回時所用的時間為11分鐘.【總結(jié)升華】從圖象中獲得點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.注意放學(xué)途中上坡路程和下坡路程分別是上學(xué)時下坡路程和上坡路程.類型三、一次函數(shù)的性質(zhì)【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例4】3、已知自變量為x的一次函數(shù)y a x b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則(？)A . a >0, b < 0 B . a<0,

11、b >0 C . a<0, b < 0 D . a > 0, b > 0 【答案】C;【解析】 原函數(shù)為y ax ab ,因為圖象經(jīng)過二、三、四象限，則 a <0, ab <0,解得a <0, b v0.【總結(jié)升華】 一次函數(shù)y kx b的圖象有四種情況：當(dāng)k >0, b >0,函數(shù)y kx b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)k >0, b < 0,函數(shù)y kx b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限， y的值隨x的 值增大而增大；當(dāng)k < 0, b>0時，函數(shù)y kx b的圖象經(jīng)過第一、二、四象

12、限， y的值隨x 的值增大而減?。划?dāng)k <0, b <0時，函數(shù)y kx b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y的值隨x 的值增大而減小.舉一反三【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例5】).CA.BD【變式1】直線11 ： y kx b與直線l2 ： y bx k在同一坐標(biāo)系中的大致位置是（提示：對于A,從li看k <0, b<0,從12看b V0, k >0,所以k , b的取值自相矛盾，排除掉 A.對于B,從11看k>0, b<0,從12看b>0, k>0,所以k, b的取值自相矛盾，排除掉B. D答案同樣是矛盾的，只有 C答案

13、才符合要求.【變式2】直線11和直線12在同一直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.點P（xi,y1）在直線11上，X2*3貝1 （）點P3（X3, 丫3）在直線12上，點P2（X2,y2）為直線11、L的交點.其中 X2 X1 ,ay1y2y3 b . yy1y c .y3y2y1d .y2y1y3【答案】A;提示：由于題設(shè)沒有具體給出兩個一次函數(shù)的解析式，因此解答本題只能借助于圖象.觀察直線11知，y隨x的增大而減小，因為 X2 X1,則有 y y1；觀察直線y2y3 .12知，y隨x的增大而增大，因為 X2 X3,則有 y y3 .故y1類型四、一次函數(shù)綜合【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例7】4、已知一次函數(shù) y kx b(k 0)的圖象過點P(1, 1),與x軸交于點A,與y軸交于點B ,且OA 3OB ,求點A的坐標(biāo).【答案與解析】解：由題意得，A b, 0 ,B 0, b ,則OAk,OBQOA 3OBQ 一次函