關于假設檢驗兩類錯誤的課程設計報告

1、南京理工大學應用統(tǒng)計學假設檢驗 課程設計報告 課程名稱 課程設計 年 級 2013級 專 業(yè) 應用統(tǒng)計專業(yè) 學生姓名 xxx 成 績： 一引言 假設檢驗是一種實際應用非常廣泛的統(tǒng)計推斷方法，它是從對總體參數或總體的分布函數，相互關系等所作的某種假設開始，在假設成立的條件下構造出一種與假設有關且具有已知分布的統(tǒng)計量，進而通過樣本提供的信息，在一定的概率把握前提下，對所作的假設進行檢驗，以作出接受或拒絕假設的判斷或決策。假設檢驗在人們生活中已經有了廣泛的應用，它的意義也是巨大的。比如，在審計工作的實質性測試中，審計人員有時須形成賬戶余額或交易數值錯報金額的判斷，此過程中統(tǒng)計分析方法有其獨到用處。在

2、審計實際工作及有關審計文獻中，較多關注與使用的是對被審計單位相關經濟指標的參數估計法，而本文針對賬面余額與審計金額間的差異提出了新的統(tǒng)計檢驗方法假設檢驗。從實證結果看，利用假設檢驗不僅可以檢驗審計人員的判斷是否準確，還能度量審計人員做出錯誤結論的風險，有利于審計人員對審計事項的整體把握，提高工作效率。 1假設檢驗的分類： 雙側假設檢驗：在關于假設的檢驗中，當統(tǒng)計量Z的觀測值的絕對值大于臨界值時，拒絕原假設，由于這里的拒絕域分別位于接受域的兩側，因此稱這類假設檢驗為雙側檢驗。 單側假設檢驗：相應的將拒絕域只位于一側的假設檢驗稱為單側假設檢驗。 2假設檢驗的基本思想：小概率原理小概率事件在一次試驗

3、中基本不會發(fā)生。 假設檢驗中最關鍵的步驟就是要構造檢驗統(tǒng)計量，并利用該統(tǒng)計量給出拒絕域，拒絕域的形式一般就是檢驗統(tǒng)計量的取值范圍，完成這一步驟的基本的統(tǒng)計思想就是小概率原理，即小概率事件在一次試驗中基本不會發(fā)生。在原假設正確的條件下，合理的構造小概率事件W，再根據一次試驗的結果考察W有沒有出現，若W出現，則說明原假設正確的前提有問題，因為在這一前提下，根據小概率原理，W作為小概率事件是本來不應該出現的，因此W的出現便否定了；若W沒有出現，則沒有理由認為不正確。 這種推理方法可以說是一種“反證法”，但這種“反證法”使用的不是純數學中的邏輯推理，不同于一般的反證法，一般的反證法要求在原假設成立的條

4、件下導出的結論是絕對成立的，如果事實與之矛盾，那么完全絕對的否定原假設。而這里的“反證法”是帶概率性質的反證法，它的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗中發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設。而這里的“小概率”則需要事先給定，一般記為，是很小的正數，通常取為0.01，0.05,0.1，在這里稱之為顯著性水平。我們記為在成立的條件下事件A的概率，同樣地，記為在成立的條件下事件A 的概率，則對拒絕域W應該有： 3 假設檢驗的基本原理： 假設檢驗的最基本原理是顯著性原理，是根據樣本觀測值來判斷是否有顯著差異，這個差異是由兩種可能因素引起的，一是系統(tǒng)性因素，一是偶然性因素。問題的關鍵在于：這個差異是否可以僅

5、以偶然性這個因素去解釋，也就是說是否有充分的理由去否定這種解釋。如果有，就否定原假設，如果沒有，就只能接受它。 4假設檢驗的一般步驟：1 根據研究問題的需要提出原假設和備擇假設，而提出原假設應本著“保守”或“不輕易拒絕原假設”的原則。通常原假設代表一種久已存在的狀況，故我們往往把有把握的、不輕易否定的命題作為原假設，其表達式需包括等號在內；而備擇假設反映一種改變，故我們往往把沒有把握的、不輕易肯定或需要強有力支持的命題（希望證實的假設）作為備擇假設。2 找出檢驗的統(tǒng)計量及其分布。提出假設以后，要作出拒絕還是接受原假設的決定。需根據樣本提供的信息，從概率意義上來判斷。由于樣本所含信息較為分散，因

6、此需要構造一個檢驗的統(tǒng)計量來判斷，許多因素（如總體是否服從正態(tài)分布；樣本容量的大?。槐粰z驗的參數是什么；總體的方差是否已知等）決定了如何構造統(tǒng)計量，統(tǒng)計量服從什么樣的精確（或漸進）分布。3 規(guī)定顯著性水平，確定臨界值、拒絕域。根據檢驗統(tǒng)計量的分布和顯著性水平可以得到檢驗的臨界值和拒絕域；4 根據實測的樣本值，具體計算出所用統(tǒng)計量的值。5 做出拒絕或接受原假設的判斷。若統(tǒng)計量的值落在拒絕域內，說明樣本描述的情況和原假設有顯著差異，應拒絕原假設而接受備擇假設；反之，若統(tǒng)計量的值落在接受域內，則接受原假設而拒絕備擇假設。 5假設檢驗的兩類錯誤： 假設檢驗中也存在犯兩類錯誤的可能。其中，由于犯第二類錯

7、誤的概率（記為）與總體參數的真實水平有關， 因而對它的研究和討論一直停留在理論上，難以在實踐中實現對它的控制。郭寶才（2010）、勵晶晶（2010）等都對該問題展開過有益的討論，但未能提出實際可行的控制方法。本文對于兩類錯誤的成因以及如何控制第二類錯誤進行了探討，希望對于第二類錯誤的控制提出一些解決的方法，本文主要針對單總體參數的假設檢驗來討論，涉及樣本均為簡單隨機樣本。同時，兩類錯誤與勢函數的關系十分密切，這也將是本文討論的一個方面。二兩類錯誤的定義 在假設檢驗中對原假設的真?zhèn)巫髋袛鄷r，如果我們給出了某個檢驗法則，也即給出了樣本空間的一個劃分與。當我們拒絕了原假設時，是因為在一次試驗中小概率

8、事件發(fā)生了，即樣本值落入拒絕域內了；當我們接受原假設時，是因為我們還不能從概率意義上找到拒絕它的依據(樣本值落入拒絕域)了。然而，由于樣本本身具有隨機性，因而當我們利用樣本信息進行推斷時，有可能犯以下兩類錯誤： 第一類(拒真)錯誤：當原假設為真時，而樣本值卻落入拒絕域內了，按照檢驗法則應拒絕。這時，我們把客觀上為真判為不真，稱這種錯誤為“第一類錯誤”或“拒真”錯誤。犯第一類錯誤的概率就是前面提及的小概率，即 第二類(采偽)錯誤：當原假設不真時，而樣本值落入了接受域內了，按照檢驗法則應接受。這時，我們把客觀上不真判為為真，稱這種錯誤為“第二類錯誤”或“采偽”錯誤。犯第二類錯誤的概率通常用表示，即

9、 為明確起見，將假設檢驗的兩類錯誤歸納在下表中。接受拒絕為真決策正確第一類（拒真）錯誤不真第二類（采偽）錯誤決策正確 犯第二類錯誤的概率計算比較復雜，它的數值跟參數的真值有關。三兩類錯誤的起因 第一類和第二類錯誤都是相對于假設而言的，下面通過一個例子來分別說明這兩類錯誤的起因。 例：一個公司有員工3000人，為了檢驗公司員工工資統(tǒng)計報表的真實性，研究者做了50人的大樣本隨機抽樣調查，人均收入的調查結果是：（樣本均值）=871元；S（標準差）=21元問能否認為統(tǒng)計報表中人均收入=880元的數據是真實的？（顯著性水平=0.05） 研究假設：調查數據871與報表數據880之間沒顯著差異，公司員工工資

10、均值的真實情況為880元。 :調查數據和報表數據之間有顯著性的差異，公司員工工資均值的真實情況不是880元。 完成以上統(tǒng)計檢驗遵循這樣的法則： A：樣本平均數的分布服從正態(tài)分布。如果被假設的真實情況880元確實為真，那么樣本平均數的區(qū)間估計為：，即874.18-885.82元； B：如果在這一次的抽樣調查中，樣本的平均數落在以上區(qū)間之內，那么就認為為真；反之，則拒絕。 C：由于在這次實際的抽樣調查中，樣本的平均數為871元，沒有超出以上估計區(qū)間，所以接受，即認為這個公司員工工資的實際平均數為880元。 從上面的邏輯和操作過程中，我們可以看到如下兩個方面的問題，正是由于這兩個問題分別產生了和錯誤

11、：第一個問題是，我們只抽了一個樣本，而個別的樣本可能是特殊的，不管抽樣多么符合科學抽樣的要求，理論上講，在3000個員工中隨機抽取50人作為調查樣本，有很多種構成樣本的可能性。如果一個樣本的平均數是880元，不代表任何一個樣本的平均數都是880元。按照正態(tài)分布理論，也有5%的樣本平均數不在874.18-885.82范圍之內，這樣的事件稱為小概率事件。由于實際上我們只做了一次調查，不知道是否這個樣本平均數就是小概率事件，如果這個調查的平均數超出了上述所說的范圍，而且是小概率事件發(fā)生的結果（由我們假設），并且根據小概率原理這樣的事件是基本不會發(fā)生的，那么我們必然要拒絕原假設，但是基本不會發(fā)生也就是

12、說還是可能發(fā)生，雖然錯誤發(fā)生的可能性比a小，但這樣的可能畢竟是存在的。也就是說當確屬為真時，檢驗統(tǒng)計量也有概率為的可能落人拒絕域，這一錯誤的概率就是，是為真的情況下計算出的統(tǒng)計量落入拒絕域的概率，這一概率也就是下圖陰影部分的面積。 第二個問題是，統(tǒng)計檢驗的邏輯犯了從結論推斷前提的錯誤。法則B是由法則A推斷出來的。即如果A是正確的，那么B可能是正確的。相反，如果結果B是真實的，A的正確與否我們還不能判斷。也就是說，如果一次調查的結果的樣本平均數落在上述區(qū)間之內，我們無法判斷所有員工平均工資為800元這一結論就是真。這就是第二類（納偽）錯誤出現的原因。也就是說，由于檢驗是在Ho：的前提下展開的，故

13、檢驗是在平均數為的正態(tài)分布中進行的，只要x落入接受域，就可能犯納偽錯誤，這一錯誤的產生不是以為為中心的正態(tài)曲線下在該區(qū)間的面積，不是，因為這時X實際所服從的是以（）為中心的正態(tài)分布，因此納偽錯誤的概率就是落入后者接受域的概率，這一概率就是所服從的以為中心的正態(tài)分布曲線下在該區(qū)間的面積，見下圖。 四第二類錯誤的計算 1.設總體X，且方差已知時，,其中； 當為真時，有 由于，則犯第二類錯誤的概率為但實際上為假，即，即，則因此2.方差已知時，；可知改檢驗問題的拒絕域為，類似的有： （1）3.均值未知，其中當為真時，有故第二類錯誤的概率為：4.均值未知時，；可知該檢驗問題的拒絕域為類似的有，S為樣本標

14、準差五如何控制犯“二類”錯誤 1. 兩類錯誤間的關系： 很多時候，我們只注意到了的選取，都認為犯第一類錯誤的概率越小越好，但這是不正確的，我們可以從上面的犯第二類錯誤的概率值看出，在其他條件都不變的情況下，越小，越大；反之，。例如（1）式，當越小時，越大，由于分布函數是單調遞增的，因此越小，越大。 2. 與第二類錯誤有關的因素： (1)與顯著性水平有關，越小，越大。即之間存在“此消彼長”的關系。 (2)與真實值有關。同理從(1)式看出，越大，越小。也就是說，的差異越明顯，犯第二類錯誤的概率越小。 (3)與樣本值n有關。顯然，其他不變時，n越大，越大，也將越小。并且，其他量一定時，隨著n的增大，

15、為使減小一個相同的絕對量，需要增加的n 將越來越大。同時也可以這樣理解，增加了樣本量之后，均數的抽樣誤差小，樣本均數的代表性強，也就是樣本均數較接近總體均數，因而可使犯第一和第二類錯誤的概率減少。 i.下面舉例，給定參數計算第一種情況的二類錯誤，并說明如何確定樣本量n。例：設，均值只取兩值之一，記為樣本容量為n(n=36)的樣本均值，檢驗假設 由于總體X服從正態(tài)分布，樣本均值，拒絕或接受取決于隨機變量(或)落在什么區(qū)間。我們把樣本空間劃分成互不相交的兩部分，若檢驗的法則規(guī)定：，即；接受。于是有 (2) (3) 假設n一定，欲使小，則由(2)式知應增大，由于是嚴格增函數，故要求C增大，但從(3)

16、式知，C增大也會隨之增大；反之，欲使小必會導致增大。 取=0.05，查正態(tài)分布表得臨界值 即 =63.742 犯第二類錯誤的概率為 顯然這個概率是相當大的。 在其他條件不變的情況下，如果要降低第二類錯誤的概率（=0.05），且保持=0.05不變，此時只能增大樣本容量。 由 易得： 即 查表得 則n=271 ii.下面舉例，給定參數計算第三種情況的第二類錯誤： 例：均值未知，樣本容量n=16，顯著性水平，考慮檢驗問題： 由上面的理論推導知，“取偽”概率 3. 具體說明在不同情況下樣本容量的選擇 (1)均值檢驗的樣本容量選擇 假設為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，樣本均值為，樣本容量為n，已知。 a

17、方差已知的情形。當方差已知時，重置抽樣下 若為真，；若為真，。 建立原假設為： ： 在這樣的假定下，有 其中，c為臨界值，經標準化后服從N(0,1),所以 根據上面兩式分別解出c，有 可查表求得，于是解之可得 同理，對于左側檢驗和雙側檢驗，樣本容量的確定公式分別為： 左側檢驗 雙側檢驗 b 方差未知的情況。當方差未知時，其中，S=。建立原假設為: ,于是，與方差已知時分析思路相同得到：由，因而可用來分別替代，那么因此，樣本容量確定公式為同理，對于左側檢驗和雙側檢驗，兩類錯誤條件下的樣本容量確定公式為：左側檢驗雙側檢驗 (2)方差檢驗的樣本容量選擇 建立原假設為： 當為真時，； 當為真時，。 于

18、是： 同時 因此 從而解得： 那么對于左側檢驗和雙側檢驗，兩類錯誤條件下的樣本容量確定公式分別為：左側檢驗雙側檢驗六勢函數(功效函數) 1.定義：設某檢驗問題的拒絕域為W，則樣本觀測值X落在拒絕域W內的概率稱為該檢驗的功效函數，記為，為原假設和備擇假設中的參數。 2.勢函數的計算： 方差已知時，,其中； = (2)方差已知時，； = (3) 均值未知，其中； = (4)均值未知時，； = 7. 控制犯“二類”錯誤的重要性及應用 在生活和生產中的許多方面都需要用到假設檢驗，用到假設檢驗就不得不考慮兩類錯誤，為了盡量同時減少兩類錯誤的發(fā)生，人們往往會通過增大樣本容量的方法達到目的。但是有的時候，增

19、大樣本容量反而會使試驗成本增加得不償失。因此在有些應用上，需要在第一類和第二類錯誤中做出選擇，盡可能的減少損失。下面是控制假設檢驗二類錯誤的理論在體育學中的應用。 如果知道運動員挫傷的自然治愈率為0.25，為了試驗一種外用新藥是或否有效，把它給10個運動員使用。我們事先規(guī)定一個決策規(guī)劃：若這10個病人中至少有4人治愈過程加快，則認為這種藥有效，提高了治愈率；反之，則認為無效。下面我們來計算一下: (1)雖然新藥有效，并把治愈率提高到了0.35，但通過試驗卻被否定的概率(即犯第一類錯誤的概率) (2)新藥完全無效，但通過檢驗卻被判斷為有效的概率（即犯第二類錯誤的概率）先來看(1)。在每次試驗中，

20、此人治愈加快(“成功”）的概率P=0.35，治愈速度不變（“失敗”）的概率為1-0.35=0.65.而且10個人的治愈加快與否可以認為彼此不影響，這樣可以認為此問題為貝努里模型的10重貝努里試驗。于是“否定新藥”這一事件等價于P=0.35時，“10個人中至少有3個人治好”這一事件，故所求概率為P（否定新藥）=就是說犯第一類錯誤的概率為0.5136.再來算犯第二類錯誤的概率，這時須注意的是，現在新藥實際上是無效的，因而治愈加快率是自然治愈率0.25，而不是0.35.因此我們不能把(2)中的“判斷新藥有限”當成是（1）中的“否定新藥”的對立事件，此時有P（判斷新藥有效）=如果我們把決策規(guī)則修改為“

21、若10個病人使用了新藥后至少有三個人治好了，則認為這種藥有效，它提高了治愈率；反之則認為無效”。這時由此例看到，當由0.5136減小至0.2615，反而由0.2241增至0.4744.我們在試驗中應該正確認識這種的辯證關系，根據具體情況來決定是否應該增大而減小。拿此例來說，我們知道藥品德效用是關系到人身健康的問題，因此，如果選擇增大，即新藥有效而被否定，犯了第一類錯誤，這是可能造成經濟上的損失，但不會危機人的生命。如果新藥無效而被肯定，則可能危機人的生命，也就是說，對于此類問題，應盡量減少犯第二類錯誤的概率8 結論 假設檢驗是統(tǒng)計學中十分關鍵的部分，為了更加精確的進行假設檢驗，我們就要考慮到兩類錯誤的發(fā)生，一類是“棄真”錯誤，一類是“納偽”錯誤。