隨機(jī)過(guò)程：第4章一般概率論

1、第四章第四章 一般概率論基礎(chǔ)一般概率論基礎(chǔ)本章內(nèi)容提要本章內(nèi)容提要有限概率空間有限概率空間無(wú)限概率空間無(wú)限概率空間定義定義可以寫出所有可能的結(jié)果可以寫出所有可能的結(jié)果不能寫出所有可能的結(jié)不能寫出所有可能的結(jié)果果概率測(cè)度概率測(cè)度（ ，P P）（ ，F(xiàn)，P）隨機(jī)變量隨機(jī)變量X: X: R RX: X: B B（R R中的開區(qū)間）中的開區(qū)間）分布分布取不同值的概取不同值的概率表述率表述期望期望LebesgueLebesgue積分積分條件期望條件期望EX|GEX|G2022-3-152CopyrightPei Zhang 2014)()()(PXXE1nnSE)(BXPBX4.1 一般概率論一般概率論

2、無(wú)限概率空間：無(wú)限概率空間： 隨機(jī)試驗(yàn)存在隨機(jī)試驗(yàn)存在無(wú)窮多個(gè)可能結(jié)果無(wú)窮多個(gè)可能結(jié)果 單位區(qū)間單位區(qū)間0，1中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù) 連續(xù)拋擲硬幣無(wú)窮多次連續(xù)拋擲硬幣無(wú)窮多次不能通過(guò)對(duì)樣本空間子集（事件）的不能通過(guò)對(duì)樣本空間子集（事件）的所有元素的概率求和來(lái)確定事件發(fā)生所有元素的概率求和來(lái)確定事件發(fā)生的概率。的概率。（因?yàn)槿魏我粋€(gè)特定結(jié)果出（因?yàn)槿魏我粋€(gè)特定結(jié)果出現(xiàn)的概率均為現(xiàn)的概率均為0）2022-3-153CopyrightPei Zhang 2014定義（定義（ -代數(shù)）代數(shù)） 設(shè)設(shè)為非空集合，為非空集合，F(xiàn)為為的的子集族子集族。則。則F是是一個(gè)一個(gè) -代數(shù)（代數(shù)（ - 域域

3、domain），如果：，如果：（1）空集）空集 屬于屬于F（2）只要）只要A屬于屬于F，則余集，則余集 也屬于也屬于F（3）只要一列集合）只要一列集合A1、 A2， 屬于屬于F，則，則并集并集 也屬于也屬于F。 對(duì)對(duì) -代數(shù)中的集合進(jìn)行任何運(yùn)算（有限并、代數(shù)中的集合進(jìn)行任何運(yùn)算（有限并、無(wú)限交、有限交、全空間），其結(jié)果仍在無(wú)限交、有限交、全空間），其結(jié)果仍在該該 -代數(shù)中代數(shù)中CA1nnA2022-3-154CopyrightPei Zhang 2014概率測(cè)度（無(wú)限空間）概率測(cè)度（無(wú)限空間） 定義：設(shè)定義：設(shè)為非空集合，為非空集合，F(xiàn)為為子集的一個(gè)子集的一個(gè) -代數(shù)。概率測(cè)度代數(shù)。概率測(cè)度P

4、是是F上的一個(gè)函數(shù)，它上的一個(gè)函數(shù)，它為每個(gè)集合為每個(gè)集合AF指定為指定為0,1中的一個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)P（A），稱為），稱為A的的概率概率。我們要求：。我們要求：（1）P（ ）=1（2）（可數(shù)可加性）設(shè)）（可數(shù)可加性）設(shè)A1、 A2是是F中互不中互不相交的集合，則相交的集合，則:稱（稱（ ，F(xiàn)，P）為）為概率空間概率空間11)()(nnnnAPAP2022-3-155CopyrightPei Zhang 2014例：勒貝格測(cè)度（例：勒貝格測(cè)度（L） 定義閉區(qū)間定義閉區(qū)間a,b的概率為：的概率為： 由閉區(qū)間生成的由閉區(qū)間生成的 -代數(shù)稱為代數(shù)稱為0,1的子集的子集的的Borel -代數(shù)代數(shù)，這一，

5、這一 -代數(shù)中的集合代數(shù)中的集合稱為稱為Borel集集。10 ,baabbaP2022-3-156CopyrightPei Zhang 2014例：無(wú)窮次獨(dú)立拋擲硬幣的空間例：無(wú)窮次獨(dú)立拋擲硬幣的空間 連續(xù)拋擲硬幣無(wú)窮多次，連續(xù)拋擲硬幣無(wú)窮多次，表示所有可能結(jié)果的集合。假設(shè)每次拋擲硬表示所有可能結(jié)果的集合。假設(shè)每次拋擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為幣出現(xiàn)正面的概率為p p，出現(xiàn)背面的概率為，出現(xiàn)背面的概率為q q，各次拋擲都是相互獨(dú)立的，如何建立這，各次拋擲都是相互獨(dú)立的，如何建立這一隨機(jī)試驗(yàn)的概率測(cè)度？一隨機(jī)試驗(yàn)的概率測(cè)度？的無(wú)窮序列和TH2022-3-157CopyrightPei Zhang 20

6、144.2 隨機(jī)變量和分布隨機(jī)變量和分布 定義：設(shè)定義：設(shè)（ ，F(xiàn)，P）是一個(gè)概率空間。）是一個(gè)概率空間。隨機(jī)變量隨機(jī)變量X是定義在是定義在上滿足以下性質(zhì)的上滿足以下性質(zhì)的實(shí)值函數(shù)：對(duì)于實(shí)值函數(shù)：對(duì)于R的任何的任何Borel子集子集B，下，下列列的子集：的子集：都在都在 -代數(shù)代數(shù)F中。中。 主要考慮主要考慮X取值在某一集合上的概率取值在某一集合上的概率)(;BXBX2022-3-158CopyrightPei Zhang 2014例：股票價(jià)格例：股票價(jià)格 無(wú)窮次獨(dú)立拋擲硬幣結(jié)果的空間：無(wú)窮次獨(dú)立拋擲硬幣結(jié)果的空間：, 4)(0STHS11128)(，如果，如果THS21212121416，如

7、果，如果，如果）（2022-3-159CopyrightPei Zhang 2014分布測(cè)度分布測(cè)度 設(shè)設(shè)X是（是（ ，F(xiàn)，P）上的一個(gè)隨機(jī)變量。）上的一個(gè)隨機(jī)變量。X的的分布（測(cè)度）分布（測(cè)度）是如下概率測(cè)度是如下概率測(cè)度 ： 對(duì)對(duì)R的的每一個(gè)每一個(gè)Borel子集子集B，指定質(zhì)量，指定質(zhì)量例如：如果例如：如果B=4，則，則如果如果B=2,5，則，則X)(BXPBX2022-3-1510CopyrightPei Zhang 2014pqBS2)(2pqBS2)(2 兩個(gè)不同的隨機(jī)變量可以有相同的分布兩個(gè)不同的隨機(jī)變量可以有相同的分布 同一隨機(jī)變量（在不同的概率測(cè)度下）同一隨機(jī)變量（在不同的概率

8、測(cè)度下）可以有不同的分布可以有不同的分布例：設(shè)例：設(shè)P是是0,1上的均勻測(cè)度。對(duì)所有上的均勻測(cè)度。對(duì)所有 ， 定義定義計(jì)算計(jì)算X和和Y的分布測(cè)度。的分布測(cè)度。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201411 1 , 01)(,)(YX例例1.2.5 構(gòu)造一個(gè)定義在無(wú)限次拋擲硬幣空間上，構(gòu)造一個(gè)定義在無(wú)限次拋擲硬幣空間上，取值在取值在0，1中的均勻分布隨機(jī)變量。假設(shè)中的均勻分布隨機(jī)變量。假設(shè)每次拋擲硬幣出現(xiàn)正面的概率每次拋擲硬幣出現(xiàn)正面的概率p=1/2。對(duì)于。對(duì)于n=1,2，我們定義：，我們定義：2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014124.3 4.

9、3 期望期望 設(shè)設(shè)X是定義在概率空間是定義在概率空間（ ，F(xiàn)，P）上）上的隨機(jī)變量，如果的隨機(jī)變量，如果是有限空間，定義是有限空間，定義X的的平均值平均值：如果如果是無(wú)限空間，可將是無(wú)限空間，可將EX定義為定義為無(wú)窮和無(wú)窮和：如果如果是不可數(shù)無(wú)限空間，如何定義期望？是不可數(shù)無(wú)限空間，如何定義期望？2022-3-15CopyrightPei Zhang 201413 PXEX1)(kkkPXEXRiemannRiemann積分積分 設(shè)設(shè)f(x)是閉區(qū)間是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，按照如上的連續(xù)函數(shù)，按照如下方式定義下方式定義Riemann積分積分：（1）將）將a,b劃分成子區(qū)間劃分成子區(qū)間x0,

10、x1, x1,x2, xn-1,xn,（2）定義）定義（3）定義黎曼上和、下和）定義黎曼上和、下和（4） 趨近于趨近于0，黎曼上和與下和收斂于，黎曼上和與下和收斂于同一極限，即黎曼積分，記為同一極限，即黎曼積分，記為2022-3-15CopyrightPei Zhang 201414)(max|11kknkxx|badxxf)(RiemannRiemann積分的局限性積分的局限性 自變量取值必須是實(shí)數(shù)集自變量取值必須是實(shí)數(shù)集 如果自變量取值不為實(shí)數(shù)集，如何對(duì)如果自變量取值不為實(shí)數(shù)集，如何對(duì)進(jìn)行劃分？進(jìn)行劃分？需要定義更一般意義上的積分需要定義更一般意義上的積分2022-3-15Copyrigh

11、tPei Zhang 201415Georg Friedrich Bernhard Riemann 德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣義獻(xiàn)，其中一些為廣義相對(duì)論的發(fā)展鋪平了相對(duì)論的發(fā)展鋪平了道路。他的名字出現(xiàn)道路。他的名字出現(xiàn)在黎曼在黎曼函數(shù)，黎曼積函數(shù)，黎曼積分，黎曼引理，黎曼分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理流形，黎曼映照定理，黎曼，黎曼-希爾伯特問(wèn)題希爾伯特問(wèn)題，黎曼思路回環(huán)矩陣，黎曼思路回環(huán)矩陣和黎曼曲面中。和黎曼曲面中。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201416黎曼猜

12、想黎曼猜想 黎曼黎曼 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上上 Re(s)=1/2 的直線上。也即方程的直線上。也即方程（s）的的非平凡零點(diǎn)非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是的實(shí)部都是0.5。 平凡零點(diǎn)：平凡零點(diǎn)：黎曼 函數(shù)在 s=-2n (n 為正整數(shù)） 取值為零。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201417Lebesgue積分積分（1）對(duì)）對(duì)“y軸軸”進(jìn)行劃分進(jìn)行劃分（2）定義分割）定義分割（3）定義）定義（4）定義）定義LebesgueLebesgue下和下和勒貝格積分：勒貝格積分：2022-3-15CopyrightPei Zhang 201418

13、)(;1kkkyXyA)()(dPXLebesgue積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)2022-3-15CopyrightPei Zhang 201419不可數(shù)無(wú)限空間的不可數(shù)無(wú)限空間的期望期望 設(shè)設(shè)X是定義在概率空間是定義在概率空間（ ，F(xiàn)，P）上的隨機(jī)變量。上的隨機(jī)變量。X的期望定義為：的期望定義為：2022-3-15CopyrightPei Zhang 201420)()()(dPXXE期望的性質(zhì)期望的性質(zhì)2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014212022-3-15CopyrightPei Zhang 201422如果構(gòu)造黎曼積分，結(jié)果會(huì)怎樣？如果構(gòu)造黎曼積分，結(jié)果會(huì)怎樣？黎

14、曼積分與勒貝格積分的比較（定理黎曼積分與勒貝格積分的比較（定理1.3.8）Lebesgue測(cè)度測(cè)度（無(wú)限概率空間上的概率測(cè)度）（無(wú)限概率空間上的概率測(cè)度）2022-3-15CopyrightPei Zhang 201423Borel可測(cè)可測(cè) 設(shè)設(shè)f（x）是定義在）是定義在R上的上的實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù)，對(duì)，對(duì)R的任一的任一Borel子集子集B，集合，集合x，f(x)B仍仍是是R的的Borel子集。子集。 Borel集上可以定義集上可以定義Lebesgue測(cè)度測(cè)度 本書中考慮的都是本書中考慮的都是Borel可測(cè)函數(shù)可測(cè)函數(shù) 任何連續(xù)函數(shù)以及分段連續(xù)函數(shù)都任何連續(xù)函數(shù)以及分段連續(xù)函數(shù)都Borel可測(cè)可

15、測(cè) Borel可測(cè)函數(shù)可以定義可測(cè)函數(shù)可以定義Lebesgue積分積分2022-3-15CopyrightPei Zhang 201424Borel可測(cè)的可測(cè)的Lebesgue積分積分2022-3-15CopyrightPei Zhang 201425指示函數(shù)指示函數(shù)2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014264.4 積分的收斂積分的收斂2022-3-15CopyrightPei Zhang 201427強(qiáng)大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律2022-3-15CopyrightPei Zhang 201428幾乎處處收斂幾乎處處收斂2022-3-15CopyrightPei Zhang

16、2014292022-3-15CopyrightPei Zhang 201430積分與極限交換次序積分與極限交換次序2022-3-15CopyrightPei Zhang 201431單調(diào)收斂定理的推論單調(diào)收斂定理的推論2022-3-15CopyrightPei Zhang 201432St. Petersburg 悖論悖論2022-3-15CopyrightPei Zhang 201433控制收斂定理控制收斂定理2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014344.5 期望的計(jì)算期望的計(jì)算2022-3-15CopyrightPei Zhang 201435證明：四步標(biāo)準(zhǔn)程式

17、證明：四步標(biāo)準(zhǔn)程式利用密度函數(shù)計(jì)算期望利用密度函數(shù)計(jì)算期望2022-3-15CopyrightPei Zhang 201436證明：四步標(biāo)準(zhǔn)程式證明：四步標(biāo)準(zhǔn)程式4.6 測(cè)度變換測(cè)度變換離散模型中的寫法不再有意義：離散模型中的寫法不再有意義：2022-3-15CopyrightPei Zhang 201437無(wú)限概率空間上的概率轉(zhuǎn)換無(wú)限概率空間上的概率轉(zhuǎn)換2022-3-15CopyrightPei Zhang 201438兩個(gè)概率測(cè)度的關(guān)系兩個(gè)概率測(cè)度的關(guān)系2022-3-15CopyrightPei Zhang 201439 采用真實(shí)概率或是風(fēng)險(xiǎn)中性概率，對(duì)于采用真實(shí)概率或是風(fēng)險(xiǎn)中性概率，對(duì)于

18、哪些可能，哪些不可能的看法并不改變哪些可能，哪些不可能的看法并不改變。 在一種概率下幾乎必然有效的對(duì)沖，在在一種概率下幾乎必然有效的對(duì)沖，在另一概率測(cè)度下也幾乎必然有效另一概率測(cè)度下也幾乎必然有效2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014402022-3-15CopyrightPei Zhang 2014412022-3-15CopyrightPei Zhang 201442真實(shí)概率、風(fēng)險(xiǎn)中性概率、真實(shí)概率、風(fēng)險(xiǎn)中性概率、Z Z具有顯示表達(dá)式具有顯示表達(dá)式2022-3-15CopyrightPei Zhang 201443形式記憶形式記憶2022-3-15Copyrigh

19、tPei Zhang 201444拉東拉東尼克蒂姆導(dǎo)數(shù)尼克蒂姆導(dǎo)數(shù)2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014452022-3-15CopyrightPei Zhang 2014462022-3-15CopyrightPei Zhang 201447在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下Y Y是標(biāo)準(zhǔn)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量正態(tài)分布隨機(jī)變量2022-3-15CopyrightPei Zhang 201448拉東拉東尼克蒂姆導(dǎo)數(shù)的存在性尼克蒂姆導(dǎo)數(shù)的存在性2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014494.7 無(wú)限概率空間的條件期望無(wú)限概率空間的條件期望問(wèn)題

20、的提出：?jiǎn)栴}的提出： 期權(quán)工具的動(dòng)態(tài)復(fù)制期權(quán)工具的動(dòng)態(tài)復(fù)制 隨著時(shí)間的推移，我們逐步縮小可能的隨著時(shí)間的推移，我們逐步縮小可能的范圍。范圍。（依信息分解）（依信息分解）例如：在三次拋擲硬幣試驗(yàn)中，我們知道例如：在三次拋擲硬幣試驗(yàn)中，我們知道第一次結(jié)果，或者知道第一次和第二次第一次結(jié)果，或者知道第一次和第二次的結(jié)果，我們可以得到一系列的結(jié)果，我們可以得到一系列信息集信息集2022-3-15CopyrightPei Zhang 201350依信息分解依信息分解2022-3-15CopyrightPei Zhang 201451域流（域流（filtrationfiltration）定義：定義： 設(shè)設(shè)

21、 是非空集合。是非空集合。T T是固定的正數(shù)，是固定的正數(shù)，并且對(duì)每一個(gè)并且對(duì)每一個(gè)t t0,T0,T，有一個(gè)，有一個(gè) 代數(shù)代數(shù)F F（t t），對(duì)于），對(duì)于stst，F(xiàn) F（s s）中的所有事）中的所有事件都在件都在F F（t t）中，稱）中，稱 代數(shù)族代數(shù)族F F（t t）是一個(gè)是一個(gè)域流（域流（filtrationfiltration）2022-3-15CopyrightPei Zhang 2013522022-3-15CopyrightPei Zhang 201453隨機(jī)變量生成的隨機(jī)變量生成的 代數(shù)代數(shù)定義：定義： 設(shè)設(shè)X X是定義在非空樣本空間是定義在非空樣本空間 上的隨機(jī)上的隨機(jī)

22、變量。由變量。由X X生成的生成的 代數(shù)代數(shù)（記為（記為 （X X）是所有形如）是所有形如XXBB的的 子集族，其中子集族，其中B B是是R R的波雷爾子集。的波雷爾子集。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201354隨機(jī)變量生成的隨機(jī)變量生成的 代數(shù)代數(shù)2022-3-15CopyrightPei Zhang 201455 代數(shù)代數(shù)- -可測(cè)可測(cè)定義：定義： 設(shè)設(shè)X X是定義在是定義在非空樣本空間非空樣本空間 上的隨機(jī)上的隨機(jī)變量。變量。G G是是 子集的子集的 代數(shù)，代數(shù)，如果如果 （X X）中的所有集合都在）中的所有集合都在G G中，則稱中，則稱X X是是G G可測(cè)的

23、?？蓽y(cè)的。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201456適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程（an adapted stochastican adapted stochastic） 設(shè)設(shè) 是非空樣本空間，并有流域是非空樣本空間，并有流域F F（t t），設(shè)，設(shè)X X（t t）是以）是以t t0,T0,T標(biāo)記的一族隨標(biāo)記的一族隨機(jī)變量。如果對(duì)每一個(gè)機(jī)變量。如果對(duì)每一個(gè)t t，X(t)X(t)都是都是F(t)F(t)可測(cè)的，我們稱這一族隨機(jī)變量是一個(gè)可測(cè)的，我們稱這一族隨機(jī)變量是一個(gè)適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程。適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程。 資產(chǎn)組合頭寸、財(cái)富過(guò)程都是適應(yīng)的隨資產(chǎn)組合頭寸、財(cái)富過(guò)程都是適應(yīng)的隨

24、機(jī)過(guò)程。機(jī)過(guò)程。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201357獨(dú)立性獨(dú)立性 代數(shù)中包含的信息并不能提供關(guān)于該代數(shù)中包含的信息并不能提供關(guān)于該隨機(jī)變量的值的任何線索隨機(jī)變量的值的任何線索2022-3-15CopyrightPei Zhang 201458聯(lián)合分布聯(lián)合分布2022-3-15CopyrightPei Zhang 201459邊際分布邊際分布2022-3-15CopyrightPei Zhang 201460方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)2022-3-15CopyrightPei Zhang 201461一般條件期望一般條件期望 介于介于G-G-可測(cè)

25、與獨(dú)立于可測(cè)與獨(dú)立于G G之間，基于之間，基于G G，X X的條件期望。的條件期望。離散情形：離散情形：2022-3-15CopyrightPei Zhang 201462連續(xù)情形連續(xù)情形2022-3-15CopyrightPei Zhang 201463 離散情形：離散情形：連續(xù)情形：連續(xù)情形：條件期望的定義條件期望的定義 設(shè)設(shè)（ ，F(xiàn) F，P P）是概率空間，）是概率空間，G G是是F F的子的子 代數(shù)，代數(shù)，X X是非負(fù)或者可積隨機(jī)變量。是非負(fù)或者可積隨機(jī)變量。X X的條的條件期望件期望EX|GEX|G是滿足以下性質(zhì)的隨機(jī)變量是滿足以下性質(zhì)的隨機(jī)變量：（1 1） EX|G EX|G是是G G可測(cè)的可測(cè)的（2 2）2022-3-15CopyrightPei Zhang 201364GAdPXdPGXEAA),()()()(|條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì)2022-3-15CopyrightPei Zhang 201465鞅（無(wú)限概率空間）鞅（