1示范教案(11方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)第1課時(shí))

1、第三章 函數(shù)的應(yīng)用本章教材分析函數(shù)的應(yīng)用是學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)重要方面.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的應(yīng)用,目的就是利用已有的函數(shù)知識(shí)分析問題和解決問題.通過函數(shù)的應(yīng)用,對完善函數(shù)的思想，激發(fā)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí),培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)實(shí)踐的能力等，都有很大的幫助.本章主要內(nèi)容：函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用、實(shí)習(xí)作業(yè)和小結(jié).在函數(shù)與方程這一節(jié)中課本從學(xué)生最熟悉的二次函數(shù)入手，通過研究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，使函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到充分的應(yīng)用，同時(shí)也展現(xiàn)了函數(shù)和方程的密切關(guān)系.求函數(shù)零點(diǎn)的近似解不僅展示了數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性，也為計(jì)算機(jī)的應(yīng)用提供了廣闊的空間.讓學(xué)生進(jìn)一步受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，激發(fā)學(xué)生的

2、學(xué)習(xí)熱情.在函數(shù)模型及其應(yīng)用這一節(jié)中讓學(xué)生近距離接近社會(huì)生活，從生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中得到應(yīng)用和提高，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.“數(shù)學(xué)建模也是高考考查的重點(diǎn).本章還是數(shù)學(xué)思想方法的載體，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到“函數(shù)方程思想“數(shù)形結(jié)合思想“轉(zhuǎn)化思想,從而提高自己的數(shù)學(xué)能力.本章教學(xué)時(shí)間約需9課時(shí)，具體分配如下(僅供參考)：3.1函數(shù)與方程約3課時(shí)3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用約4課時(shí)實(shí)習(xí)作業(yè)約1課時(shí)本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)3.1 函數(shù)與方程 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析三維目標(biāo)2.通過本節(jié)學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握“由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，在今后學(xué)習(xí)中利用這一規(guī)律探索更多的未知世

3、界.3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和認(rèn)知規(guī)律，還要讓學(xué)生充分體驗(yàn)“數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，“數(shù)學(xué)思想方法的科學(xué)性,體會(huì)這些給他們帶來的快樂.重點(diǎn)難點(diǎn)根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù);函數(shù)零點(diǎn)的概念.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí) 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)導(dǎo)入新課思路1.(情景導(dǎo)入)據(jù)新華社體育記者報(bào)道：昨晚足球比賽跌宕起伏，球迷經(jīng)歷了大喜到大悲,再到大喜的過程(領(lǐng)先那么喜，落后即悲).請問：整場足球比賽出現(xiàn)幾次“比分相同的時(shí)段 學(xué)生思考或討論答復(fù)：三次:(1)開場;(2)由領(lǐng)先到落后必經(jīng)過“比分相同時(shí)段;(3)由落后到領(lǐng)先必經(jīng)過“平分時(shí)段.教師點(diǎn)撥：足球比賽有“落后“

4、領(lǐng)先“比分相同,函數(shù)值有“負(fù)“正“零,函數(shù)圖象與足球比賽一樣跌宕起伏.由此導(dǎo)入課題,為后面學(xué)習(xí)埋好伏筆.思路2.(事例導(dǎo)入)(多媒體動(dòng)畫演示)一枚炮彈從地面發(fā)射后，炮彈的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式為h=20t-5t2,問炮彈經(jīng)過多少秒回到地面炮彈回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如圖3-1-1-1.圖3-1-1-1思路3.(直接導(dǎo)入)教師直接點(diǎn)出課題：上一章我們研究函數(shù)的圖象性質(zhì)，這一節(jié)我們討論函數(shù)的應(yīng)用，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn).推進(jìn)新課新知探究提出問題求方程x2-2x-3=0的根，畫函數(shù)y=x2-2x-3的圖象.求方程x2-2x+1=0的根，畫函數(shù)y=x2-2x+

5、1的圖象.求方程x2-2x+3=0的根，畫函數(shù)y=x2-2x+3的圖象.觀察函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)：方程的根與函數(shù)的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有什么關(guān)系 如何判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù)，如何判斷二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們之間有什么關(guān)系 歸納函數(shù)零點(diǎn)的概念.怎樣判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)函數(shù)的圖象不易畫出，又不能求相應(yīng)方程的根時(shí)，怎樣判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)活動(dòng)：先讓學(xué)生思考或討論后再答復(fù)，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對答復(fù)正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對答復(fù)不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路:問題:先求方程的兩個(gè)根，找出拋物線的頂點(diǎn),畫出二次函數(shù)的圖象(圖3-1-1-2).問題:方程有一個(gè)根，說明拋物線的頂點(diǎn)在x軸上(圖3-1-1-

6、3).問題:方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，找出拋物線的頂點(diǎn)是畫二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵(圖3-1-1-4).問題:方程的根與函數(shù)的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是實(shí)數(shù).問題:對于其他函數(shù)這個(gè)結(jié)論正確嗎問題:函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù).問題:可以利用“轉(zhuǎn)化思想.問題:足球比賽中從落后到領(lǐng)先是否一定經(jīng)過“平分由此能否找出判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)的方法函數(shù)圖象穿過x軸那么有零點(diǎn)，怎樣用數(shù)學(xué)語言描述呢討論結(jié)果：方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-1，3.方程的實(shí)數(shù)根為1.方程沒有實(shí)數(shù)根.方程的根就是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).一元二次方程根的個(gè)數(shù)，就是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以用判別式來判定一元二次方程根的個(gè)數(shù).a.當(dāng)0時(shí)

7、，一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根x1、x2，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0)、(x2,0);b.當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有唯一的交點(diǎn)(x1,0);c.當(dāng)0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)根，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn).一般地，對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).方程f(x)=0有實(shí)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間-2,1上有零點(diǎn).計(jì)算f(-2)與f(1)的乘積，發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積特點(diǎn)

8、是小于零.在區(qū)間2,4同樣如此.可以發(fā)現(xiàn)，f(-2)f(1)0,函數(shù)y=x2-2x-3在區(qū)間(-2，1)內(nèi)有零點(diǎn)x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一個(gè)根.同樣地，f(2)f(4)4.(2)假設(shè)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，那么a=4.(3)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn),那么0a0,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以函數(shù)f(x)=2x2-3x-2有兩個(gè)零點(diǎn).證法二:因?yàn)橐辉畏匠?x2-3x-2=0可化為(2x+1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1=2,x2=.所以函數(shù)f(x)=2x2-3x-2有兩個(gè)零點(diǎn).證法三:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x2-3x-2的

9、圖象是一條開口向上的拋物線，且頂點(diǎn)在x軸的下方,即f(0)=-20,所以函數(shù)f(x)=2x2-3x-2有兩個(gè)零點(diǎn).如圖3-1-1-6.圖3-1-1-7點(diǎn)評：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以結(jié)合函數(shù)的圖象.方法：零點(diǎn)函數(shù)方程的根兩圖象交點(diǎn).數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.例2假設(shè)關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一根在(-2，0)內(nèi)，另一個(gè)根在(1，3)內(nèi)，求a的取值范圍.活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫出(最好用實(shí)物投影儀展示寫的正確的答案).教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正,并及時(shí)評價(jià).如果用求根公式與判別式來做，運(yùn)算量很大,能否將問題轉(zhuǎn)化借助二次函數(shù)的圖象，從圖象中抽出與方程的根有關(guān)的

10、關(guān)系式，使得問題解答大大簡化.引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)的圖象觀察分析.解：設(shè)f(x)=3x2-5x+a,那么f(x)為開口向上的拋物線,如圖3-1-1-8：圖3-1-1-8因?yàn)閒(x)=0的兩根分別在區(qū)間(-2，0)、(1，3)內(nèi)，所以即故所求a的取值范圍是-12a0.變式訓(xùn)練關(guān)于x的方程x2-ax+a2-7=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)f(x)=x2-ax+a2-7,圖象為開口向上的拋物線(如圖3-1-1-9).因?yàn)榉匠蘹2-ax+a2-7=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2,所以函數(shù)f(x)=x2-ax+a2-7的零點(diǎn)一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2.即函數(shù)f(x)=x2

11、-ax+a2-7的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(2，0)的兩側(cè).只需f(2)0,即4-2a+a2-70,所以-1a3.圖3-1-1-9思路2例1假設(shè)方程2ax2-x-1=0在(0，1)內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再答復(fù).教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：有解包括有一解和有兩解，要分類討論.用一般解法固然可以，假設(shè)結(jié)合函數(shù)圖象觀察分析，可以找到捷徑.有兩種情況：a.a=0;b.a0,0.解：令f(x)=2ax2-x-1，(1)當(dāng)方程2ax2-x-1=0在(0，1)內(nèi)恰有一個(gè)解時(shí)，f(0)f(1)0或a0且=0,由f(0)f(1)0,得(-1)(2a-2)1.由=0,得1+8a=0,

12、a=方程為x2-x-1=0,即x=-2(0,1)(舍去).綜上可得a1.(2)當(dāng)方程2ax2-x-1=0在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)解時(shí)，那么或容易解得實(shí)數(shù)a不存在.綜合(1)(2),知a1.變式訓(xùn)練假設(shè)方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，x=0滿足題意.(2)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)f(x)=ax2+3x+4a.方法一:假設(shè)方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，那么0a.綜上(1)(2),得0a.方法二:假設(shè)方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，那么解得00),方程f(x)-x=0的兩個(gè)根為x1、x2,滿足0x1x2.(1)當(dāng)x(0,x1)時(shí)，求證：xf(x)x

13、1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，求證：x0.活動(dòng)：根據(jù)方程與函數(shù)關(guān)系，學(xué)生先思考或討論后再答復(fù)，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)評價(jià)學(xué)生.因?yàn)榉匠蘤(x)-x=0的兩個(gè)根為x1、x2，可考慮把f(x)-x設(shè)為雙根式，然后判斷其符號(hào)，再考慮二次函數(shù)的雙根與二次函數(shù)對稱軸的關(guān)系.證明:(1)x1、x2是方程f(x)-x=0的兩個(gè)根，且0x1x20,即f(x)-x0.又f(x)-x=a(x1-x)(x2-x)a(x1-x)=x1-x,即f(x)-xx1-x,故0f(x)-xx1-x,即xf(x)x1.(2)f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的兩個(gè)根為x1、x2,二次函

14、數(shù)f(x)-x的對稱軸為x=.=.又由，得x0=，=x0+.又x20.故=x0+x0,即x0.變式訓(xùn)練1.二次函數(shù)f(x)滿足f(3-x)=f(3+x),且其兩零點(diǎn)分別為x1、x2,求x1+x2.解：對任意x都有f(3-x)=f(3+x)，函數(shù)f(x)的圖象上有兩點(diǎn)(3-x,y)、(3+x,y)關(guān)于x=3對稱.二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x=3.x1、x2為二次函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，x1+x2=6.2.假設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(3-x)=f(3+x)，且函數(shù)f(x)有6個(gè)零點(diǎn)，求所有零點(diǎn)的和.解：同理函數(shù)f(x)的對稱軸為x=3，3(x1+x2)=18.點(diǎn)評：二次函數(shù)的雙根與二次函數(shù)解析式的關(guān)系

15、是：假設(shè)二次項(xiàng)系數(shù)為a,兩個(gè)根為x1、x2,那么二次函數(shù)解析式為f(x)=a(x-x1)(x-x2).二次函數(shù)的雙根與二次函數(shù)對稱軸的關(guān)系是：二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x=.知能訓(xùn)練討論函數(shù)y=ex+4x-4的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生說出自己的見解，并說明理由.函數(shù)零點(diǎn)問題是函數(shù)的重要應(yīng)用，離不開函數(shù)的圖象和性質(zhì).(1)利用f(a)f(b)0及函數(shù)的單調(diào)性.(2)作出y=ex和y=4-4x的圖象，把函數(shù)y=ex+4x-4的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程ex=4-4x根的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為上述兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：(方法一)利用計(jì)算機(jī)作出x，f(x)的對應(yīng)值表：x01f(x)-32.71828由表和圖可

16、知，f(0)0,那么f(0)f(1)0，得m4.綜上，要使P和Q同時(shí)成立，只需解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8.2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)f(b)0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否有零點(diǎn)可能有幾個(gè)零點(diǎn)活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再答復(fù).利用函數(shù)圖象進(jìn)行探索分析:有沒有零點(diǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)解析:零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是任意自然數(shù).下面討論在區(qū)間-3,3上函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，(1)可能沒有零點(diǎn)如圖(圖3-1-1-11).圖3-1-1-11圖3-1-1-12(2)可能有一個(gè)零點(diǎn)如圖(圖3-1-1-12).(3)可能有兩個(gè)零點(diǎn)如圖(圖3-1-1-13).圖3-1-1-13圖3-1-1-14(4)可能有三個(gè)零點(diǎn)如圖(圖3-1-1-14).(5)可能有n(nN*)個(gè)零點(diǎn),圖略.點(diǎn)評：在區(qū)間-3,3上函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是任意自然數(shù).借助計(jì)算機(jī)可以驗(yàn)證同學(xué)們的判斷，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了:零點(diǎn)的概念;零點(diǎn)的判斷方法;利用函數(shù)的單調(diào)性證明零點(diǎn)