數(shù)值分析--1誤差

1、 數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問題對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問題.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計(jì)算計(jì)算方法方法計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)編程編程近似解近似解第一章第一章 誤差誤差 /* Error */1 誤差的背景介紹誤差的背景介紹 /* Introduction */1. 來源與分類來源與分類 /* Source & Classification */ 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差 /* Modeling Error */ 通過測量得到模型中參數(shù)的值通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差

2、/* Measurement Error */ 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 (截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 /* Truncation Error */ ) 機(jī)器字長有限機(jī)器字長有限 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */1 Introduction: Source & Classificationdxex 102 近近似似計(jì)計(jì)算算: :例例大家一起猜？大家一起猜？ dxe2x1011 / e解法之一解法之一：將將 作作Taylor展開后再積分展開后再積分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4 /*

3、Remainder */,104 Sdxe2x取取則則 111!5191!414R稱為稱為截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 /* Truncation Error */005091!414.R 這這里里7430024010333014211013114.S 0010200050. | 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */ |006000100050102.dxe-x 的的總總體體誤誤差差計(jì)計(jì)算算= 0.747 由截去部分由截去部分/* excluded terms */引起引起由留下部分由留下部分/* included terms */引起引起1 Introduction: Spread

4、 & Accumulation2. 傳播與積累傳播與積累 /* Spread & Accumulation */例：例：蝴蝶效應(yīng)（氣象學(xué)家洛倫茲，蝴蝶效應(yīng)（氣象學(xué)家洛倫茲，1963） 南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯引起一爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)？！場龍卷風(fēng)？！South AmericaTexas以上是一個(gè)以上是一個(gè)病態(tài)問題病態(tài)問題 /* ill-posed problem*/ 其原因在于：蝴蝶翅膀的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化

5、，并引起微弱氣流的產(chǎn)生，而微弱氣流的產(chǎn)生又會(huì)引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起連鎖反映，最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化。 此效應(yīng)說明，事物發(fā)展的結(jié)果，對(duì)初始此效應(yīng)說明，事物發(fā)展的結(jié)果，對(duì)初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會(huì)引起結(jié)果的極大差異。的極小偏差，將會(huì)引起結(jié)果的極大差異。1 Introduction: Spread & Accumulation.210110,n,dxexeIxnn 例：計(jì)算例：計(jì)算11 nnInI 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精確精確成成立立632120560111100.edxeeIx 記為

6、記為*0I80001050 .IIE則初始誤差則初始誤差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !1 Introduction: Spread & Accumulation考察第考察第n步的誤差步的誤差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !01En|

7、Enn 我們有責(zé)任改變。我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法 /* unstable algorithm */迅速積累，誤差呈遞增走勢。迅速積累，誤差呈遞增走勢。可見初始的小擾動(dòng)可見初始的小擾動(dòng)801050| .E)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：注意此公式與公式一注意此公式與公式一在理論上在理論上等價(jià)等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)方法：先估計(jì)一個(gè)IN , ,再反推要求的再反推要求的In ( n N )。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可取可取0* NNNIIEN, ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 Introduction: Spread

8、& Accumulation632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取1 Introduction: Spread & Accumulation考察反推一步的誤差：考察反推一步的誤差：|1)1 (1)1 (1|*1NNNNENININE

9、以此類推，對(duì)以此類推，對(duì) n 6 log6，即，即 n 6，應(yīng)取，應(yīng)取 * = 3.14159。3 函數(shù)的誤差估計(jì)函數(shù)的誤差估計(jì) /*Error Estimation for Functions*/問題問題：對(duì)于：對(duì)于 y = f (x)，若用，若用 x* 取代取代 x，將對(duì)，將對(duì)y 產(chǎn)生什么影響？產(chǎn)生什么影響？分析分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* xMean Value Theorem= f ( )(x* x)x* 與與 x 非常接近時(shí)，可認(rèn)為非常接近時(shí)，可認(rèn)為 f ( ) f (x*) ，則有：，則有：|e*(y)| | f (x*)|e*(x)|即：即

10、：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過產(chǎn)生的誤差經(jīng)過 f 作用后被放大作用后被放大/縮小了縮小了| f (x*)|倍。故稱倍。故稱| f (x*)|為為放大因子放大因子 /* amplification factor */ 或或 絕對(duì)條件數(shù)絕對(duì)條件數(shù) /* absolute condition number */.3 Error Estimation for Functions*)()(*| )(|xfyey*er *)(*| )(|xxex*er )(*)(*)(*)(*)(*)(xexfxfxxxxxfxxxxfxfr 相對(duì)誤差條件數(shù)相對(duì)誤差條件數(shù) /* relative condition number*

11、/ f 的條件數(shù)在某一點(diǎn)是的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小小大大，則稱，則稱 f 在該點(diǎn)是在該點(diǎn)是好條件的好條件的 /* well-conditioned */ 壞條件的壞條件的 /* ill-conditioned */。注：關(guān)于多元函數(shù)注：關(guān)于多元函數(shù) 的討論，請(qǐng)參閱教的討論，請(qǐng)參閱教材第材第11、12、13、14頁。頁。).,(21nx,x,xfy 3 Error Estimation for Functions例例:計(jì)算計(jì)算 y = ln x。若。若 x 20，則取，則取 x 的幾位有效數(shù)字可保證的幾位有效數(shù)字可保證 y 的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差 0.1% ?*ln| )(*| )(*|*)(*)(*

12、| )(|xxexexyxyxy*errr 解：設(shè)截取解：設(shè)截取 n 位有效數(shù)字后得位有效數(shù)字后得 x* x，則，則估計(jì)估計(jì) x 和和 y 的相對(duì)誤差上限滿足近似關(guān)系的相對(duì)誤差上限滿足近似關(guān)系)(*ln)(*yxxrr %1 . 0*ln102111 xan不知道怎么辦??？不知道怎么辦啊？可能是可能是1，也可能是，也可能是9，取最壞情況，即取最壞情況，即a1 = 1。 n 4例：計(jì)算例：計(jì)算 ，取，取 4 位有效，即位有效，即 , 則相對(duì)誤差則相對(duì)誤差 9820ln)8920ln(. %.1010029820ln9820ln8920ln5 4 幾點(diǎn)注意事項(xiàng)幾點(diǎn)注意事項(xiàng) /* Remarks *

13、/1. 避免相近二數(shù)相減避免相近二數(shù)相減 (詳細(xì)分析請(qǐng)參閱教材詳細(xì)分析請(qǐng)參閱教材p.13)例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx當(dāng)當(dāng) | x | 1 時(shí)：時(shí)：;2sin2cos12xx .6121112xxxex更多技巧請(qǐng)見教材第更多技巧請(qǐng)見教材第13頁、頁、22頁習(xí)題頁習(xí)題4。4 Remarks2. 避免小分母避免小分母 : 分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出 /* ove

14、r flow */3. 避免大數(shù)避免大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)例：用單精度計(jì)算例：用單精度計(jì)算 的根。的根。 010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在計(jì)算機(jī)內(nèi)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為存為0.1 1010，1存為存為0.1 101。做加法時(shí)，做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，則：，則：1 = 0.0000000001 1010，取，取單精度時(shí)就成為：單精度時(shí)就成為： 109+1=0.10000000 1

15、010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大數(shù)大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)024,102422921 aacbbxaacbbx4 Remarks算法算法2：先解出先解出 再利用再利用9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和時(shí)求和時(shí)從小到大從小到大相加，可使和的誤差減小。相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 先化簡再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。先化簡再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度

16、為一般來說，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為 exp ,5. 選用穩(wěn)定的算法。選用穩(wěn)定的算法。HW: p.22-23 #4, #6 , #9Lab 01. Numerical Summation of a Series Produce a table of the values of the series (1)for the 3001 values of x, x = 0.0, 0.1, 0.2, , 300.00. All entries of the table must have an absolute error less than 1.0e-10. This problem is bas

17、ed on a problem from Hamming (1962), when mainframes were very slow by todays microcomputer standards. InputThere is no input.Output The output is to be formatted as two columns with the values of x and (x) printed as in the C fprintf: fprintf(outfile,%6.2f%16.12fn,x,psix); /* hererepresents a space

18、 */ 1)(1)(kxkkx As an example, the sample output below shows 4 acceptable lines out of 3001, which might appear in the output file. The values of x should start at 0.00 and increase by 0.1 until the line with x = 300.00 is output. Sample Output ( represents a space)0.001.6449340668480.101.534607244904.1.001.000000000000.2.000.7500