09年高考理科數(shù)學模擬考試試卷4

1、本資料來源于七彩教育網(wǎng)09年高考理科數(shù)學模擬考試試卷 數(shù)學試卷 （理科） 2009.04說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.1若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則 . 2. 已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若的圖像過點，則 . 第5題圖3. 用金屬薄板制作一個直徑為米，長為3米的圓柱形通風管.若不計損耗，則需要原材料 平方米（保留3位小數(shù)）. 4. 設(shè)、是平面內(nèi)一組基向量，且、

2、，則向量可以表示為另一組基向量、的線性組合，即 . 5. 右圖是某算法的程序框圖，該算法可表示分段函數(shù)，則其輸出結(jié)果所表示的分段函數(shù)為 . 6. 關(guān)于x、y的二元線性方程組 的增廣矩陣經(jīng)過變換，最后得到的矩陣為，則 7. 在極坐標系中，設(shè)曲線和相交于點、，則 . 8. 設(shè)聯(lián)結(jié)雙曲線與（，）的個頂點的四邊形面積為，聯(lián)結(jié)其個焦點的四邊形面積為，則的最大值為 .9. 將函數(shù)的圖像向左平移（）個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為 第10題圖10. 園丁要用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖所示圓形花壇的四塊區(qū)域. 要求同一區(qū)域內(nèi)須用同一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域須用不同顏色的鮮花. 設(shè)花

3、圃中布置紅色鮮花的區(qū)域數(shù)量為，則隨機變量的數(shù)學期望 .11. 已知數(shù)列是首項為、公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.若對任意的,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是 . 二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在答題紙相應(yīng)的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個（不論是否都寫在空格內(nèi)），或者沒有填寫在題號對應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分.12. 以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程的一個法向量的是 （ ） A ； B. ； C. ; D. .13. 設(shè)數(shù)列的首項且前項和為.已知向量，滿足，則 （ ） A. ； B. ; C. ; D

4、. .14. 在ABC中，“”是“ABC為鈍角三角形”的 （ ）A必要非充分條件； B充分非必要條件； C充要條件； D既非充分又非必要條件.15. 現(xiàn)有兩個命題：（1） 若，且不等式恒成立，則的取值范圍是集合；（2） 若函數(shù)，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點，則的取值范圍是集合；則以下集合關(guān)系正確的是 （ ）A ； B. ； C. ； D. .三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.16. （本題滿分12分）過拋物線的焦點且方向向量為的直線交該拋物線于、兩點，求的值.17. （本題滿分14分） 已知復數(shù)，（是虛數(shù)單位），且.當實數(shù)時，試用列

5、舉法表示滿足條件的的取值集合.18. （本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）若，（、）.(1) 求的值；（2）求證：數(shù)列各項均為奇數(shù).19. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設(shè)施.該設(shè)施的下部是矩形，其中米，米.上部是個半圓，固定點為的中點.是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿（和不重合）.（1）當和之間的距離為1米時，求此時三角通風窗的通風面積；（2）設(shè)與之間的距離為米，試將三角通風窗的通風面積（平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)；（

6、3）當與之間的距離為多少米時，三角通風窗的通風面積最大？并求出這個最大面積.第19題圖20. （本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，. ，（1） 求異面直線與所成角的大??；（2） 若平面內(nèi)有一經(jīng)過點的曲線，該曲線上的任一動點都滿足與所成角的大小恰等于與所成角. 試判斷曲線的形狀并說明理由；（3）在平面內(nèi)，設(shè)點是（2）題中的曲線在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線上的動點，其中為曲線和的交點. 以為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點. 當點在曲線段上運動時，試提出一個研究有關(guān)四面體的問題（如體積、線面、面面關(guān)系等）并嘗

7、試解決. 第20題圖【說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質(zhì)量和解決難度分層評分；本小題的計算結(jié)果可以使用近似值，保留3位小數(shù)】上海市普陀區(qū)2008學年度第二學期高三年級質(zhì)量調(diào)研 數(shù)學試卷參考答案及評分標準（文理科） 2009.04一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：1. ； 2. 理：2；文：； 3. 理：1.885；文：2；4. 理：；文：1.885； 5. 理：；文：4； 6. 理：；文：；7. 理：；文：； 8. 理：；文：6； 9. 理：；文：；10. 理：1； 文：； 11. 理：；文：； 12. 文：；二、選擇題（每題4分，總分16分）： 題號理12；文13理13

8、；文14理：14；文：15理15；文：16答案ACBC三、解答題： 16.（理，滿分12分）解：因為拋物線的焦點的坐標為，設(shè)、，由條件，則直線的方程為，代入拋物線方程，可得，則.于是，.2481217.（文，滿分12分）解：因為，所以由條件可得，.即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.又，所以，.46812（理）17.（文）18. （滿分14分）解：因為所以，即或，或，又由，即當時，或；當時，或.所以，集合.37111418.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）解：（1）當時， 故，所以.（2）證：由數(shù)學歸納法（i）當時，易知，為奇數(shù)；（ii）假設(shè)當時，其中為奇數(shù)；則當時， 所以，又、，所以是偶數(shù)

9、，而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).證法二：因為當為奇數(shù)時，則當時，是奇數(shù)；當時，因為其中中必能被2整除，所以為偶數(shù)，于是，必為奇數(shù)；當為偶數(shù)時，其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).綜上可知，各項均為奇數(shù).36810141510141519. （文，滿分14分）解：如圖，設(shè)中點為，聯(lián)結(jié)、.AOCB第19題圖D由題意，,所以為等邊三角形，故，且.又，所以.而圓錐體的底面圓面積為,所以圓錐體體積.381014（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）解：（1）由題意，當和之間的距離為1米時，應(yīng)位于上方，且此時中邊上的高

10、為0.5米. 又因為米，可得米.所以，平方米，即三角通風窗的通風面積為平方米.（2）1如圖（1）所示，當在矩形區(qū)域滑動，即時，的面積；2如圖（2）所示，當在半圓形區(qū)域滑動，即時，故可得的面積 ；綜合可得：（3）1當在矩形區(qū)域滑動時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有；2當在半圓形區(qū)域滑動時，等號成立，.因而當（米）時，每個三角通風窗得到最大通風面積，最大面積為（平方米）.24691012151621（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）解：（1）設(shè)右焦點坐標為（）.因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且.于是可知，為等腰直角三角形，則

11、由，又由等軸雙曲線中，.即，等軸雙曲線的方程為.（2）設(shè)、為雙曲線直線的兩個交點.因為，直線的方向向量為，直線的方程為.代入雙曲線的方程，可得，于是有而 .（3）假設(shè)存在定點，使為常數(shù)，其中，為直線與雙曲線的兩個交點的坐標. 當直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為代入，可得. 由題意可知，則有 ， 于是，要使是與無關(guān)的常數(shù)，當且僅當，此時. 當直線與軸垂直時，可得點,， 若，亦為常數(shù).綜上可知，在軸上存在定點，使為常數(shù).3579111316171820（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且，則與所成的角即為. 因為，又平面，所以

12、平面，則有. 因為，,所以，則，即異面直線與所成角的大小為.解法二：如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，建立空間直角坐標系.于是有、，則有，又則異面直線與所成角滿足, 所以，異面直線與所成角的大小為.（2）解法一：由條件，過作，垂足為，聯(lián)結(jié). 于是有，故與所成角即為. 在平面中，以為原點，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標系. 設(shè)動點，則有又平面，所以.所以，即.所以，可判定曲線是雙曲線.（2）解法二：如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，建立空間直角坐標系.設(shè)點，點、點、點，則，由，化簡整理得到，則曲線是平面內(nèi)的雙曲線.（3）解：在如圖所示的的坐標系中，因為、, 設(shè).則有

13、，故的方程為，代入雙曲線E：的方程可得，其中.因為直線與雙曲線交于點，故. 進而可得，即.故雙曲線E在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的區(qū)域滿足，. 又設(shè)為雙曲線段上的動點，.所以， 因為，所以當時，；當時，.而要使圓B與、都有交點，則.故滿足題意的圓的半徑的取值范圍是.【說明】1. 若提出的問題在解決過程中不需用到以上結(jié)論的，則完整提出問題并解決最高得6分.2. 若提出的問題在解決過程中需用到以上結(jié)論的，則上述分析過程滿分6分；繼續(xù)深入的研究過程和結(jié)論則可參考以下典型問題和解答，最高再得6分.l 問題一：求四面體體積的取值范圍.因為，所以體積為. 故問題可以轉(zhuǎn)化為研究的面積. 又因為為直角，所以必為等腰直角三角形.由前述，設(shè)，則，故其面積為，所以.于是，.（當點運動到與點重合時，體積取得最大值；當點運動到橫坐標時，即長度最小時，體積取得最小值）l 問題二：求側(cè)棱與底面所成角大小的取值范圍.解：因為，所以即為側(cè)棱與底面所成角.而，由于在區(qū)間內(nèi)遞增，所以，即.l 問題三：求側(cè)棱與底面所成角大小的取值范圍.解：因為，所以即為側(cè)棱與底面所成角.因為，所以，故，.由于在區(qū)