第七章數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)考試

1、第七章 數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)考試一 、數(shù)學(xué)問題是什么（一）一般的數(shù)學(xué)問題 數(shù)學(xué)問題(簡稱數(shù)學(xué)題)是指數(shù)學(xué)上要求回答或解釋的疑問。廣義的數(shù)學(xué)問題是指在數(shù)量關(guān)系和空間形式中出現(xiàn)的困難和矛盾， 例如幾何問題，復(fù)數(shù)問題，四色問題等等。 狹義的數(shù)學(xué)問題則是已經(jīng)明顯地表示出來的題目，用命題的形式加以表述，包括證明類問題，求解類問題等。（二）教學(xué)中的數(shù)學(xué)問題 數(shù)學(xué)家只把結(jié)論未知的題目稱為問題。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把結(jié)論已知的題目也稱為問題。其內(nèi)容包括：需要建立的概念、求證的定理、待推導(dǎo)的公式， 以及師生共同進(jìn)行探討的研究性課題。（三）數(shù)學(xué)問題的發(fā)展 從傳統(tǒng)的問題到問題解決的提出一、數(shù)學(xué)問題是什么一、數(shù)學(xué)問題是什么1傳

2、統(tǒng)的數(shù)學(xué)題的特征：接受性、封閉性和確定性。 其內(nèi)容是熟知的；其結(jié)構(gòu)是常規(guī)的；答案確定；條件不多不少，可以按照現(xiàn)成的公式或常規(guī)的思路獲得解決。題目具有一定的挑戰(zhàn)性，但難度不大。2“問題解決”的提出 20世紀(jì)80年代以來， 國際上倡導(dǎo)“問題解決”數(shù)學(xué)教學(xué)模式，這里的問題在障礙性和探究性上提出了較高的要求。波利亞的解釋為“有意識地尋求某一適當(dāng)?shù)男袆樱员氵_(dá)到一個(gè)被清楚地意識到但又不能立即達(dá)到的目的。解決問題是這種尋求的活動?！眴栴}的產(chǎn)生過程如下圖： （四）體現(xiàn)“問題解決”的數(shù)學(xué)問題類型1可以構(gòu)建模型的非常規(guī)的實(shí)際問題 數(shù)學(xué)問題要能夠給學(xué)生提供常識建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會，讓學(xué)生根據(jù)觀察和實(shí)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)，常識運(yùn)

3、用數(shù)學(xué)思想以及歸納、類比的方法得出猜想，然后進(jìn)行證明。此類題目能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，是學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的重要保障，也是基礎(chǔ)教育的重要任務(wù)之一。一、數(shù)學(xué)問題是什么二、數(shù)學(xué)解題的過程與方法（一）什么是數(shù)學(xué)解題 數(shù)學(xué)解題就是求出數(shù)學(xué)題的答案。通過典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)，去探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，學(xué)會像數(shù)學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)地思維”（二）數(shù)學(xué)解題的過程 解題過程是在解題思想的指導(dǎo)下，運(yùn)用合理的解題策略(或原則)，制訂科學(xué)的解題程序，進(jìn)行解題行動的思維過程。 （三）數(shù)學(xué)解題的方法（讓學(xué)生討論并歸納）1具有創(chuàng)立學(xué)科功能的方法； 2體現(xiàn)一般思維規(guī)律的方法； 3具體進(jìn)行論證演算的方法。 （四）解題策略介于具體的

4、求解方法與抽象的解題思想之間，是思想轉(zhuǎn)化為操作的橋梁數(shù)學(xué)解題的一般過程解題思想解題思想解題原則解題原則解題策略解題策略解題程序解題程序解題行動解題行動基本理論基本理論基本方法基本方法解法研究解法研究初初始始狀狀態(tài)態(tài)最最終終狀狀態(tài)態(tài)解解題題過過程程三、數(shù)學(xué)應(yīng)用題、情景題、開放題（一）數(shù)學(xué)應(yīng)用題 概念：主要指從社會生活中提出的、由學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識去解決的一類實(shí)際問題。 意義：可以增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握水平；提高解題能力；體驗(yàn)數(shù)學(xué)與社會生活的聯(lián)系。 應(yīng)用題的編擬：模型法、模擬法、改編法。同時(shí)應(yīng)該區(qū)別于形式化的習(xí)題，突出與實(shí)際情景的聯(lián)系，注重考查建模能力。 應(yīng)用題的求解：閱讀理解-數(shù)學(xué)建

5、模-求解問題-實(shí)際檢驗(yàn)三、數(shù)學(xué)應(yīng)用題、情景題、開放題（二）數(shù)學(xué)情景題 概念：從生活情景出發(fā)，將數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想方法置于具體情景之中的一種題型。 意義：使學(xué)生經(jīng)歷重要的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)思維活動過程。 應(yīng)用題的特點(diǎn)：信息冗余、開放性、應(yīng)用性。三、數(shù)學(xué)應(yīng)用題、情景題、開放題（三）數(shù)學(xué)開放題 概念：答案不確定、條件不完備、結(jié)論不確定、解題方法策略不確定的一種題型。 意義：旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性以利于學(xué)生創(chuàng)新精神的養(yǎng)成。 應(yīng)用題的類型：條件開放型、結(jié)論開放型、策略開放型、綜合型、設(shè)計(jì)（實(shí)踐）型。（一）問題解決的教育意義1這里所謂數(shù)學(xué)問題, 是指有一定難度, 需要一定的思維程序和方法, 經(jīng)過反復(fù)

6、思考才能正確解答的數(shù)學(xué)問題。2問題解決教學(xué)的意義： 首先，這是社會發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)教育必須努力提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題的能力； 其次，這是數(shù)學(xué)觀現(xiàn)代演變的需要。動態(tài)的數(shù)學(xué)觀要求數(shù)學(xué)作為人類的一種創(chuàng)造性活動，“問題解決”就應(yīng)運(yùn)而生； 最后，這也是數(shù)學(xué)教育研究深入的必然結(jié)果。學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)是“做數(shù)學(xué)”，即應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過問題解決來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。四、數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)（二）問題解決概述 概念：指綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識去解決那種并非單純練習(xí)題式的問題，這些問題包括了實(shí)際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。 意義：努力幫助學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維” 問題的內(nèi)涵： 一個(gè)具有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現(xiàn)成的直接方法、程

7、序或算法的未解決問題的情景。四、數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)（三）問題解決的過程1問題識別與定義 意識到問題的存在，并正確地定義它；2問題表征 或語義的或是表象的，或在頭腦中編碼或利用紙筆等工具編碼；3策略選擇與應(yīng)用 問題解決策略一般分成兩大類，一類是規(guī)則系統(tǒng)，另一類是創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)； 4資源分配 合理地分配資源是有效解決問題的關(guān)鍵； 5監(jiān)控與評估 把握和關(guān)注問題解決的全過程，評定問題解決進(jìn)程及其結(jié)果的質(zhì)量。四、數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)（五）問題解決教學(xué)的策略1影響問題解決的因素：一是問題情境; 二是個(gè)人特征; 三是認(rèn)知和元認(rèn)知策略。2教學(xué)策略：創(chuàng)設(shè)問題情景，選擇好問題；形成知識組塊，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)；加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維

8、解題策略訓(xùn)練，注意及時(shí)反饋；引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動。 四、數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)（四）問題解決的特征：目的指向性；操作序列性；連續(xù)性與突發(fā)性；內(nèi)隱性；延伸性與發(fā)散性；操作步驟的程式性 四、數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討 為了有效地發(fā)揮數(shù)學(xué)考試的作用，要設(shè)計(jì)好考試的全過程。在實(shí)施考試的諸多環(huán)節(jié)中，命題是最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。考試對教育、教學(xué)有著很強(qiáng)的反饋（反拔）作用或?qū)蜃饔谩?shù)學(xué)考試命題的依據(jù)應(yīng)是課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求。各個(gè)階段測試的命題，都要遵循教育和教學(xué)的客觀規(guī)律。命題包括命制單題和組拼試卷兩項(xiàng)工作。 數(shù)學(xué)考試的種類很多，包括檢查教學(xué)效果的測驗(yàn)，評定成績的日?？疾欤M(jìn)行選拔的入學(xué)考

9、試等，目前在全國影響最大的是高等學(xué)校入學(xué)考試。因此，以下只探討高考數(shù)學(xué)試卷的命題。（一）確定試卷結(jié)構(gòu) 確定試卷結(jié)構(gòu)相當(dāng)于繪制考試命題的設(shè)計(jì)藍(lán)圖，主要考慮如下幾個(gè)方面：（1）內(nèi)容覆蓋率，重點(diǎn)內(nèi)容，各章節(jié)內(nèi)容比例；（2）內(nèi)容要求及分?jǐn)?shù)分布；（3）學(xué)科能力要求，確定各項(xiàng)學(xué)科能力的考查力度和考察比例；（4）題型比例，選定本次考試擬使用的各種題型，確定各種題型試題的比例；（5）整卷難度要求和難度結(jié)構(gòu)；（6）考試時(shí)間及試卷滿分值；五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討（7）各種題型中，同一知識范圍的試題一般不超過一個(gè)；（8）制定雙向細(xì)目表（詳細(xì)解釋見教材）；（9）各種題型前要科學(xué)、明確、簡潔、合理的指導(dǎo)語；（10）試卷

10、、參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)的總說明要置于卷首，表述確切簡潔。五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討（二）單題命制方法 試題要求：1、試題內(nèi)容必須在課程標(biāo)準(zhǔn)或考試大綱規(guī)定的范圍之內(nèi)；2、試題要有明確的考核目的；3、應(yīng)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，按一定層次編制；4、語言、符號規(guī)范，表述準(zhǔn)確；5、內(nèi)容和素材的選取應(yīng)注意民族和行業(yè)差異；五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討（二）單題命制方法 考試中常用的題型有選擇題、填空題和解答題，下面分別討論其命題技術(shù)。1在編制選擇題時(shí)應(yīng)注意：題干表述明確，不提供答案信息，不出現(xiàn)與答案無關(guān)的線索；選項(xiàng)與題干內(nèi)容和諧協(xié)調(diào)，連接自然流暢；正確選項(xiàng)與干擾選項(xiàng)長度、結(jié)構(gòu)、屬性、水平等盡量接近；干擾項(xiàng)能反映考生的典

11、型錯(cuò)誤；各題正確項(xiàng)的排列隨機(jī)，分布均勻。2在編制填空題時(shí)應(yīng)注意：提問和限定詞準(zhǔn)確，答案準(zhǔn)確；空位的數(shù)量、位置適當(dāng)；題目的文字表述與空位的關(guān)系確切、無歧義；求解的過程宜短。步驟不得太多，最好是2至3步；多數(shù)考生解答填空題有懼怕心理，因此，填空題不宜太難。五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討3解答題的設(shè)計(jì)步驟：（1）立意與選材；（2）搭架與構(gòu)題；（3）加工與調(diào)整； 五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討（三）試題難度的調(diào)節(jié)1、改變提問方式2、改變題設(shè)條件3、改變綜合程度4、審查與復(fù)核5、以能力立意五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討試卷組拼的技術(shù)（四）試卷組拼技術(shù) （1）首先篩選足夠數(shù)量的合乎要求的試題入卷，全面落實(shí)各項(xiàng)要求，包括知識覆蓋面，重點(diǎn)的設(shè)置，涵蓋的能力要求，各能力層次的試題比例，難度的分布，試題的區(qū)分度，試卷的信度、效度，整體難度等等； （2）進(jìn)而將其按題型分類，每類試題有易到難排列，精心排好順序，形成初稿； （3）將初稿與預(yù)先設(shè)計(jì)的試卷結(jié)構(gòu)進(jìn)行諸項(xiàng)對比，反復(fù)校核，慎重調(diào)整、修改； （4）最后，請專家和主管部門審定參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)的編制。五、數(shù)學(xué)考試中的命題探討（五）參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 參考答案要科學(xué)、準(zhǔn)