241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義蘭州九中 姜旭東教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：1、利用物理中功的概念了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解向量的數(shù)量積概念及幾何意義；能夠運(yùn)用這一概念求兩個(gè)向量的數(shù)量積，并能根據(jù)條件逆用等式求 向量的夾角；2、掌握由定義得到的數(shù)量積的5條 重要性質(zhì)，并能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的判斷和 運(yùn)算；3、了解 用平面向量數(shù)量積可 以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用 意識(shí).過(guò)程與方法：（1）在學(xué)習(xí)和運(yùn)用向量的數(shù)量積的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)平面向量本質(zhì)及它與生活和自然科學(xué)聯(lián)系，認(rèn)識(shí)事物的統(tǒng)一性，并通過(guò)學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積感受數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法以

2、及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。（3）通過(guò)對(duì)向量的數(shù)量積的探究、交流、總結(jié)，從各角度、用各方法來(lái)體會(huì)向量之間的關(guān)系和作用，不斷從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)，。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義及應(yīng)用(能利用數(shù)量積解決求平行、垂直、夾角等問(wèn)題) 學(xué)習(xí)難點(diǎn): 平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。教學(xué)方法：探究、精講學(xué)習(xí)方法: 自主、合作探究學(xué)習(xí)法學(xué)習(xí)過(guò)程：回顧復(fù)習(xí)：向量的夾角：兩個(gè)非零向量夾角的概念：非零向量與，作， 則（）叫與的夾角（兩向量必須是同起點(diǎn)的） 特別地：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向； 當(dāng)時(shí)，與垂直，記

3、；物理問(wèn)題：一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生的位移，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？結(jié)論：功是一個(gè)標(biāo)量，功是力與位移兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積啟示：能否把“功”看成是力與位移這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？一、 平面向量的數(shù)量積的定義1、定義：已知兩個(gè)非零向量和，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.其中是和的夾角（）說(shuō)明：（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定.（2）記法“·”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。問(wèn)題1：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？ 問(wèn)題2：向量的數(shù)量積運(yùn)算與同向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同

4、？ 向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)數(shù)量 。問(wèn)題3：設(shè)和都是非零向量，時(shí)，等于多少？反之成立嗎？問(wèn)題4：當(dāng)與同向時(shí)，等于多少？當(dāng)與反向時(shí)，等于多少？ 特別地，等于多少?當(dāng)與同向時(shí),;當(dāng)與反向時(shí), 問(wèn)題5：與的大小關(guān)系如何？為什么？問(wèn)題6：對(duì)于與，如何求他們的夾角？2、向量數(shù)量積的性質(zhì)以上五條二、平面向量數(shù)量積的幾何意義（1）向量投影的概念：如圖，我們把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. 說(shuō)明：（1）作圖： 當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值 當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值 當(dāng)q°時(shí)投影為0當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |；當(dāng)q°時(shí)投影為0；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|（2）投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量。向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影cos 的乘積。（2）向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影cos 的乘積。三、數(shù)量積的運(yùn)算律（1） 交換律（2） 對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律（3） 分配律