2020年上海市徐匯區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題(含答案和解析)

1、2019學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷2020.5高三數(shù)學(xué)一、填空即（本大典共有12題，滿分54分，第1-6題短題4分，第772題每屈5分） 考生應(yīng)在答題好的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知LZ3,45»4=L3,5,則N不等式工4 3的蟀柒是 X3 ,函數(shù)/（K）= 8S節(jié)的最小正周期為4.若1+1 "是虛數(shù)單位）是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程”2+/+ 4=0的根，則夕弓5.方程sinx二:在三方上的解是若= +4是奇的數(shù),則實(shí)數(shù)。的值為 2-1 a7.二項(xiàng)式（X2 +白）$的展開式中的常數(shù)吸等于,（結(jié)果用數(shù)值表示）8-已知直線（a+2）x卜（l-a）y-3=0的方向向魚是直線（

2、。-1江卜（2卜3»+2=0的法向最,則實(shí)數(shù)6的值為.9.從數(shù)字1,21m4,56,78中任取2個數(shù),則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率為1C.在A4BC中，若阿+ 畫二府-畫,45 = 2,40=1,5尸為灰7邊的三,（結(jié)果用數(shù)值表示）等分點(diǎn).則屈*方=.1L如圖為某街區(qū)道路示意圖，圖中的實(shí)線為道路,每段道路旁的數(shù)字表示單向通 過此段道路時會遇見的行人人數(shù).在防控新冠肺炎疫怙期間，某人羔要從/1點(diǎn)由圖 中的道路到3點(diǎn)，為避免人員聚集，此人選擇了一生遇見的行人總?cè)藬?shù)最小的從N 到的行走找路，則此人從力到2?遇如的行人息人數(shù)最小值是.12 .設(shè)二次函數(shù) f(x) = (2/w+l)x'

3、 4 fix- m -2,”f, G R,H m W - 3 在213上至少有一個零點(diǎn)，則"戶+"的最小值為.二、選擇題（本大賽共有4題，滿分20分,每題5分）每題有且只有一個正確選項(xiàng). 將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.考生應(yīng)在答題近的相應(yīng)位置.13 .某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長 雎,經(jīng)過x年，綠化面積與炭綠化旬枳之比為y,則yf（x）的圖像大致為y.。.卜叫4BCD, £是。的中點(diǎn),已知4B = 2,ii. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）4B. 7T C.D 2萬22t 7一15.設(shè)點(diǎn)Pq+“XY）是角。終邊上一點(diǎn)，當(dāng)|0P|最小時，c

4、osa的值是A-空B.巫C.5 D-叵5555（2m915.若數(shù)列。也的通項(xiàng)公式分別為4=（-1廣90a, 4 = 2 + ，且勺 以對任意 wMfll成立, n則實(shí)數(shù)a的取值范困為（）-4 卜2,1) A -2彳4/三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下則各題必須在答整的相應(yīng)位置寫出必要的步騏.17.本題稿分14分，第（D小意6分，第（2）小題8分）如圖，在四枝錐尸-3CD,中，底面/BCD是矩形，R4J底囹AD = 1411 PA = 2,求：C1）三角形PC。的面積I（2）異面宜線3C與4以所成的角的大小.18.（本題滿分14分，第（D小黑6分，第（2）小成8分） 己知函數(shù) /（

5、x） = |3x-l|,g（） = l-|x|.CD解不等式/（同2； 求（6=/5）-鼠”）的最小值.19.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）某地為慶祝中華人民共和國成立七十周年，在一個半徑為506米、國心角為60°的扇形Q4B草坪上，由數(shù)千人的 表演團(tuán)隊手持光影屏蛆成紅熊圖案.已如紅旗國案為蛆形，其四個聯(lián)點(diǎn)中有兩個頂點(diǎn)N在線段。上，另兩個頂點(diǎn)P.。分別在弧49.線段。4上.（1）若/尸。兇：45°,求此紅就圖案的面積S,（2）求組成的紅旗圖案的最大面積.20,（本題滿分16分，第C1）小題4分，第（2）小題6分，第C3）小題6分）已知俺圓r：= Ka

6、>b> 0）的長軸長為2& .右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的更禽為a+1,a b瓦、耳分別為橢lar的左、右兩個焦點(diǎn).<1）求相劇的方程,（2）已知橢回F的切線/ （與槽園r有唯一交點(diǎn)）的方程為yn辰+ m,切線1與直線k = 1和亙線”=2分別交于點(diǎn)M、N,求證：陷為定值，并求此定值； 網(wǎng)（3）設(shè)矩形"BCD的四條邊所在亙線都和橢：Sir相切即每條邊所在直線與桶囪r有唯一交點(diǎn)），求矩形48co 的面枳S的取值藍(lán)圍.21.（本題滿分18分，第（1小題4分，第 小題6分，第（3）小題8分）設(shè)數(shù)列中前兩項(xiàng)給定，若對于每個正整數(shù)23,均存在正整數(shù)上使得用=%則稱數(shù)列4為“。數(shù)列

7、”. A（1）若數(shù)列4（£”）為4=1,.二-1的等比數(shù)列，當(dāng)23時，試向：4與qrl + %z是否相等,并說明 22數(shù)列是否為“。數(shù)列”；（2）討澄首項(xiàng)為公、公差為d的等并數(shù)列4是否為“Q數(shù)列”，并說明理由；已知數(shù)列%為“Q數(shù)列”，二0,二】，記5（珥4）= %1+/2+ -+。1，（"之2汨M），其中正整數(shù)及4-1,對于每個正整數(shù)當(dāng)正整敷企分別取1、2、力-1時里答的最大值記為最小值 K記為足球設(shè)Z =當(dāng)正整數(shù)"滿足3W/JM2020時，比較以與4r的大小，并求出瓦的最大值.2019學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2020.5填空題：

8、（本大迎共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第772題每SE5分1 . 2,42.（-s，0）U ；，十87. 58. 1 或T9,-73. 64. -45. -arcsin- 6. 23s 1010. 9411. 3412.5314分714二.選擇期：（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）13. D 14. B 15. A 16. B三、解答曲：（本大題共5題，滿分74分）17.（本題洛分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）【解】（1）因?yàn)?41底面483,所以2418.又4。18,所以C7ZL平面PAD,從而CDL PD. 2分因?yàn)镻D.42、（2無 =2后,CA2,所以

9、三角形PCD的面積為x 2 x 26=2石. 6分一（2）解法一如圖所示，以4點(diǎn)為原點(diǎn)，AB.孫分別為.制、y軸.z軸建立空間直角坐標(biāo)系，好2, 0,0）, 0 2伉0）,即,百，1）, 8 次二（1,可），沅=（0,2&,0）.10設(shè)方與藥畛角為6,則° AEBC 441 n nCOS9-T=rr=i-9-.AEWC 2x2V224由此可知，界面直線3c與/1E所成的角的大小是 解法二取PB中點(diǎn)居連接硒AF,則EFI BC,從而N4E尸（或其補(bǔ)角）是異面直線8C與71E所成的角；1。分在 A4EF 中，由 E氏五、AF=O、4E=2知A4E尸是等腰直角三角形，71 所以ZA

10、EQ1.4因此異面直線8C與/1E所成的角的大小是:418.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題濾分8分） 解（D 不等式即 |3x-l|2,2 分/. 2 4 3.x -1 < 2,.*. 4x4，, 所以，不等式的解集為一：6分4.r-2 xJ3（2）尸（N）= f（K）-8（幻=|3區(qū)一1| + 國一1 =，-2x O«xv；9 分-4x x <0 卜當(dāng) X）；時，尸（.，）？尸（；） = ,；當(dāng) 0,*vg 時，尸（x）> 尸；）=一,；當(dāng) XV0 時，#（.y）>F（0） = 0 ；綜上可得，當(dāng)%二；時，尸（可取得最小值為一：.-14分19.

11、（本題滿分14分，第1小題涌分6分，第2小題滿分8分）:.MN = ON - OM =強(qiáng) 0 1).S = PN,AW = 翁(6-1)=】250(3-7 (2)設(shè)ZP0N=2則8e(0°, 60°) 貝怔N 二 50百 sin 0 = QM, ON = 506 cos 8, A£V = QV-ai/ = 50V5cos6-50sm8紅款圖案面積S = MV x PN = 50G sin *50/ cos 8 - 50 sin 0) =2500(3 sin 6cos 8 >J3 sin 8) - -= 2500 |sm2-y(l-cos2<9) = 2

12、500石g =25003 sin(28+30°)- 當(dāng)夕=30°時，S.=1250石(平方米)4 分c/'、5)(平方米)一6分J、NMOW= 0A/cot6O0 = 5Osin&9分- - 11 分sin 28+geos 26 一;)【解】（1）由用意知，PN = ON = QMcot60。=半,2分V2V2.組成的紅旗圖家最大面積為1250,75平方米14分20(本題滿分16分，第1小題濡分4分，第2小題滿分6分，第3小題調(diào)分6分) 【解】(1) v 2a = 2>/2 a = 42,又,.(?+(: = 6 + 1, :.c = 1, v a2

13、=h2 + c1 /. 6 = I(2)直線/的方程為了=b+)代入楨網(wǎng)r方程得(1 + 2k) + 4hnr + 2w2 -2=0,6 分,直線/與幃圓相切.,. = 16k2m2 - 4(1+2aX2m2 - 2) = 8(1+22 - m2) = 0,jj， 0aMs« «Ba «bb mb was «mbb anoa ««_ asao».F2(l,0),A/(l,/r + ni),y(2,2A- + m)|A%| J(Z +，)2 陷 J(2-l)2+(2Jt+/n)2A2 + ZAw + J / 公 + 2fcw

14、+ 2A? +114 4k1 + 4km+w J V1 + 4公+ 4km + 2k2 +110分當(dāng)包二正.M為定值也._ + 4b+22 |ACF:| 2(3)當(dāng)矩形ABCD的一組對邊斜率不存在時，矩股ABCD面積S=4收；一12分 當(dāng)矩形ABCD的四邊的斜率都存在時，不妨設(shè)AI3和CD所在立線斜率為A, BC和AD所在立線斜率為2,ftjU = -l設(shè)直線AB方程為)，= h + 由第(2)小題殍/ = 2肥+1,由對稱性可得直線CD的方程為v = h -,且AB和CD的柜離4=懸=2倍=2尚設(shè)直線BC的方程為歹二區(qū)+珥同理理，/ = 2紀(jì)+】直線AD方程為y = Zy-,且BC與AD距離

15、12 =懸=2倍= 2i考慮到kA = -1,得矩形ABCD面積S = d4 = 2序i2、需i5+2（9 +無）2+k2 * + A2 914分設(shè) 1 =爐 +矛 則1 =犬 + 萬 221M=2 故，dwO時，對 =3,當(dāng)正當(dāng)數(shù)人在"片"3-1時，總有“尸外|+4-： +優(yōu)1 ,所以dwO時，數(shù)列盤 不是 "C 數(shù)歹U".-10 分 (3)由題設(shè)知，對于每個正整數(shù)>3,均有盤q”,A/“, = d>0 時，dV0 時，。3< :旦8 分Yrr=4 d = 0時，對于每個正整數(shù)A3,均存在正整數(shù)無二 】, 1M1W1, + 2Tt40

16、vS«6,綜上：A五 4 s 46,當(dāng)矩形ABCD有一組對邊斜率不存在，另一組對邊斜率為0時，S蚊小為4力當(dāng)矩形ABCD有一組對邊斜率 為1,另一組斜率為-1時，S最大為6.16分 21.(本題漏分18分，第1小題滿分4分，笫2小題滿分6分，第3小題滿分8分)【解】(1)因?yàn)閿?shù)列M,(wN)是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列，II .«* m» 0* * «( * aaaa o»aa» *m aB«a> o»«» a»B S*«»«*l 2)由干當(dāng)正整數(shù)2

17、3時，均有二勺，所以，%與明丁”2相等;2丫 T2,因?yàn)椋瑢γ總€正整數(shù)>3,存在左=2且1£2匕一1,使蹲勺士二七 所以數(shù)列盤為“C數(shù)列” -且對于所有止整數(shù)均有4s（：）«，,即（木）<勘4 A對于每個正空數(shù)"24,選取恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)，,14-1,使得”二當(dāng)0,，“=當(dāng)4 由$(%£)= %1+S(T 1)M%+ (”)/,則r(M,-% i)=此-s 產(chǎn) s(*-a i W q 】+T)M, 1-必!=(1)M i -% JM“- a.i & 7(A，t - g.| )13 分類似的i(%-"G = /% -加” =&am

18、p;-i -s(«,/)=I5 - - - s(-】j-】)v (7-1)* 一 (一 1)* = (/ T)(% - 1)7-1即 il - tft 4(a . - ffii 114 51，L BnJ / I I，因?yàn)榻?“ K%_1 «A/-I , 1«時以，2-1,所以M"-，* « ?(A J- a”_J W 7(i->.i) . tw 1/ 1 zv n 2/ .a,z 一冊 < rk'"*)« (a,叫.J，故 l-1Mj叫=(A/- 4f) + (%】 t“) «號。，廠 %)+ N(