高中導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1、2021/3/913.2.2基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的運(yùn)算法則高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修1-1 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2021/3/92可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公

2、式若則公式若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則2021/3/93可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11:( )0;2:();3:(sin )cos ;4:(cos )sin ;5:()ln (0);6:();17:(log)(0,1);ln18:(ln );nnxxxxaCxnxxxxxaaa aeexaaxaxx 公式公式公式公式公式公式公式且公式2021/3/94導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差差),即即:(

3、)( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法則法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再除以第二個函數(shù)的平再除以第二個函數(shù)的平方方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )

4、( )f xfx g xf x g xg xg xg x由由法則法則2:( ) ( )( )( )C f xC f xC fxC fx2021/3/950 x)()(xvxuxy證明：令證明：令 ).()()(xvxuxfy )()()()(xvxuxxvxxuy .)()()()(vuxvxxvxuxxu.xvxuxy即即 ).()()()(xvxuxvxu ).()()()(xvxuxvxu 法則法則12021/3/96法則法則2 .)(vuvuuv證明：令證明：令 ).()()(xvxuxfy )()()()(xvxuxxvxxuy ),()()()()()()()(xvxuxxvxux

5、xvxuxxvxxu .)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 0 x )()(xvxxv 2021/3/97xxvxxvxuxxvxxuxxu)()()()()()(xy).()()()(xvxuxvxu 即：即： vuvuuvy )(若若C為常數(shù)，為常數(shù)， .)(uCCu 2021/3/98) 0()(2vvvuvuvu, 0 x法則3)()()()()()()()()()()()()()()()()()(xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxxvxxvxxvxuxvxxuxxvxuxxvxxuxy)()()()()(2xvxvxuxvxuxy2021/3/9

6、90001205%( )(1 5%) .0110.0tpp tpptp例：假設(shè)某國家在年期間的通貨膨脹率為。物價（單位:元）與時間t（單位：年）有如下關(guān)系:其中 為時的物價。假定某種商品的，那么在第個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？（精確到0 1）0( )1.05ln1.05tp tp解：由導(dǎo)數(shù)公式：10(10)1.05 ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第個年頭,這種商品的價格約以0 8元/年的速度上漲。0510p 思考：若某種商品的，那么在第個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？0( )1.05ln1.05,tp tp(10)5 0.080.4p 2021/3/

7、9103:5284(80100).100 xx例日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加。已知1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用（單位:元）為：c(x)=求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率;(1)90%; (2)98%.解:凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。252845284 (100)5284 (100)( )100(100)xxc xxx=(25284(100) x20 (100)5284 ( 1)(100)xx 2021/3/91125284( )(100)c xx.8純凈度為90%時，凈化費用的瞬時變化率是52 4元/噸。252

8、84(1)(90)52.84(10090)c純凈度為98%時，凈化費用的瞬時變化率是1321元/噸。25284(2)(98)1321(10098)c2021/3/9122021/3/913例例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):322224(1)2312(2);(3);1(4)tan ;(5)(23) 1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx題型一：導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用題型一：導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用

9、2021/3/9142021/3/9152021/3/9162021/3/9172021/3/918題型二：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題型二：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2021/3/9192021/3/9202021/3/921例例6.已知曲線已知曲線S1:y=x2與與S2:y=-(x-2)2,若直線若直線l與與S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:設(shè)設(shè)l與與S1相切于相切于P(x1,x12),l與與S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).對于對于 則與則與S1相切于相切于P點的切線方程為點的切線方程為y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 對于對于 與與S2相切

10、于相切于Q點的切線方程為點的切線方程為y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因為兩切線重合因為兩切線重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,則則l為為y=0;若若x1=2,x2=0,則則l為為y=4x-4.所以所求所以所求l的方程為的方程為:y=0或或y=4x-4.2021/3/922例例5.某運(yùn)動物體自始點起經(jīng)過某運(yùn)動物體自始點起經(jīng)過t秒后的距離秒后的距離s滿足滿足s= -4t3+16t2. (1)此物體什么時刻在始點此物體什么時刻在始點? (2)什么時刻它的速度為零什么時刻它的速度為零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的時