Chapter 12 矩陣位移法分析

1、第十二章第十二章 矩陣位移法矩陣位移法12-1 概述概述力法和位移法力法和位移法傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析方法，依靠手算，可解決的結(jié)構(gòu)簡單。傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析方法，依靠手算，可解決的結(jié)構(gòu)簡單。計算機提供了強大的分析計算手段，使包括結(jié)構(gòu)力學計算機提供了強大的分析計算手段，使包括結(jié)構(gòu)力學在內(nèi)的眾多學科發(fā)生了巨大變化。在內(nèi)的眾多學科發(fā)生了巨大變化。許多過去靠手算難以解決，甚至是不可想象的結(jié)構(gòu)問許多過去靠手算難以解決，甚至是不可想象的結(jié)構(gòu)問題，由于以計算機為基礎的計算分析技術的出現(xiàn)，都題，由于以計算機為基礎的計算分析技術的出現(xiàn)，都迎刃而解。迎刃而解。在結(jié)構(gòu)力學中，適合電算的計算方法主要為結(jié)構(gòu)矩陣在結(jié)構(gòu)力學中，適合電算的計

2、算方法主要為結(jié)構(gòu)矩陣分析。分析。其特點：其特點：使用矩陣數(shù)學工具，適合編程及機器運算。使用矩陣數(shù)學工具，適合編程及機器運算。桿件結(jié)構(gòu)的矩陣分析，也稱桿件有限元法。桿件結(jié)構(gòu)的矩陣分析，也稱桿件有限元法。一、結(jié)構(gòu)離散化一、結(jié)構(gòu)離散化把結(jié)構(gòu)分解為把結(jié)構(gòu)分解為有限個單元有限個單元。對于桿件結(jié)構(gòu)，一般一。對于桿件結(jié)構(gòu)，一般一個桿件可作為一個單元。對單元進行分析：考察單個桿件可作為一個單元。對單元進行分析：考察單元的的內(nèi)力和位移之間關系。元的的內(nèi)力和位移之間關系。二、組裝單元二、組裝單元化整為零化整為零把各單元集合成原來結(jié)構(gòu)，要求各單元滿足平衡條把各單元集合成原來結(jié)構(gòu)，要求各單元滿足平衡條件和幾何條件：如

3、支撐條件和結(jié)點變形連續(xù)條件。件和幾何條件：如支撐條件和結(jié)點變形連續(xù)條件。對結(jié)構(gòu)整體分析對結(jié)構(gòu)整體分析化零為整化零為整根據(jù)所選未知量的不同，結(jié)構(gòu)矩陣分析有根據(jù)所選未知量的不同，結(jié)構(gòu)矩陣分析有矩陣位矩陣位移法（剛度法）和矩陣力法（柔度法）移法（剛度法）和矩陣力法（柔度法）。桿件有限元法的主要內(nèi)容：桿件有限元法的主要內(nèi)容：矩陣位移法的程序簡單，通用性強，運用最廣。矩陣位移法的程序簡單，通用性強，運用最廣。矩陣位移法很早提出，對手算很笨，很長時間沒有矩陣位移法很早提出，對手算很笨，很長時間沒有進展。進展。計算機出現(xiàn)后，由于它特別適合電算，一段時間發(fā)計算機出現(xiàn)后，由于它特別適合電算，一段時間發(fā)展非常迅速

4、，現(xiàn)在很成熟。展非常迅速，現(xiàn)在很成熟。12-1 概述概述 單元分析建立桿端力和桿端位移的關系。單元分析建立桿端力和桿端位移的關系。 除了轉(zhuǎn)角位移方程外，還考慮軸向位移，以矩陣形式除了轉(zhuǎn)角位移方程外，還考慮軸向位移，以矩陣形式表示。表示。局部坐標系局部坐標系 根據(jù)胡克定律和表根據(jù)胡克定律和表101，得出某桿端位移分量為，得出某桿端位移分量為1，其余分量為零時，各桿端力分量，然后疊加其余分量為零時，各桿端力分量，然后疊加,;,eeeeeeiiijjjNQMNQM桿端力為桿端力為桿端位移為桿端位移為,;,eeeeeeiiijjjuvwuvw桿端力和位移正負號：桿端力和位移正負號：軸力軸力 以以 正向

5、為正；剪力正向為正；剪力 以以 正向為正；正向為正；彎距逆時針為正彎距逆時針為正eNxeQy323222323222000012612600646200000012612600626400eeiieeiieeiiejejejEAEAllEIEIEIEINullllQvEIEIEIEIMllllNEAEAllQEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllejejejuv單元剛度方程單元剛度方程eeeFk簡寫簡寫為為eieieieejejejNQMFNQMeieieieejejejuvuv其中其中323222323222000012612600646200000012612600626400

6、eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll單元剛度矩陣為單元剛度矩陣為單元剛度矩陣的系數(shù)剛度系數(shù)的物理意義：單元剛度矩陣的系數(shù)剛度系數(shù)的物理意義：當其所在列對應的桿端位移分量當其所在列對應的桿端位移分量1，其余分量，其余分量0時，時，所引起的其所在行對應的桿端力分量的數(shù)值。所引起的其所在行對應的桿端力分量的數(shù)值。單元剛度矩陣性質(zhì)：單元剛度矩陣性質(zhì)：1）對稱性）對稱性 反力互等定理反力互等定理2）奇異性）奇異性 行列式行列式0，不存在逆矩陣，不存在逆矩陣桿端位移桿端位移桿端力；桿端力；由桿端力不能反求桿端位移由桿端

7、力不能反求桿端位移物理意義：物理意義：自由單元，兩端無約束，有剛體位移自由單元，兩端無約束，有剛體位移lejueiuijeeiNejN特例：特例：平面桁架中的桿件平面桁架中的桿件只有軸力，無剪力、彎距只有軸力，無剪力、彎距eeiieejjEAEANullNuEAEAll 單元剛度方程為單元剛度方程為12-3 單元剛度矩陣的坐標轉(zhuǎn)換單元剛度矩陣的坐標轉(zhuǎn)換單元剛度矩陣，在局部坐標系下建立。單元剛度矩陣，在局部坐標系下建立。對整體結(jié)構(gòu)，各桿方位各不相同，局部坐標系也各對整體結(jié)構(gòu)，各桿方位各不相同，局部坐標系也各不相同不相同需設定一個統(tǒng)一的坐標系：需設定一個統(tǒng)一的坐標系：整體坐標系整體坐標系ejXej

8、YejNejQeejjMMeeiiMMeiNeiXeiYeiQxyxy在整體坐標系中，在整體坐標系中，桿端力和桿端位桿端力和桿端位移向量為移向量為eieieieejejejXYMFXYMeieieieejejejuvuvcossin0000sin00000001000000cossin0000sincos0000001eeiieeiieeiieejjeejjeejjNXQYMMNXQYMM桿端力在局部坐標系和整體坐標系中的關系為桿端力在局部坐標系和整體坐標系中的關系為或者或者eeFTF同樣同樣eeT坐標轉(zhuǎn)換矩陣為坐標轉(zhuǎn)換矩陣為cossin0000sin00000001000000cossin0

9、000sincos0000001T性質(zhì)：性質(zhì)：正交矩陣正交矩陣1TTTeeeFkeeeTFk T1eeeTeeFT k TT k TeeeFk其中，整體坐標系中的單元剛度矩陣其中，整體坐標系中的單元剛度矩陣eTekT k T按單元的始末結(jié)點按單元的始末結(jié)點i,j進行分塊進行分塊eeeeiiiijieeeejijjjjFkkFkk單元剛度矩陣的具體形單元剛度矩陣的具體形式見式式見式12-23 平面桁架桿件，兩端只承受軸力，在整體坐標系下平面桁架桿件，兩端只承受軸力，在整體坐標系下的桿端力和桿端位移向量為的桿端力和桿端位移向量為ejXejYejNeiNeiXeiYxyxy,eeiieeeeiiii

10、eeeeeejjjjeejjXuFYvFFXuYvcossin00sincos0000cossin00sincosT坐標轉(zhuǎn)換矩陣坐標轉(zhuǎn)換矩陣12-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣矩陣位移法以結(jié)點位移為基本未知量。矩陣位移法以結(jié)點位移為基本未知量。整體分析（化零為整），把各單元的剛度矩陣組整體分析（化零為整），把各單元的剛度矩陣組裝成整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣。裝成整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣。為了避免混淆，需要對各單元和結(jié)點進行編號。為了避免混淆，需要對各單元和結(jié)點進行編號。1234,iiiiuv 結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量和結(jié)點力向量為結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量和結(jié)點力向量為1234,iiiiPXPPPYPMP Pi代表

11、結(jié)點代表結(jié)點i的外力向量，的外力向量，Xi,Yi和和Mi分別為作用于結(jié)分別為作用于結(jié)點點I的沿的沿x,y方向的外力和外力偶。方向的外力和外力偶。根據(jù)結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形連續(xù)條件組裝結(jié)構(gòu)原始剛根據(jù)結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形連續(xù)條件組裝結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣，度矩陣，或者總體剛度矩陣或者總體剛度矩陣(1)(1)111112(1)(1)(2)(2)2221222223(2)(2)(3)(3)3332333334(3)(3)444344000000PkkPkkkkPkkkkPkk組裝總體剛度矩陣規(guī)則：組裝總體剛度矩陣規(guī)則：對號入座對號入座(1)(1)111213141112(1)(1)(2)(2)21222324

12、21222223(2)(2)(3)(3)3132333432333334(3)(3)414243444344000000KKKKkkKKKKkkkkKKKKKkkkkKKKKkk 把每個單元剛度矩陣的四個子塊按其兩個下標號碼把每個單元剛度矩陣的四個子塊按其兩個下標號碼逐一送到總體剛度矩陣中相應的行和列的位置上面。逐一送到總體剛度矩陣中相應的行和列的位置上面。直接剛度法直接剛度法總體剛度矩陣性質(zhì)：總體剛度矩陣性質(zhì)：1）對稱性）對稱性2）奇異性）奇異性 對號入座時，具有相同下標的各單剛子塊，在總剛對號入座時，具有相同下標的各單剛子塊，在總剛中的同一位置疊加；沒有單剛子塊入座的位置為零中的同一位置疊

13、加；沒有單剛子塊入座的位置為零子塊。子塊。eiiiiKk1）總剛主子塊）總剛主子塊eimimKki,m相關結(jié)點相關結(jié)點零子塊；零子塊；i,m非相關結(jié)點非相關結(jié)點主子塊主對角線上的子塊；其余子塊副子塊。主子塊主對角線上的子塊；其余子塊副子塊。相交于同一個結(jié)點的所有桿件稱為該結(jié)點的相關單相交于同一個結(jié)點的所有桿件稱為該結(jié)點的相關單元；元；兩個結(jié)點之間有桿件直接聯(lián)結(jié)的稱為相關結(jié)點。兩個結(jié)點之間有桿件直接聯(lián)結(jié)的稱為相關結(jié)點。2）總剛副子塊）總剛副子塊12-5 支承條件的引入支承條件的引入(1)(1)111112(1)(1)(2)(2)2221222223(2)(2)(3)(3)3332333334(3

14、)(3)444344000000PkkPkkkkPkkkkPkk未知未知已知已知已知已知未知未知已知已知未知未知未知未知已知已知沒有考慮支承條件，結(jié)構(gòu)可以有任意剛體位移，總體沒有考慮支承條件，結(jié)構(gòu)可以有任意剛體位移，總體剛度矩陣奇異，逆陣不存在，不能求解結(jié)點位移。剛度矩陣奇異，逆陣不存在，不能求解結(jié)點位移。23,PP已知結(jié)點荷載；已知結(jié)點荷載；23,未知結(jié)點位移，待求；未知結(jié)點位移，待求；14,PP未知結(jié)點荷載（支座反力）；未知結(jié)點荷載（支座反力）；14,已知結(jié)點位移。已知結(jié)點位移。結(jié)點結(jié)點1,4為固定端，支承約束條件為為固定端，支承約束條件為1400 帶入剛度方程得帶入剛度方程得(1)(2)

15、(2)21222223(2)(2)(3)34323333PkkkPkkk或者或者PK這是引入支承條件的結(jié)構(gòu)剛度方程，這是引入支承條件的結(jié)構(gòu)剛度方程，P由已知結(jié)點荷由已知結(jié)點荷載構(gòu)成；載構(gòu)成；由未知結(jié)點位移構(gòu)成。由未知結(jié)點位移構(gòu)成。K為從總體剛度為從總體剛度矩陣中刪除與已知為零的結(jié)點位移對應的行和列得矩陣中刪除與已知為零的結(jié)點位移對應的行和列得到，稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，到，稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，縮減的總剛縮減的總剛 可以求出未知結(jié)點位移可以求出未知結(jié)點位移，進而求得支座反力，進而求得支座反力(1)212(3)344300PkPk引入支承條件，消除了結(jié)構(gòu)的剛體位移，結(jié)構(gòu)剛度引入支承條件，消除了結(jié)構(gòu)的剛體位

16、移，結(jié)構(gòu)剛度矩陣為非奇異矩陣，可以求解。矩陣為非奇異矩陣，可以求解。結(jié)點位移求出，可以計算各單元內(nèi)力。結(jié)點位移求出，可以計算各單元內(nèi)力。eeeFk整體坐標系中桿端力整體坐標系中桿端力局部坐標系中桿端力局部坐標系中桿端力eeeeFTFTk12-6 非結(jié)點荷載的處理非結(jié)點荷載的處理 結(jié)構(gòu)剛度方程中荷載向量為結(jié)點荷載向量，實際結(jié)結(jié)構(gòu)剛度方程中荷載向量為結(jié)點荷載向量，實際結(jié)構(gòu)常遇到非結(jié)點荷載，按靜力等效原則處理。構(gòu)常遇到非結(jié)點荷載，按靜力等效原則處理。計算出結(jié)點位移和內(nèi)力；計算出結(jié)點位移和內(nèi)力；把把1）、）、2）兩步內(nèi)力疊加，即原來荷載作用下的內(nèi)力）兩步內(nèi)力疊加，即原來荷載作用下的內(nèi)力解答解答類似力矩

17、分配法類似力矩分配法步驟：步驟：1）施加附加鏈桿和剛臂阻止所有結(jié)點的線位移和角位）施加附加鏈桿和剛臂阻止所有結(jié)點的線位移和角位移；各單元產(chǎn)生固端力，附加鏈桿和剛臂上有附加反力移；各單元產(chǎn)生固端力，附加鏈桿和剛臂上有附加反力和反力矩（可由結(jié)點平衡算出）。和反力矩（可由結(jié)點平衡算出）。2）取消附加鏈桿和剛臂，即把附加反力和反力矩反號）取消附加鏈桿和剛臂，即把附加反力和反力矩反號后作為荷載施加到結(jié)點上，為等效結(jié)點荷載，帶入結(jié)構(gòu)后作為荷載施加到結(jié)點上，為等效結(jié)點荷載，帶入結(jié)構(gòu)剛度方程計算。剛度方程計算。單元單元(e)在非結(jié)點荷載作用下，在局部坐標系中的固在非結(jié)點荷載作用下，在局部坐標系中的固端力為端力

18、為eFieFieeFiFieFeeFjFjeFjeFjNQFMFFNQM在整體坐標系中的固端力在整體坐標系中的固端力為為eFieFieeFiFieTeFFeeFjFjeFjeFjXYFMFT FFXYM 把它們反號，成為等效結(jié)點荷載。對號入座，送到結(jié)把它們反號，成為等效結(jié)點荷載。對號入座，送到結(jié)點荷載列陣。任一結(jié)點點荷載列陣。任一結(jié)點i上的等效結(jié)點荷載上的等效結(jié)點荷載Pei為為eFieFieFiEiEiEiEiMYXMYXP結(jié)點結(jié)點i上的總的結(jié)點荷載等效結(jié)點荷載直接結(jié)點上的總的結(jié)點荷載等效結(jié)點荷載直接結(jié)點荷載荷載EiDiiPPPEDPPP各單元最后固端力固端力總的結(jié)點荷載產(chǎn)生的桿各單元最后固端

19、力固端力總的結(jié)點荷載產(chǎn)生的桿端力端力eeeFekFFeeeFeTkFF12-7 矩陣位移法的計算步驟矩陣位移法的計算步驟1）結(jié)點、單元編號，設定整體坐標系和局部坐）結(jié)點、單元編號，設定整體坐標系和局部坐標系標系2）計算各桿單元剛度矩陣）計算各桿單元剛度矩陣3）形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣）形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣4）計算固端力、等效結(jié)點荷載及綜合結(jié)點荷載）計算固端力、等效結(jié)點荷載及綜合結(jié)點荷載5）引入支承條件，修改結(jié)構(gòu)剛度方程）引入支承條件，修改結(jié)構(gòu)剛度方程6）解線形方程組，求出結(jié)點位移）解線形方程組，求出結(jié)點位移7）計算各單元桿端力）計算各單元桿端力12-8 幾點說明幾點說明n結(jié)點位移分量的編號結(jié)點位移

20、分量的編號iiiivu 第第i個結(jié)點位移在整體結(jié)點位移向個結(jié)點位移在整體結(jié)點位移向量總的位置為量總的位置為3i-2, 3i-1, 3i123323 13iii單剛子塊對號入座形成總剛。單剛子塊對號入座形成總剛。MATLAB語言可以這樣做；語言可以這樣做；FORTRAN語言需要語言需要對每個矩陣元素這樣做。對每個矩陣元素這樣做。每個單剛子塊是每個單剛子塊是33階階矩陣，矩陣，9個元素。個元素。每個結(jié)點有每個結(jié)點有3個位移分個位移分量量31241234567891011 12 32456789 4526783912134526783910114122. 總剛的帶寬與存儲方式總剛的帶寬與存儲方式結(jié)構(gòu)

21、總剛度矩陣有許多零結(jié)構(gòu)總剛度矩陣有許多零元素，大型結(jié)構(gòu)的總剛矩元素，大型結(jié)構(gòu)的總剛矩陣尤其明顯。陣尤其明顯。稀疏矩陣：稀疏矩陣：具有大量具有大量零元素的矩陣零元素的矩陣總剛中的非零元素通總剛中的非零元素通常集中在主對角線附常集中在主對角線附近的斜帶形區(qū)域內(nèi)，近的斜帶形區(qū)域內(nèi)，為為帶狀矩陣帶狀矩陣在帶狀矩陣中，每行從主對角線元素起到該行最外一個非在帶狀矩陣中，每行從主對角線元素起到該行最外一個非零元素止所包含的元素個數(shù)，稱為該行的帶寬。零元素止所包含的元素個數(shù)，稱為該行的帶寬。某行帶寬該行結(jié)點位移分量號最小相關結(jié)點位移分量某行帶寬該行結(jié)點位移分量號最小相關結(jié)點位移分量號號1所有各行帶寬中的最大值

22、稱為矩陣的最大帶寬所有各行帶寬中的最大值稱為矩陣的最大帶寬最大帶寬相關結(jié)點位移分量號的最大差值最大帶寬相關結(jié)點位移分量號的最大差值+1滿陣存儲：編程時，可以把總剛的全部元素存儲在計算機滿陣存儲：編程時，可以把總剛的全部元素存儲在計算機中起來中起來編程簡單。編程簡單。等帶寬存儲：只存儲下半帶（上半帶）在最大帶寬范圍內(nèi)等帶寬存儲：只存儲下半帶（上半帶）在最大帶寬范圍內(nèi)的元素的元素最大帶寬愈大，存儲量愈大。編程有些復雜。最大帶寬愈大，存儲量愈大。編程有些復雜。結(jié)點編號時，應該盡量使相關結(jié)點編號的最大差值為最小。結(jié)點編號時，應該盡量使相關結(jié)點編號的最大差值為最小。變帶寬存儲：對于對稱帶狀矩陣，每行只存儲下半帶在該變帶寬存儲：對于對稱帶狀矩陣，每行只存儲下半帶在該行帶寬內(nèi)的元素。編程比較復雜。行帶寬內(nèi)的元素。編程比較復雜。3. 支承條件的引入支承條件的引入前面所述引入支承條件的辦法，是刪去零位移相前面所述引入支承條件的辦法，是刪去零位移相應的行和列，修改原始剛度矩陣。應的行和列，修改原始剛度矩陣。剛度矩陣的階數(shù)降低，但總剛原來的行列編號也剛度矩陣的階數(shù)降低，但總剛原來的行列編號也要改變，對于編程不便。要改變，對于編程不便。實際編程中，常采用實際編程中，常采用“乘大數(shù)法乘大數(shù)法”、“置大數(shù)法置大數(shù)法”和和“劃零置一法劃零置一法”來施加支承條件（邊