選修2-1雙曲線集體備課教案--雙曲線的方程及其應(yīng)用

1、赫章一中集體備課資料2014-2015第一學(xué)期高二年級課堂教學(xué)教案學(xué)科： 數(shù)學(xué) 備課組教師： 集體討論時間：2014年12月 日 教案執(zhí)行時間： 2014年12月 日課題2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課型新授課主備教師 教學(xué)課時數(shù)1教學(xué)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義，幾何圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).2掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程3.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的問題教學(xué)重點雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用.教法與學(xué)法講練結(jié)合教學(xué)用具是否用多媒體是教 學(xué) 過 程補(bǔ)充1、 新課引入：1悲傷的雙曲線如果我是雙曲線，你就是那漸近線如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標(biāo)軸雖然我們有緣，能夠

2、生在同一個平面然而我們又無緣，漫漫長路無交點為何看不見，等式成立要條件難道正如書上說的，無限接近不能達(dá)到為何看不見，明月也有陰晴圓缺此事古難全，但愿千里共嬋娟2.PPT展示生活中的雙曲線,引出本節(jié)的課題。二、課堂探究：探究點1 雙曲線的定義問題1：橢圓的定義？：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓.；問題2：如果把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差等于非零常數(shù)的點的軌跡 ”是什么？看圖分析動點M滿足的條件：如圖(A)，如圖(B)，即由可得：（非零常數(shù)）上面兩條曲線合起來叫做雙曲線

3、,每一條叫做雙曲線的一支.雙曲線定義平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于)的點的軌跡叫做雙曲線. 兩個定點雙曲線的焦點;雙曲線的焦距.（）【舉一反三】1.定義中為什么要強(qiáng)調(diào)差的絕對值？（若不加絕對值，則曲線為雙曲線的一支）2.定義中的常數(shù)可否為0，,？ 【說明】不能，若為0，曲線就是F1F2的垂直平分線了； 若為,曲線應(yīng)為兩條射線； 若為,這樣的曲線不存在.探究點2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.建系.如圖建立直角坐標(biāo)系，使軸經(jīng)過兩焦點，軸為線段的垂直平分線.2.設(shè)點.設(shè)為雙曲線上任意一點,雙曲線的焦距為,則，又設(shè)點M與的距離的差的絕對值等于常數(shù).3.列式由定義可知，雙曲線就是集合： 即

4、4.化簡代數(shù)式化簡得：兩邊同除以得：由雙曲線的定義知，,即,故,令，其中，代入上式得： 上面方程是雙曲線的方程,我們把它叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點在軸上，焦點分別是的雙曲線，這里.【想一想】焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該是什么？我們應(yīng)該如何求解？【提升總結(jié)】1.橢圓與雙曲線的定義比較2.當(dāng)焦點不確定時，橢圓的方程可設(shè)為雙曲線方程可設(shè)為。三、典例精講例1.已知雙曲線兩個焦點，雙曲線上一點P到距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為因為，所以，所以因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：例2 . 已知A,B兩地相距800 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地

5、晚2 s,且聲速為340 m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.分析:首先根據(jù)題意,判斷軌跡的形狀.由聲速及A，B兩處聽到爆炸聲的時間差,可知A，B兩處與爆炸點的距離的差為定值. 這樣，爆炸點在以A，B為焦點的雙曲線上.因為爆炸點離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上.解: 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系,使A，B兩點在軸上，并且坐標(biāo)原點O與線段AB的中點重合.設(shè)爆炸點P的坐標(biāo)為，則 即 ，因為，所以因此炮彈爆炸點的軌跡（雙曲線）的方程為【舉一反三】1.若在A,B兩地同時聽到炮彈爆炸聲,則炮彈爆炸點的軌跡是什么?解: 爆炸點的軌跡是線段AB的垂直平分線.2.根據(jù)兩個不同的觀測點測得同一炮

6、彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點在某條曲線上，但不能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置. 而現(xiàn)實生活中為了安全，我們最關(guān)心的是炮彈爆炸點的準(zhǔn)確位置，怎樣才能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置呢?解:再增設(shè)一個觀測點C，利用B，C（或A，C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個重要應(yīng)用.四、課堂訓(xùn)練1已知兩定點，動點P滿足，則當(dāng)3和5時，P點的軌跡為()A雙曲線和一直線 B雙曲線和一條射線C雙曲線的一支和一條射線 D雙曲線的一支和一條直線2. 若方程的曲線是焦點在軸上的雙曲線，則Î 3. 若雙曲線過點和兩點，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

7、小結(jié)1. 雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；2.雙曲線焦點位置的確定方法；3.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵（定位，定量）；4.雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系.布置作業(yè)板書設(shè)計 集 體 備 課 補(bǔ) 充 部 分 年 月 日2014-2015第一學(xué)期高二年級課堂教學(xué)教案學(xué)科： 數(shù)學(xué) 備課組教師： 集體討論時間：2014年12月 日 教案執(zhí)行時間： 2014年12月 日課題2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 第1課時 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課型新授課主備教師 教學(xué)課時數(shù)1教學(xué)目標(biāo)1.通過雙曲線的方程和幾何圖形，了解雙曲線的對稱性、范圍、頂點、離心率等簡單幾何性質(zhì).2了解雙曲線的漸近性，并能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單的

8、問題教學(xué)重點雙曲線的簡單性質(zhì)（范圍、對稱性、離心率、漸近線）的理解及簡單應(yīng)用教學(xué)難點對漸近線的理解和應(yīng)用.教法與學(xué)法講練結(jié)合教學(xué)用具是否用多媒體是教 學(xué) 過 程補(bǔ)充1、 新課引入：多媒體展示冷卻通風(fēng)塔的圖片我們知道，電能是現(xiàn)代生活不可缺少的能源，目前我國主要靠火力發(fā)電，而火力發(fā)電主要是在火力發(fā)電廠中進(jìn)行，火力發(fā)電廠簡稱“火電廠”，其形狀就像照片中“粗煙囪”.那么這些“粗煙囪”是怎樣建成的呢？這就需要我們了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)二、課堂探究：探究點1 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)如果我們也按照橢圓的幾何性質(zhì)的研究方法來研究雙曲線，那么雙曲線將會具有什么樣的幾何性質(zhì)呢？回憶一下雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：.（焦點在

9、軸上）1. 范圍因為2. 對稱性以代方程不變，故圖象關(guān)于 軸對稱；以代方程不變，故圖象關(guān)于 軸對稱；以代且以代方程不變，故圖象關(guān)于 原點 對稱3. 頂點（1） 令=0，得,則雙曲線與x軸的兩個交點為，我們把這兩個點叫雙曲線的頂點;令=0,得,這個方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線與軸沒有交點，但我們也把畫在軸上.（2） 如圖，線段叫做雙曲線的實軸，它的長為,叫做雙曲線的半實軸長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長為,叫做雙曲線的半虛軸長.4.漸近線下面我們證明雙曲線上的點在沿曲線向遠(yuǎn)處運動時，與直線逐漸靠攏. 方案1：考查點到直線的距離 方案2：考查同橫坐標(biāo)的兩點間的距離 .由雙曲線的對稱性知，我們只需證明

10、第一象限的部分即可.如圖：設(shè)是雙曲線上面的點，則是直線上有相同橫坐標(biāo)的點，則因為 （點N總是在點M上方），所以因為是點M到直線的距離，且，當(dāng)逐漸增大時，逐漸減小，無限增大，接近于0，也接近于0.對于雙曲線，直線叫做雙曲線的漸近線。注意：1.雙曲線的漸近線直線 2.漸近線是雙曲線特有的幾何性質(zhì)，它決定著雙曲線張口的開闊與否.在方程，如果，那么雙曲線的方程為，它的實軸長和虛軸長都等于2.這時，四條直線圍成正方形，漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸與虛軸所成的角。等軸雙曲線： 實軸與虛軸等長的雙曲線。 等軸雙曲線方程為若焦點不確定，可設(shè)為 5. 離心率 與橢圓類似，雙曲線的焦距與實軸長的

11、比，叫做雙曲線的離心率。因為，所以雙曲線的離心率 思考：離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？由 因此，e越大，漸近線斜率越大，傾斜角越大，張角越大，張口越開闊，e越小，漸近線斜率越小，傾斜角越小，張角越小，張口越扁狹.所以雙曲線的離心率是反應(yīng)雙曲線開口大小的幾何量.【提升總結(jié)】1.與雙曲線有相同焦點的雙曲線方程為 2.與雙曲線有相同漸近線方程的雙曲線方程為 3.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)以-x代x且以-y代y方程不變，故圖象關(guān)于 對稱原點三、典例精講【例】求雙曲線的半實軸長和半虛軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程解：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：由此可知， 則 于是雙

12、曲線的半實軸長 半虛軸長 焦點在軸上，焦點坐標(biāo)為 離心率 漸近線方程為【提升總結(jié)】求漸近線方程的方法： 1根據(jù)焦點坐在坐標(biāo)軸直接寫漸近線方程 2將雙曲線中的常數(shù)項變?yōu)?，反解出即可，如例題1中，將144變?yōu)?，即，解出4、 課堂訓(xùn)練1.(2014·廣東高考)若實數(shù)k滿足0<k<5，則曲線與曲線的（ ）A.實半軸長相等 B.虛半軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等2.雙曲線的漸近線方程為（ ）3與雙曲線 有共同的漸近線，且過點(2，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 4.求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過點P(1，3)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié)布置作業(yè)板書設(shè)計 集 體 備 課

13、 補(bǔ) 充 部 分 年 月 日2014-2015第一學(xué)期高二年級課堂教學(xué)教案學(xué)科： 數(shù)學(xué) 備課組教師： 集體討論時間：2014年12月 日 教案執(zhí)行時間： 2014年12月 日課題2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第2課時 雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用課型新授課主備教師 教學(xué)課時數(shù)1教學(xué)目標(biāo)1進(jìn)一步掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，能解決雙曲線有關(guān)的綜合問題2掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷方法，能利用直線和雙曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦等問題，提高知識的綜合應(yīng)用能力教學(xué)重點直線與雙曲線的交點個數(shù)，弦長和中點弦問題教學(xué)難點直線與雙曲線的綜合問題.教法與學(xué)法講練結(jié)合教學(xué)用具是否用多媒體是教 學(xué) 過

14、程補(bǔ)充一、復(fù)習(xí)回顧：二、課堂探究：探究點1 由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程【例題1】雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖），它的最小半徑為12m,上口半徑為13m，下口半徑為25m,高為55m，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程。（精確到1m）解：如圖，建立冷卻塔的軸截面所在平面的直角坐標(biāo)系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合，這時，上、下口的直徑都平行于軸，且 設(shè)雙曲線的方程為，令點C的坐標(biāo)為，（y>0）則點B坐標(biāo)為因為點B,C在雙曲線上，所以所以所求雙曲線的方程為【提升總結(jié)】已知雙曲線的幾何性質(zhì)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程的方法步驟：(1)確定焦點所在的位置，以確定雙

15、曲線方程的形式；(2)確立關(guān)于的方程(組)，求出參數(shù)；(3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求點M的軌跡.解：設(shè)d是點M到直線的距離,根據(jù)題意有：由此得：化簡變形得：所以點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。【拓展延伸】雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)（）的動點的軌跡是雙曲線 【提升總結(jié)】雙曲線中應(yīng)注意的幾個問題：(1)雙曲線是兩支曲線，而橢圓是一條封閉的曲線；(2)雙曲線的兩條漸近線是區(qū)別于其他圓錐曲線所特有的；(3)雙曲線只有兩個頂點，離心率e>1；(4)等軸雙曲線是一種比較特殊的雙曲線，其離心率，實軸

16、長與虛軸長相等，兩條漸近線互相垂直;(5)注意雙曲線中的等量關(guān)系與橢圓中的不同探究點2 直線與雙曲線的位置關(guān)系種類：相離; 相切; 相交(一個交點, 兩個交點)【提升總結(jié)】直線與雙曲線的位置關(guān)系：1.位置關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法(代數(shù)法)通法 聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元得到一元二次方程（當(dāng)二次項系數(shù)不為0時） (1)>0直線與雙曲線相交有兩個公共點； (2)=0直線與雙曲線相切有且只有一個公共點； (3)<0 直線與雙曲線相離無公共點3. 弦長公式 4.點差法：若和是雙曲線上的兩點，是AB的中點，是AB所在直線的斜率,O是坐標(biāo)原點。則有：【例題3】過雙曲線的右焦點,傾斜角為的直線交雙曲線與A，B兩點，求.解：由題意知：，的坐標(biāo)為因此直線AB方程為聯(lián)立消去得：思路一(兩點間距離公式)：解這個方程得：代入直線方程得于是所以思路二（弦長公式）：設(shè)則有【變式練習(xí)】能否求出的周長？3、 課堂訓(xùn)練1