多元復合函數(shù)的求導法則

1、第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 一、多元函數(shù)與一元函數(shù)復合一、多元函數(shù)與一元函數(shù)復合定理定理4.4.設(shè)設(shè)( , )zf u v可微，可微， ( ),( )uu t vv t可導可導 ，則復合函數(shù)，則復合函數(shù)( ( ), ( )zf u t v t可導，且可導，且dzz duz dvf duf dvdtu dtv dtu dtv dt(8) tt, ,u v z,uvz證：設(shè)證：設(shè)有增量有增量，則，則相應地獲得增量相應地獲得增量， zvutt因為因為f可微，所以可微，所以 ， ( )ffzuvouv22uv，其中，其中.22( )( )ouvottt，222200(

2、)( )limlim00ttoouvdudvtttdtdt.所以所以0000( )limlimlimlimttttzfufvotutvtt ，故故 dzf duf dvdtu dtv dt（8）式稱為全導數(shù)公式）式稱為全導數(shù)公式.vzu2sin ,ut vtdzdt例例16 設(shè)設(shè)，若，若, 求求.解：由于解：由于 1,vzvuulnvzuuvsin ,ut2vt而而 , 從而從而cos ,dutdt2 ,dvtdt因此由（因此由（8）式得）式得dzz duz dvdtu dtv dt1cos2 (ln )vvvutt uu2221(sin )cos2 (sin ) lnsintttttttt二

3、、二、 多元函數(shù)與多元函數(shù)的復合多元函數(shù)與多元函數(shù)的復合 定理定理5 ( , )zf u v( , )uu x y( , )vv x y 設(shè)設(shè)可微可微, ,存在偏導數(shù)存在偏導數(shù), 則復合函數(shù)則復合函數(shù)( ( , ), ( , )zf u x y v x y存在偏導數(shù)存在偏導數(shù),且且zzuzvfufvxuxvxuxvx（9） zzuzvfufvyuyv yuyv y （10） zvuyxyx22ln ,zuv uxyvxy,zzxy例例17 設(shè)設(shè) 求求.解解: 由由(9)與與(10)分別可得分別可得zzuzvxuxv x 22ln(2 )2 lnuxyvxyxxyvx例例18 設(shè)設(shè) 具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), 求求， ln(2 )zzuzvuvyxyuyv yv 222 lnxyyxyy=. f2(,),zf xy xy.xyz 122,xzxfyf12,ff2,xy xy解解: 注意到注意到還是變量還是變量的函數(shù)的函數(shù), 所以所以 12111221222(2