高等數(shù)學(xué)課件完整版

1、一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無(wú)限集無(wú)限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說(shuō)說(shuō)則則必必若若BABxAx .BA 記記作作數(shù)集分類(lèi)數(shù)集分類(lèi):N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱(chēng)稱(chēng)集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素

2、的集合稱(chēng)為不含任何元素的集合稱(chēng)為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間,),(ba記記作作bxax 稱(chēng)為閉區(qū)間稱(chēng)為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義區(qū)間長(zhǎng)度

3、的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度)稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)( axxaU,鄰鄰域域的的稱(chēng)稱(chēng)為為點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)集集 aaxx 5.5.絕對(duì)值絕對(duì)值: : 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式: (1) 符號(hào)函數(shù)符

4、號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)表示不超過(guò) 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例

5、如如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為分段函數(shù)分段函數(shù).例例2 2.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無(wú)界無(wú)界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否則稱(chēng)無(wú)界否則稱(chēng)無(wú)界上有界上有界在在則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)Xxf2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)

6、的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性

7、:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)xf有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如如果果存存在在一一個(gè)個(gè)不不為為零零的的.)()(恒恒成成立立且且xflxf 為為周周則則稱(chēng)稱(chēng))(xf.)( ,DlxDxl 使使得得對(duì)對(duì)

8、于于任任一一數(shù)數(shù).)(,的的周周期期稱(chēng)稱(chēng)為為期期函函數(shù)數(shù)xfl2l 2l23l 23l)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).xy 四、反函數(shù)四、反函數(shù)五、小結(jié)五、小結(jié)基本概念基本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 絕對(duì)值絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)反函數(shù)一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是是常常數(shù)數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2.

9、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 5.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反余弦函數(shù)反

10、余弦函數(shù)xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arcxycot arc二、復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義: 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(ufy 的的定定義義域域fD, 而而函函數(shù)數(shù))(xu 的的值值域域?yàn)闉?Z, 若若 ZDf, 則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù).,自變量自變量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y注意注意: :1.不是任

11、何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為初等函數(shù)初等函數(shù).例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx

12、 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦xycosh xysinh ),(: D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙雙曲曲余余弦弦),(: D偶函數(shù)偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 x

13、ey 21xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙雙曲曲正正切切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2.反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在 ), 1

14、 :D y反反雙雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在 y反雙曲正切反雙曲正切tanharxytanh arxtanharx y四、小結(jié)四、小結(jié)函數(shù)的分類(lèi)函數(shù)的分類(lèi):函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )思考題思考題下下列列函

15、函數(shù)數(shù)能能否否復(fù)復(fù)合合為為函函數(shù)數(shù))(xgfy ，若若能能，寫(xiě)寫(xiě)出出其其解解析析式式、定定義義域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu思考題解答思考題解答2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的的值值域域與與)(uf的的定定義義域域之之交交集集是是空空集集._1反反三三角角函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，三三角角函函數(shù)數(shù)和和、冪冪函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，._)(ln31)(2的的定定義義域域?yàn)闉?，則則函函數(shù)數(shù)，的的定定義義域域?yàn)闉?、函函?shù)數(shù)xfxf一、填空題

16、一、填空題:._32復(fù)合而成的函數(shù)為復(fù)合而成的函數(shù)為，、由函數(shù)、由函數(shù)xueyu ._2lnsin4復(fù)合而成復(fù)合而成由由、函數(shù)、函數(shù)xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑸闉椋┑亩x域）的定義域（，則，則，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?、若、?aaxfaxfaaxfxfxfxf練練 習(xí)習(xí) 題題.sin的的圖圖形形”作作函函數(shù)數(shù)二二、應(yīng)應(yīng)用用圖圖形形的的“疊疊加加xxy .)()()(111011)(，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求，三、設(shè)三、設(shè)xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30. 0502

17、0. 0500220形形出圖出圖之間的函數(shù)關(guān)系，并作之間的函數(shù)關(guān)系，并作千克千克于行李重量于行李重量元元元，試建立行李收費(fèi)元，試建立行李收費(fèi)出部分每千克出部分每千克千克超千克超元，超出元，超出千克每千克收費(fèi)千克每千克收費(fèi)千克以下不計(jì)費(fèi)，千克以下不計(jì)費(fèi)，定如下：定如下：四、火車(chē)站行李收費(fèi)規(guī)四、火車(chē)站行李收費(fèi)規(guī)xxf一、一、1 1、基本初等函數(shù)；、基本初等函數(shù)； 2 2、,3ee； 3 3、2xey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, kk2,2,1 ,aa , , 212101 ,aaaa . .三、三、 1, 10, 00, 1)(xxxxgf； 1,1

18、1, 11,)(xexxexfg. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案四四、 50),50(3 . 0105020,2 . 0200 xxxxxy“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;211 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖

19、長(zhǎng)為;212122 X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和為為第第nnX211 1二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱(chēng)為稱(chēng)為無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)其中的每個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的列的項(xiàng)項(xiàng),nx稱(chēng)為稱(chēng)為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作

20、一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”

21、意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只只要要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時(shí)時(shí)只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定定義義 如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù)N, ,使使得得對(duì)對(duì)于于Nn 時(shí)時(shí)的的一一切切nx

22、, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就稱(chēng)稱(chēng)常常數(shù)數(shù)a是是數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限, ,或或者者稱(chēng)稱(chēng)數(shù)數(shù)列列nx收收斂斂于于a, ,記記為為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒(méi)有極限如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的的無(wú)無(wú)限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式axaxnn . 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外個(gè)個(gè)至至多多只只有有只只有有有有限限個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)都都落落在在所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :定定義義N

23、其中其中;:每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至至少少有有一一個(gè)個(gè)或或存存在在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒恒有有時(shí)時(shí)使使數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自

24、然數(shù).limCxnn 說(shuō)明說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,l

25、imaxnn ,1 axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 四、四、數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性定義定義: 對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱(chēng)數(shù)列則稱(chēng)數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱(chēng)為無(wú)界稱(chēng)為無(wú)界.例如例如,;1 nnxn數(shù)數(shù)列列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無(wú)界無(wú)界定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取

26、取, 1, axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)時(shí)有有則則當(dāng)當(dāng)Nn )()(axbx

27、bann axbxnn .2 .時(shí)才能成立時(shí)才能成立上式僅當(dāng)上式僅當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成成立立有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)無(wú)無(wú)休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但但卻卻發(fā)發(fā)散散是是有有界界的的事事實(shí)實(shí)上上nx3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列如果數(shù)列收斂

28、于收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是是anx五五.小結(jié)小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性唯一性有界性唯一性.思考題思考題指指出出下下列列證證明明1lim nnn中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤。證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當(dāng)當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考題解答思考題解答 1nn)1l

29、n(ln1 nn（等價(jià)）（等價(jià)）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實(shí)際上就是不等式實(shí)際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒(méi)有采用即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大適當(dāng)放大” 的值的值nnln從而從而 時(shí)，時(shí)，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為反而縮小為n2ln一、一、 利用數(shù)列極限的定義證明利用數(shù)列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明

30、：0lim nnnyx. .練練 習(xí)習(xí) 題題“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、

31、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)

32、當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題問(wèn)題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)程中過(guò)程中, 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)函數(shù)值函數(shù)值)(xf無(wú)限無(wú)限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接

33、接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或:. 1 定義定義定義定義X .

34、)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: X X.2,)(,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxx

35、xsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題問(wèn)題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)程中過(guò)程中,對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)函數(shù)值函數(shù)值)(xf無(wú)限無(wú)限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體

36、體現(xiàn)現(xiàn)xx 定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或:. 1 定義定義定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的

37、帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 例例2).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成成立立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAx

38、f ,成成立立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就就有有,00 xxx .00且且不不取取負(fù)負(fù)值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)

39、(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩兩種種情情況況分分別別討討論論和和分分00 xx,0 xx從從左左側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近; 00 xx記記作作,0 xx從從右右側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000Ax

40、fxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過(guò)過(guò)程程的的一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)刻刻, ,在在此此時(shí)時(shí)刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0

41、000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號(hào)性保號(hào)性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論4.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(),(,),(

42、),(,)(.),(),(21000時(shí)時(shí)的的子子列列當(dāng)當(dāng)為為函函數(shù)數(shù)即即則則稱(chēng)稱(chēng)數(shù)數(shù)列列時(shí)時(shí)使使得得有有數(shù)數(shù)列列中中或或可可以以是是設(shè)設(shè)在在過(guò)過(guò)程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時(shí)時(shí)的的一一個(gè)個(gè)子子列列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)數(shù)列列若若定理定理證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxy

43、sin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相

44、等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結(jié)四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見(jiàn)下表見(jiàn)下表)過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(思考題

45、思考題試問(wèn)函數(shù)試問(wèn)函數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的左、右極限是否存在？當(dāng)?shù)淖?、右極限是否存在？當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，)(xf的的極限是否存在？極限是否存在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，必必有有時(shí)時(shí)，只只要要取取，問(wèn)問(wèn)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時(shí)時(shí)，取取，問(wèn)

46、問(wèn)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習(xí)習(xí) 題題.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時(shí)極限存在的充分時(shí)極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存在存在時(shí)的極限是否時(shí)的極限是否在在四、討論：函數(shù)四、討論：函數(shù) xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向

47、無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù)

48、xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、無(wú)窮小一、無(wú)窮小1.定義定義:定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)

49、( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 )(xf, ,那末那末 稱(chēng)函數(shù)稱(chēng)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小, ,記作記作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或極限為零的變量稱(chēng)為極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小無(wú)窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是

50、當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)列列 nnn注意注意1.無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)

51、的的無(wú)無(wú)窮窮小小.意義意義 1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮無(wú)窮小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達(dá)式附近的近似表達(dá)式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理2 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小仍是無(wú)窮小.證證,時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)及及設(shè)設(shè) x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)Nx;22 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng)Nx,max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nx 22 , )(0 x注意注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的

52、代數(shù)和未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .是無(wú)窮小，是無(wú)窮小，時(shí)時(shí)例如例如nn1, .11不是無(wú)窮小不是無(wú)窮小之和為之和為個(gè)個(gè)但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證證內(nèi)內(nèi)有有界界，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則,0時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)又又設(shè)設(shè)xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)推論推論1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小積是無(wú)窮小.推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的

53、乘積是無(wú)窮小.推論推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.,min21 取取恒恒有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng),00 xx uuMM , .,0為為無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )

54、(, ,則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大無(wú)窮大.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大界變量未必是無(wú)窮大.)(lim. 20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxxxxy1sin1 .

55、,1sin1,0,但不是無(wú)窮大但不是無(wú)窮大是一個(gè)無(wú)界變量是一個(gè)無(wú)界變量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大無(wú)界，無(wú)界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)

56、是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為為無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無(wú)窮大為無(wú)窮大時(shí)

57、時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論的討論.四、小結(jié)四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1） 無(wú)窮小（無(wú)窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2 2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小. .（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大無(wú)界

58、變量未必是無(wú)窮大.思考題思考題若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，問(wèn)：能否保證有問(wèn)：能否保證有0 A的結(jié)論？試舉例說(shuō)明的結(jié)論？試舉例說(shuō)明.思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空題一、填空題: :1 1、 凡無(wú)窮小量皆以、 凡無(wú)窮小量皆以_為極限為極限. .)(,_2的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)直直線線條條件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是是無(wú)無(wú)窮窮小小則則是是無(wú)無(wú)窮窮大大若若、在在同同一一過(guò)過(guò)程程中中xf

59、.10,21,0:4 yxxxyx能能使使應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件問(wèn)問(wèn)是是無(wú)無(wú)窮窮大大函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)二二、根根據(jù)據(jù)定定義義證證明明練練 習(xí)習(xí) 題題.,0,1,0(1sin1這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)但但當(dāng)當(dāng)上上無(wú)無(wú)界界在在區(qū)區(qū)間間三三、證證明明函函數(shù)數(shù) xxxy一一、1 1、0 0； 2 2、Cxfxx )(lim； 3 3、； 4 4、)(1xf. .二二、210104 x. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxf

60、BxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.)(lim)(lim,)(