圓冪定理——老師用

1、精品文檔切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 切線長概念切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“ 切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而 “切線 ” 是一條直線，它不可以度量長度。2. 切線長定理對于切線長定理，應(yīng)明確（ 1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等； （ 2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑； （3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形； （ 4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補； （ 5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的

2、兩條切線所夾的角。3. 弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線 AB切O于 P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4. 弦切角定理： 弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。1歡迎下載精品文檔5. 弄清和圓有關(guān)的角： 圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想 “ 角”弦切角， “ 線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。7. 與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相 交 弦 O中， AB、 CD為弦， PA·PB連結(jié) AC、BD，證：定理交于 P.PC·PD. APC DPB.相 交 弦2用相交弦定理 . O 中， AB 為直徑， P

3、CPA·PB.定 理 的CDAB于 P.推論切 割 線 O中，PT切 O于 T，PT2PA·PB連結(jié)TA、 TB，證：定理割線 PB交O于 A PTB PAT切 割 線PB、PD為 O的兩條割 PA·PB PC·PD 過 P 作 PT切 O于 T，定 理 推線，交 O于 A、C用兩次切割線定理論圓 冪 定 O中，割線 PB交OP'C· P'D r 2 延長 P'O 交O于 M，理于 A，CD為弦OP'2延長 OP'交O于 N，22用相交弦定理證； 過 PPA·PB OPrr 為 O的半徑作切線用

4、切割線定理勾股定理證8. 圓冪定理： 過一定點 P 向 O作任一直線，交 O 于兩點，則自定點P 到兩交點的。2歡迎下載精品文檔兩條線段之積為常數(shù) |（ R為圓半徑），因為叫做點對于 O 的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理?！镜湫屠}】例 1. 如圖 1，正方形 ABCD的邊長為 1，以 BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 O，過 A 作半圓切線，切點為 F，交 CD于 E，求 DE：AE的值。3歡迎下載精品文檔圖1解：由切線長定理知： AF AB1，EF CE設(shè) CE為 x，在 Rt ADE中，由勾股定理。4歡迎下載精品文檔，例 2. O中的兩條弦 AB與 CD相交于 E，若 AE6cm， BE2

5、cm， CD7cm，那么 CE。5歡迎下載精品文檔_cm。圖2解：由相交弦定理，得AE·BE CE·DEAE 6cm，BE 2cm，CD7cm，。6歡迎下載精品文檔，即CE 3cm或 CE4cm。故應(yīng)填 3或 4。點撥： 相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則。7歡迎下載精品文檔_。解： PPPAC B， PAC PBA，。8歡迎下載精品文檔。又PA是圓的切線， PCB是圓的割線，由切割線定理，得，。9歡迎下載精品文檔即，故應(yīng)填 PC。點撥： 利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例 4. 如圖 3， P

6、 是O外一點， PC切 O于點 C，PAB是O的割線，交 O于 A、B 兩點，如果 PA：PB1：4，PC12cm， O 的半徑為 10cm，則圓心 O 到 AB 的距離是_cm。圖3解： PC是 O的切線， PAB是O的割線，且 PA： PB1：4 PB 4PA又PC12cm。10歡迎下載精品文檔由切割線定理，得，。11歡迎下載精品文檔PB 4× 6 24（cm）AB 24618（cm）設(shè)圓心 O到 AB距離為 d cm，由勾股定理，得。12歡迎下載精品文檔故應(yīng)填。例 5. 如圖 4，AB為O的直徑，過 B 點作 O的切線 BC，OC交O 于點 E， AE的延長線交 BC 于點 D

7、，（1）求證：；（ 2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD的長。13歡迎下載精品文檔圖4點悟： 要證，即要證 CED CBE。證明：（1）連結(jié) BE。14歡迎下載精品文檔（2）。15歡迎下載精品文檔又，厘米。點撥： 有切線，并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例 6. 如圖 5， AB為 O的直徑，弦 CDAB，AE切O于 A，交 CD的延長線于 E。16歡迎下載精品文檔圖5求證：證明： 連結(jié) BD，AE切O于 A， EAD ABDAE AB，又 AB CD，AE CDAB為O的直徑 ADB 90° E ADB90° ADE BAD。17歡迎下載精品文檔

8、CD AB。18歡迎下載精品文檔AD BC，例 7. 如圖 6，PA、 PC切 O于 A、 C，PDB為割線。求證： AD· BCCD·AB圖6。19歡迎下載精品文檔點悟：由結(jié)論 AD· BCCD· AB得，顯然要證 PAD PBA和PCD PBC證明： PA切O于 A， PAD PBA又APD BPA， PAD PBA同理可證 PCD PBC。20歡迎下載精品文檔PA、 PC分別切 O于 A、CPA PCAD· BCDC·AB例8. 如圖 7，在直角三角形 ABC中， A 90°，以 AB 邊為直徑作 O，交斜邊 BC于點

9、 D，過 D 點作 O的切線交 AC于 E。21歡迎下載精品文檔圖7求證： BC2OE。點悟： 由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是ABC的中位線。而 OA OB，只須證 AECE。證明： 連結(jié) OD。AC AB，AB為直徑AC為O的切線，又 DE切O于 DEA ED，ODDEOB OD， BODB在 Rt ABC中， C90°B ODE 90° C EDCED ECAE ECOE是ABC的中位線BC 2OE。22歡迎下載精品文檔例9. 如圖 8，在正方形ABCD中， AB1，是以點 B 為圓心， AB長為半徑的圓的一段弧。點E 是邊 AD上的任意一點（點E 與點 A、D 不重合），

10、過 E 作所在圓的切線，交邊DC于點 F， G為切點。當(dāng)DEF 45°時，求證點 G為線段 EF的中點；。23歡迎下載精品文檔圖8解：由 DEF45°，得， DFE DEFDE DF又ADDCAE FC因為 AB是圓 B 的半徑， ADAB，所以 AD切圓 B 于點 A；同理， CD切圓 B 于點 C。又因為 EF切圓 B 于點 G，所以 AEEG， FCFG。因此 EGFG，即點 G為線段 EF 的中點。【模擬試題】（答題時間： 40分鐘）一、選擇題1. 已知： PA、PB 切O于點 A、B，連結(jié) AB，若 AB8，弦 AB的弦心距 3，則 PA（ ）。24歡迎下載精品文

11、檔A.B.C.5D. 82. 下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形3. 已知：如圖 1直線 MN與 O相切于 C，AB為直徑， CAB40°，則 MCA的度數(shù)（ ）。25歡迎下載精品文檔圖1A. 50° B. 40° C. 60° D.55°4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長 8cm 且被交點平分，另一弦被交點分為 1： 4，則另一弦長為（ ）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在 ABC中， D是 BC邊上的點， AD，BD3cm，DC4cm，如果 E 是 AD的延長線與 ABC的外接圓的交點，那

12、么 DE長等于（）。26歡迎下載精品文檔A.B.C.D.。27歡迎下載精品文檔6. PT 切O于 T，CT為直徑， D為 OC上一點，直線 PD交O于 B 和 A，B 在線段PD上，若 CD2，AD3，BD4，則 PB等于（）A.20B.10C.5D.二、填空題7. AB、CD是 O切線， ABCD， EF是 O的切線，它和 AB、 CD分別交于 E、F，則EOF_度。8. 已知： O和不在 O上的一點 P，過 P 的直線交 O于 A、B 兩點，若 PA· PB24，OP5，則 O的半徑長為 _。9. 若 PA 為 O 的切線， A 為切點， PBC 割線交 O 于 B、 C，若 B

13、C 20，。28歡迎下載精品文檔，則 PC的長為 _。10. 正 ABC內(nèi)接于 O，M、N 分別為 AB、AC中點，延長 MN交 O于點 D，連結(jié) BD交 AC于 P，則_。三、解答題11. 如圖 2，ABC中， AC2cm，周長為 8cm，F(xiàn)、K、N是 ABC與內(nèi)切圓的切點， DE 切O于點 M，且 DE AC，求 DE的長。29歡迎下載精品文檔圖212. 如圖 3，已知 P 為O的直徑 AB延長線上一點， PC切O于 C，CD AB于 D，求證： CB平分 DCP。圖313. 如圖 4，已知 AD為 O的直徑， AB是O的切線，過 B 的割線 BMN交 AD的延長。30歡迎下載精品文檔線于 C，且 BMMN NC，若 AB，求O 的半徑。圖4【試題答案】一、選擇題1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空題7. 908. 19. 3010.。31歡迎下載精品文檔三、解答題：11. 由切線長定理得 BDE周長為 4，由 BDE BAC，得 DE1cm12. 證明：連結(jié) AC，則 ACCBCD AB， ACB CDB，