第2章金融工程的基本分析方法

1、3/16/2022.1第二章 金融工程的基本分析方法 3/16/2022.2無(wú)套利定價(jià)法 n如果市場(chǎng)是有效率的話，市場(chǎng)價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無(wú)套利的定價(jià)原則。n根據(jù)這個(gè)原則，在有效的金融市場(chǎng)上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)不復(fù)存在。 3/16/2022.3無(wú)套利的價(jià)格是什么？n無(wú)套利均衡的價(jià)格必須使得套利者處于這樣一種境地：他通過(guò)套利形成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值，與他沒(méi)有進(jìn)行套利活動(dòng)時(shí)形成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。 3/16/2022.4例子n假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利

2、，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問(wèn)這樣的市場(chǎng)行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？3/16/2022.5答案是肯定的。n套利過(guò)程是：n第一步，交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)1000萬(wàn)元）n第二步，簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價(jià)格6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬(wàn)元（等于1000e0.100.5）。n第三步，按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬(wàn)元。n第四步，1年后收回1年期貸款，得本息1127萬(wàn)元（等于1000e0.121），并用1110萬(wàn)元（等于1051e0.110.5）償還1年期的債務(wù)后，交易

3、者凈賺17萬(wàn)元（1127萬(wàn)元-1110萬(wàn)元）。 3/16/2022.6無(wú)套利定價(jià)方法的主要特征： n無(wú)套利定價(jià)原則首先要求套利活動(dòng)在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的狀態(tài)下進(jìn)行。n無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來(lái)復(fù)制另外一組證券。 n無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從即時(shí)現(xiàn)金流看是零投資組合 （自融資組合）。3/16/2022.7如何將無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中 ？nCase：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 3/16/2022.8n為了找

4、出該期權(quán)的價(jià)值， 可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)， 必須滿足下式： 11 0.5=9=0.253/16/2022.9n該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：n由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此： 元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff3/16/2022.10無(wú)套利定價(jià)法的應(yīng)用 n1、金融工具的模仿。n即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。 3/16/2022.11例如，我們可以通過(guò)買入一份看漲期權(quán)同時(shí)賣出一份看跌期

5、權(quán)來(lái)模仿股票的盈虧。3/16/2022.122、 金融工具的合成n金融工具的合成是指通過(guò)構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同價(jià)值。n例如：合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。 SS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST S= c- p+Xe-r(T-t) 3/16/2022.13風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法n在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，我們可以假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，此時(shí)所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 n風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便

6、而作出的人為假定，但通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。 3/16/2022.14例子假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 3/16/2022.15n在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。n P=0.6266n這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以就出該期權(quán)的價(jià)值： 0.1 0.25119 110ePP（）0.1 0.25(0.5 0.62660

7、 0.3734)0.31fe 元3/16/2022.16General casen假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到Su，或者下降到Sd。當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。 3/16/2022.17無(wú)套利定價(jià)法的思路n首先，構(gòu)造一個(gè)由股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的值。 3/16/2022.18n如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是（Su-fu）e-r（T-t）,而構(gòu)造該組合的成本是S-

8、f，在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下，兩者必須相等。即S-f=（Su-fu）e-r(T-t) ，所以1(1)r TudfePfP f（）()r T tedPud3/16/2022.19風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路n假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來(lái)期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過(guò)下式求得： )(1)r T tSeSuPSdP（()r T tedPud(1)rTudfePfP f 3/16/2022.20狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)n狀態(tài)價(jià)格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。如果未來(lái)時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知

9、道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況以及市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。 3/16/2022.21例子nA是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)格是PA，一年后其價(jià)格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場(chǎng)的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和下降狀態(tài)（概率是1-q）。n我們現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造兩個(gè)基本證券?；咀C券1在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券2恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是u，基本證券2的價(jià)格是d。 3/16/2022.22n購(gòu)買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2組成一個(gè)假想的證券組合。該組合在T時(shí)刻

10、無(wú)論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流 PA=uuPA+ddPA 或1=uu+ddn由單位基本證券組成的組合在T時(shí)刻無(wú)論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報(bào)都是1元。這是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，其收益率應(yīng)該是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r ()r T tude3/16/2022.23 n所以n只要有具備上述性質(zhì)的一對(duì)基本證券存在，我們就能夠通過(guò)復(fù)制技術(shù)，為金融市場(chǎng)上的任何有價(jià)證券定價(jià)。n關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)格上升的概率p，它依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對(duì)p認(rèn)識(shí)的分歧不影響為有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。n無(wú)套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)）的過(guò)程與結(jié)果同市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)。 ()()11r T tr T tuduede

11、udud，3/16/2022.24狀態(tài)價(jià)格定價(jià)法的應(yīng)用n假設(shè)某股票符合我們上面提到的兩種市場(chǎng)狀態(tài)，即期初價(jià)值是S0，期末價(jià)值是S1，這里S1只可能取兩個(gè)值：一是S1=Su=uS0,u1,二是S1= Sd=dS0,d1。我們現(xiàn)在想要確定的是依附于該股票的看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？ 3/16/2022.25n我們構(gòu)造這樣一個(gè)投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價(jià)值特征完全相同：以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券），同時(shí)在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股標(biāo)的股票。該組合的成本是N S0-B，到了期末，該組合的價(jià)值V是N S1-RB，R是利率因子。對(duì)應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個(gè)取值：如果S1=Su,則V=V

12、u= N Su-RB，如果S1=Sd, 則V=Vd= N Sd-RB。 ()()e,e.uur Ttuddr TtdVNSBcVNSBc3/16/2022.26n由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價(jià)值，即有N S0-B=c0,把N和B 代入本式中，得到看漲期權(quán)的價(jià)值公式 c0=pcu+(1-p)cde-r(T-t) n其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d) 。 0()()()()/()()/(),()/()()()/()udududduududr Ttddr Ttudr TtNccSSccud SBS cS cSSeNScedcuceud3/16/2022.27積木分析法 n積木分析法也叫模塊分析法，指將各種金融工具進(jìn)行分解和組合，以解決金融問(wèn)題。 3/16/2022.28期權(quán)交易的四種損益圖（不考慮期權(quán)費(fèi)）3/16/2022.29 3/16/2022.30 3/16/20