子主題二 圖形變換與最佳位置的確定

1、七彩教育網 教學資源分享平臺，無需注冊、無需登錄即可下載子主題二 圖形變換與最佳位置的確定學習目的能將實際問題轉化為空間與圖形的問題，能運用平移變換和軸對稱變換解決位置確定的問題，并能對解決方案做幾何證明；進一步理解平面圖形的平移變換、軸對稱變換的基本性質經歷抽象、作圖、分析、證明的探究過程，學會從復雜問題中分析出簡單、基本的幾何問題的基本步驟和方法；掌握最短路徑問題的基本解決方法和基本證明方法體會平移變換和軸對稱變化在解決實際問題中的價值，獲得成功解決問題和克服困難的情感體驗，激發(fā)數(shù)學的學習興趣，增強學好數(shù)學的信心重難點分析能將實際問題轉化為空間與圖形的問題，能運用平移變換和軸對稱變換解決位

2、置確定的問題，并能對解決方案做幾何證明；進一步理解平面圖形的平移變換、軸對稱變換的基本性質經歷抽象、作圖、分析、證明的探究過程，學會從復雜問題中分析出簡單、基本的幾何問題的基本步驟和方法；掌握最短路徑問題的基本解決方法和基本證明方法體會平移變換和軸對稱變化在解決實際問題中的價值，獲得成功解決問題和克服困難的情感體驗，激發(fā)數(shù)學的學習興趣，增強學好數(shù)學的信心活動建議方案圖形變換與最佳位置的確定活動建議方案一、活動流程框圖軸對稱變換與最佳位置的確定提出探究任務自主合作探究自主合作探究集體交流總結提出探究人物小鎮(zhèn)間的橋梁圖形變換與最佳位置集體交流二、活動過程2.1活動一：兩條河上的橋梁2.1.1活動任

3、務通過解決小鎮(zhèn)間的橋梁問題，認識到平移變換在將復雜問題轉化為簡單問題過程中的作用，學會從復雜情形中分解出簡單問題并解決活動內容：第一步：提出探究任務老師向同學提出如下問題（見媒體資源-小鎮(zhèn)間的橋梁），請同學解決：如圖所示，某地有三個小鎮(zhèn)A、B、C和兩條河，政府計劃修在每條河上修一座橋假設每條河的各個地方的寬度都是相同的，修建的橋梁要求與河岸垂直，那么橋梁選址何處能使從A鎮(zhèn)經B鎮(zhèn)到C鎮(zhèn)的路程最短？第二步：自主合作探究同學以小組為單位進行探究，教師巡視、指導，根據(jù)需要可以提出如下建議：第一，三個小鎮(zhèn)兩條河流的問題太復雜，探究可以從簡單問題開始，例如一條河流隔開兩個小鎮(zhèn)的問題，再分析簡單問題與復雜問

4、題的關系第二，對于兩個小鎮(zhèn)一條河流的問題，分析構成兩個小鎮(zhèn)間通過橋梁的最短距離的幾條線段，哪些線段與橋梁的選址無關，哪些線段的程度與橋梁選址有關，找到這個實際問題對應的數(shù)學問題，聯(lián)系有關的數(shù)學知識第三步：集體交流選擇23個小組的同學代表本組匯報探究過程與結果，老師引導總結提升，建議從如下幾個方面進行總結：第一，從A鎮(zhèn)經B鎮(zhèn)到C鎮(zhèn)的路程是由從A鎮(zhèn)到B鎮(zhèn)的路程與B鎮(zhèn)到C鎮(zhèn)的路程和組成的，要想獲得從A鎮(zhèn)經B鎮(zhèn)到C鎮(zhèn)的最短路程，只要讓從A到B和從B到C都最短即可，問題就轉化為研究在一條隔開兩個小鎮(zhèn)的河流上架橋的最短路程問題（見媒體資源兩個小鎮(zhèn)的橋梁）第二，兩個小鎮(zhèn)間的橋梁問題對應的數(shù)學問題就是：在直線

5、a上找到一點P，做PQa交b于Q，使得AP+PQ+QB最小由于無論P在何處，PQ都是定值，所以問題就轉化為使得AP +QB最小的問題；將AP平移至QA，連接AB交b于M點，則即為修橋梁的地點(見媒體資源兩個小鎮(zhèn)的橋梁)第三，有了找兩個小鎮(zhèn)間橋梁的方法，就可以解決在兩條河流上修建兩座橋梁使得從A鎮(zhèn)經B鎮(zhèn)到C鎮(zhèn)的路程最短的問題了，參見媒體資源：橋梁的位置第四，在確定以最短距離為標準的最佳位置問題時，幾何中的重要知識基礎就是“兩點之間線段最短”這一公理，為了運用這一公理，經常需要通過平移、軸對稱等變換表面不是求兩點距離的問題變?yōu)榍髢牲c最短距離的問題 活動組織方式：個人獨立思考為基礎的小組合作交流，教

6、師引導下的全班集體交流活動評價方式： 教師評價、學生互評、學生自評的方式所需學習資源最優(yōu)選址問題.jpg最優(yōu)選址問題.swf河流上的橋梁（1）.jpg河流上的橋梁（2）.jpg橋應該建在哪里.swf橋應該建在哪里.jpg小鎮(zhèn)間的橋梁. swf小鎮(zhèn)間的橋梁.jpg兩條河上的橋址選擇方案. swf兩條河上的橋址選擇方案. jpg所需學習時間20分鐘2.2 活動二：軸對稱變換在確定佳位置問題中的應用2.2.1活動任務：通過解決一組最佳位置問題，認識到軸對稱變換在將復雜問題轉化為簡單問題過程中的作用，學會從復雜情形中分解出簡單問題并解決活動內容：第一步：提出探究任務：教師通過學案或者多媒體出示下面問題

7、（見媒體資源兩個探究問題），請學生探究：問題1：如圖1，D、E是ABC邊AB、AC上的定點，在BC上求一點M，使DEM的周長最小問題2：如圖2，已知銳角AOB內有一點P，分別在OA，OB上求作一點，M，N使得PMN的周長最小第二步：自主合作探究同學以小組為單位進行探究，教師巡視、指導，根據(jù)需要可以提出如下建議：第一，請每位同學首先獨立思考，記錄下自己的分析過程嗎，然后再在小組中交流自己的困難、經驗與思路；第二，幾何中確定以最短距離為標準的最佳位置問題有關的知識是“兩點之間線段最短”，因此分析的方向可以定為將求周長最短的三角形問題轉化為求兩點間最短距離問題，活動1中的分析過程有何啟示第三步：集體

8、交流總結第一，與活動1中的分析類似，對于問題1，設M為BC邊上一點，DEM 的周長等于DM+ME+DE，由于DE是定值，所以問題就轉化為路徑最短問題的基本問題（見同名媒體資源），做E點關于的對稱點，則問題轉化為求D、E間最短距離問題，連接DE交BC于M，則M即為所求第二，問題2中PMN的周長等于PM+MN+PN構成，將這三短線拉直變?yōu)閮牲c距離問題，可以將P點分別做關于OA和OB的對稱點P1、P2，連接P1P2交OAOB于點MN，則MN即為所求第三，“兩點之間線段最短”是幾何方法確定平面上最短距離問題的最重要依據(jù)，面對具體問題時，經常需要通過各種平面變換將問題做轉化，教師可以補充一些其他問題（見

9、媒體資源-拓展資源）活動組織方式：個人獨立思考為基礎的小組合作交流，教師引導下的全班集體交流活動評價方式： 教師評價、學生互評、學生自評的方式所需學習資源最佳位置問題1.jpg最佳位置問題1解法.jpg最佳位置問題（1）.swf最佳位置問題2.jpg最佳位置問題2解法.jpg最佳位置問題（2）.swf所需學習時間20分鐘學習評價“圖形變換與最佳位置的確定”過程性學習評價表評價內容是/否1我們的成員通過獨立思考和交流討論后，找到了確定最佳位置的方法；2我們能夠對自己得出的最佳位置的結論進行證明；3通過今天的學習，我們看到了如何選擇平移變換和軸對稱變換，需要針對不同問題選擇適合的圖形變換，我想是否

10、有的探究問題也能夠用旋轉變換解決；4我們通過本次活動明白了用幾何方法解決最佳位置問題的主要理論依據(jù)就是“兩點之間線段最短”這一公理，在具體應用中，經常需要利用變換做轉化；5在探究活動中我們感受到了團隊合作的作用，增強了合作意識 1. 如圖：已知直線l，在l的同側有兩點A，B，在直線l上有線段MN=1，能否在l上求作M，N兩點，使得使得AM+MN+BN的和最小 2如圖，在直角坐標系中有四個點A（-6,3）、B（-2,5）、C（0,m）、D（n,0），當四邊形ABCD的周長最短時，求m、n的值 3.直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形方法如下:請你用上面圖示的方法，解答下列問題:(1) 對任意三角形，設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形(2) 對任意四邊形，設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面積相等