南開大學(xué)數(shù)學(xué)系考研真題

1、2003南開大學(xué)年數(shù)學(xué)分析一、 設(shè)其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：令u=x+y,v=x-y,z=x則；二、 設(shè)數(shù)列非負(fù)單增且，證明解：因?yàn)閍n非負(fù)單增，故有由；據(jù)兩邊夾定理有極限成立。三、 設(shè)試確定的取值范圍，使f(x)分別滿足：（1） 極限存在（2） f(x)在x=0連續(xù)（3） f(x)在x=0可導(dǎo)解：（1）因?yàn)?極限存在則2+知(2)因?yàn)?0=f(0)所以要使f(x)在0連續(xù)則（3）所以要使f(x)在0可導(dǎo)則四、設(shè)f(x)在R連續(xù)，證明積分與積分路徑無關(guān)解；令U=則=又f(x)在R上連續(xù)故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=所以積分與路徑無關(guān)。 （此題應(yīng)感謝小毒物提供思路）五、 設(shè)f(x)

2、在a,b上可導(dǎo)，且,證明證：因f(x)在a,b可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理，存在即有六、設(shè)單減而且收斂于0。發(fā)散a) 證明b) 證明其中；證：（1）因?yàn)槎鴨螠p而且收斂于0據(jù)狄利克萊判別法知（2）因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散則又由上題知故有七、設(shè)證明（1）在一致收斂（2） 在連續(xù)證：（1）因收斂（可由狄利克萊判別法判出）故在t>=0上一致收斂；又在x>=1,t>=0 單調(diào)且一致有界由阿貝爾判別法知一致收斂（2）由上題知，F(xiàn)（t）在一致收斂，且由在（x,t）上連續(xù)知F（t）在連續(xù)所以在連續(xù)，由的任意性得證八、令是a,b上定義的函數(shù)列，滿足（1）對(duì)任意是一個(gè)有界數(shù)列（2）對(duì)任意，存在一

3、個(gè)求證存在一個(gè)子序列在a,b上一致收斂證：對(duì)任意，是一個(gè)有界數(shù)列故由致密性定理存在一收斂子列，設(shè)為，又令U=則U為a,b的一個(gè)開覆蓋集，由有限覆蓋定理，存在有限個(gè)開區(qū)間覆蓋a,b，不妨設(shè)為于是對(duì)>0，有令則由條件（2）知對(duì)上述于是+由柯西準(zhǔn)則得證。2004年南開大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案1. 2. ,=3.即證明，即證設(shè)，證完。4.= 5.設(shè)P=，Q=，積分與路徑無關(guān)，則6. ,又當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，原題得證7.由拉格朗日定理，其中，原題得證8.（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)命題成立，若當(dāng)時(shí)命題也成立，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)連續(xù)。（2）（3）由單調(diào)遞減趨于，與都連續(xù)，由地尼定理，該收斂為一致收

4、斂。9.(1)證明：取，代入式中得，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增有下界，從而存在右極限，則；，由題設(shè)可得，即從而，所以導(dǎo)函數(shù)遞增。(2)參考實(shí)變函數(shù)的有關(guān)教材。2005年南開大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案2.，其中由 求出3.4.在上單調(diào)一致趨于0，則在上一致收斂，又在上連續(xù)，則在上連續(xù)。5.由泰勒公式，則，后者收斂，則原級(jí)數(shù)收斂。6.由拉格朗日中值定理，后者收斂，由魏爾特拉斯定理，原級(jí)數(shù)一致收斂。由一致收斂，則可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，也一致收斂且連續(xù)，故連續(xù)可導(dǎo)7.反證：設(shè)存在有，不妨設(shè)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，知道存在一個(gè)鄰域當(dāng)時(shí)，則存在一個(gè)圓周與已知矛盾。8.當(dāng)時(shí)，時(shí)，綜上，若對(duì)任意的有，則在時(shí)，不存在，矛盾。設(shè)當(dāng)

5、時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊對(duì)積分即可6. ，由在上有定義，則在上有界，則可以得到在上連續(xù)。，則，則 則單調(diào)遞增有下界，存在右極限，存在，同理存在，由極限的保不等式性可得2003年中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究院數(shù)學(xué)分析試題答案1. （1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，=（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2. 當(dāng)時(shí)， ，從而連續(xù)；當(dāng)時(shí)，存在；當(dāng)時(shí)， ,3.即證：，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，4. 5.假設(shè)存在常數(shù)M，積分矛盾6.作代換=7.橢球面的切向量為，切點(diǎn)為和8. 當(dāng)時(shí)，相加：令，所以9由含參量積分的性質(zhì)，科院2006年數(shù)學(xué)分析試題參考解答1求a,b使下列函數(shù)在x=0處可導(dǎo):解：由于函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，從而

6、連續(xù)，由得到b=1;又由得到a=0.即得。2 證明: 用反證法。 由知，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則，于是有，從而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知級(jí)數(shù)收斂，矛盾，從而得證。3 解：從而即得解。（利用余元公式、換元、函數(shù)更為簡(jiǎn)單）4 證明：知,從而令有從而得證。 5證明: 6 證明: 我們先來證明一個(gè)不等式，一般的稱為Cauchy-Schwarz不等式，即定理1 7 證明：8 設(shè)曲線的周長(zhǎng)和所圍成的面積分別為L(zhǎng)和S，還令，則.證明：由對(duì)稱性知9 解： 為證明=I，我們先來證明一個(gè)定理：定理2 設(shè)在|x|<R內(nèi)收斂，若也收斂，則 回到題目，看數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，設(shè)=，|x|<1,由定理2即知 =I

7、.10 解: 這是星形線，充分考慮到對(duì)稱性(x=0,y=0,x=y,x=-y)，有北京大學(xué)20051設(shè)，試求和.解: 當(dāng)然此上極限可以令.此下極限當(dāng)然可以令1. (1)設(shè)在開區(qū)間可微，且在有界。證明在一致連續(xù).證明:由存在.這顯然就是(2) 設(shè)在開區(qū)間可微且一致連續(xù)，試問在是否一定有界。（若肯定回答，請(qǐng)證明；若否定回答，舉例說明）證明:否定回答.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù).所以顯然此而3設(shè). (1)求的麥克勞林展開式。(2)求。 . 又由于 比較系數(shù)有：，接下來，若 中 ，此時(shí)令 有。 同理可得：， 。綜合得： 4試作出定義在中的一個(gè)函數(shù)，使得它在原點(diǎn)處同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： （1）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

8、都存在；（2）任何方向極限都存在；（3）原點(diǎn)不連續(xù) 解： 。顯然這個(gè)函數(shù)在 的時(shí)候，有偏導(dǎo)數(shù)存在 ，而對(duì)于的時(shí)候，有 ，此式在原點(diǎn)也成立。 對(duì)于任意方向極限，有。顯然沿任意方向趨于原點(diǎn)。 此函數(shù)的方向極限都存在。最后，因?yàn)檠夭煌较蜈呄蛟c(diǎn)。不妨設(shè)有不同的極限 。且其都不為0。所以該函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。5計(jì)算.其中是球面與平面的交線。 解：首先，曲線是球面與平面的交線。因?yàn)槠矫孢^原點(diǎn)，球面中心為原點(diǎn)。 所以它們的交線是該球面上的極大圓。再由坐標(biāo)的對(duì)稱性。易知有 。 因此有 =。6設(shè)函數(shù)列滿足下列條件：（1），在連續(xù)且有（） （2）點(diǎn)點(diǎn)收斂于上的連續(xù)函數(shù)證明：在上一致收斂于 證法1：首先，因?yàn)閷?duì)任

9、意。且有，所以，對(duì)于任意，有。 又因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)。所以可以找到，當(dāng) 時(shí)。有，以及 同時(shí)成立。因此，當(dāng)， 時(shí)，有 。 如此，令，所以有開區(qū)間族 覆蓋了區(qū)間。 而在閉區(qū)間上連續(xù)。由Heine-Borel 定理，從開區(qū)間族中可以選出有限個(gè)， 使 。由的選法?？捎上鄳?yīng)與，當(dāng)，且時(shí)，有。 取，當(dāng)時(shí)，且，有 成立。所以在上一致收斂于。 證畢。 證法2：反證法.設(shè)存在某，對(duì)于任意，有一，使得又有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在收斂子列收斂于中某值因?yàn)閷?duì)任意。且有，所以，當(dāng)時(shí)，有設(shè)某，由與連續(xù)性存在一，當(dāng)時(shí)有同時(shí)成立顯然，又因?yàn)樗源嬖谥担?當(dāng)時(shí)， 成立最后，當(dāng)時(shí)，有這與假設(shè)矛盾所

10、以在上，是一致收斂于證畢大連理工大學(xué)2005試題數(shù)學(xué)分析試題解答一、 計(jì)算題1、 求極限：解：2、求極限：解：3、證明區(qū)間（0，1）和（0，+）具有相同的勢(shì)。證明：構(gòu)造一一對(duì)應(yīng)y=arctanx。4、計(jì)算積分，其中D是x=0,y=1,y=x圍成的區(qū)域解：5、計(jì)算第二類曲線積分：，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。解：6、設(shè)a>0,b>0,證明：。證明：二、 設(shè)f(x)為a,b上的有界可測(cè)函數(shù)，且證明：f(x)在a,b上幾乎處處為0。證明：反證法，假設(shè)A=x|f(x)0，那么mA>0。三、 設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間（0，+）內(nèi)連續(xù)且有界，是討論f(x)在（0，+）內(nèi)的一致連續(xù)性。討論：非一致連續(xù)，構(gòu)造函數(shù)：四、 設(shè)，討論函數(shù)的連續(xù)性和可微性。解：1）連續(xù)性：連續(xù)2）可微性：可微五、 設(shè)f(x)在（a,b）內(nèi)二次可微，求證：證明：六、 f(x)在R上二次可導(dǎo)，證明：f(x)在R上恰有兩個(gè)零點(diǎn)。證明：七、 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在a,b內(nèi)可積，證明:對(duì)a,b內(nèi)任意分割證明：八、 求級(jí)數(shù)：解：九、 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在(0,1)和(1,+)的一致收斂