雙曲線知識點及題型總結(jié)精華-

1、 3 D. -3,33.已知圓C 過雙曲線9 x-162y=1的一個頂點和一個焦點,且圓心在此雙曲線上,則圓心到雙曲線中心的距離是_.題型五:軌跡問題1.已知橢圓x 2+2y 2 =8的兩焦點分別為F 1、F 2,A 為橢圓上任一點。AP 是AF 1F 2的外角平分線,且 P F AP 2=0.則點P 的軌跡方程是 .2.雙曲線x 2-y 2 =4的兩焦點分別為F 1、F 2,A 為雙曲線上任一點。AP 是F 1AF 2的平分線,且 P F AP 2=0.則點P 的軌跡是 ( A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.圓的一部分D.拋物線的一部分 3求與圓13(22=+-y x 及93(22=+y

2、 x 都外切的動圓圓心的軌跡方程高考例題解析1.已知21,F F 是雙曲線1222=-yx的左、右焦點,P 、Q 為右支上的兩點,直線PQ 過2F ,且傾斜角為,則PQ QF PF -+11的值為 ( A 24B 8C 22D 隨的大小變化 答案: A 解析: 用雙曲線定義列方程可解2.過雙曲線02222=-y x 的右焦點作直線l 交曲線于A 、B 兩點,若4=AB 則這樣的直線存在 ( A 0條 B 1條 C 2條 D 3條答案: D 解析: l x 軸時的焦點弦長AB=4最短為通徑,故交右半支弦長為4的直線恰有一條;過右焦點交左右兩支的符合要求的直線有兩條3. 直線531+-=x y 與

3、曲線12592=+yx x 的交點個數(shù)是 ( A 0個B 1個C 2個D 3個答案: D 解析: (0, 5點為完整雙曲線和橢圓的極值點,故y=5為其切線,當直線斜率不為0時,直線必與每個曲線交于兩點4. P 為雙曲線12222=-by ax 上一點,1F 為一個焦點,以1PF 為直徑的圓與圓222a yx =+的位置關(guān)系為( A 內(nèi)切B 外切C 內(nèi)切或外切D 無公共點或相交 答案: C 解析: 用兩圓內(nèi)切或外切的條件判斷5. 設21,F F 是雙曲線1422=-yx的兩個焦點,點P 在雙曲線上且滿足9021=PF F ,則21F PF 的面積為( A 1 B25 C 2 D5答案: A 解析

4、: 勾股定理,雙曲線定義聯(lián)立方程組h 或面積公式6. 設21,F F 是雙曲線1422=-yx的左、右焦點,P 在雙曲線上,當21PF F 的面積為1時,21PF PF 的值為( A 0B 1 C21 D 2答案: A 解析: 不妨設,p x ,0>p y 由511221=p p y y c , 55,5302(P 55,53025(1-=PF ,55,53025(2-=PF ,021=PF PF7.過點A (0,2可以作_條直線與雙曲線x 2-42y=1有且只有一個公共點答案:4 解析:數(shù)形結(jié)合,兩切線、兩交線過點P (4,4且與雙曲線x 216-y29=1只有一個交點的直線有 ( A

5、 .1條B .2條C .3條D .4條 解析:如圖所示,滿足條件的直線共有3條. 答案:C8.已知A (3,2,M 是雙曲線H :1322=-yx 上的動點,F 2是H 的右焦點,求221MF AM +的最小值及此時M的坐標。 解:由2=e ,則 eMF AM MF AM 2221+=+2521311=-=+=AA MMAM 此時M 的坐標(2,3219. 已知雙曲線C :1(1322=-x yx ,一條長為8的弦AB 兩端在C 上運動,AB 中點為M ,則距y 軸最近的M 點的坐標為 。 解:(12111BF AF eBB AA MM+=+= ABeBF AF eMM21(211+=又2=a

6、c e ,則21MM當且僅當AB F 時,取“=”,由逆徑8622<=ab ,故可取“=” 252122110=+=+=MMx 又由322=ab k k FM OM即 y2 10.P 為雙曲線 x2 1 右支上一點，M、N 分別是圓(x42y24 和(x42y21 上的點，則|PM|PN| 15 的最大值為_ 解析：雙曲線的兩個焦點為 F1(4,0、F2(4,0，為兩個圓的圓心，半徑分別為 r12，r21，|PM|max |PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2(|PF2|1|PF1|PF2|35.答 案：5 .直線 l ： y = kx + 1

7、 與雙曲線 C： 2 x 2 - y 2 = 1的右支交于不同的兩點 A、B。 （）求實數(shù) k 的取值范圍； （）是否存在實數(shù) k ，使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點 F？若存在，求出 k 的值。若不存在， 說明理由。 解： （）將直線 l的方程y = kx + 1代入雙曲線 的方程2x 2 - y 2 = 1后, 整理得 C y0 y0 - 0 15 15 5 15 2 故 M（ ,± ） × = 3 Þ y0 = Þ y0 = ± 5 5 4 2 2 2 -2 2 2 (k 2 - 2 x 2 + 2kx + 2 = 0

8、. 依題意，直線 l 與雙曲線 C 的右支交于不同兩點，故 ìk 2 - 2 ¹ 0, ï 2 2 ïD = (2k - 8(k - 2 > 0, ï 解得k的取值范圍是- 2 < k < - 2 í- 22k > 0 ï k -2 ï 2 > 0. ï 2 îk - 2 （）設 A、B 兩點的坐標分別為 ( x1 , y1 、 ( x2 , y 2 ，則由式得 2k ì ï x1 + x 2 = 2 - k 2 , ï í

9、ïx × x = 2 . ï 2 2 k2 -2 î 假設存在實數(shù) k，使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點 F（c,0）. 則由 FAFB 得： ( x1 - c(x2 - c + y1 y 2 = 0. 即( x1 - c(x2 - c + (kx1 + 1(kx2 + 1 = 0. 整理得 (k 2 + 1 x1 x2 + (k - c(x1 + x2 + c 2 + 1 = 0. 把式及 c = 6 代入式化簡得 2 5k 2 + 2 6k - 6 = 0. 6+ 6 6- 6 或k = Ï (-2,- 2 (舍去 5

10、5 6+ 6 可知 k = - 使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點. 5 uuu v uuu v （四川卷）9.已知兩定點 F (- 2,0, F2 ( 2,0, 滿足條件 PF 2 - PF 1 = 2 的點 P 的軌跡是曲線 E，直線kx 1 解得 k = - 1 與曲線 E 交于 A、B 兩點。 （）求的取值范圍； （）如果 AB = 6 3, 且曲線 E 上存在點 C，使 OA + OB = mOC , 求 m的值和DABC的面積S 。 本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、 直線與雙曲線的關(guān)系、 點到直線的距離等知識及解析幾何的基本 思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分

11、 14 分。 uuu v uuu uuu v v uuu v 6 解： （）由雙曲線的定義可知，曲線 E 是以 F1 - 2, 0 , F2 且c = ( ) ( 2, 0 為焦點的雙曲線的左支， ) 2, a = 1 ，易知 b = 1 2 2 故曲線 E 的方程為 x - y = 1( x < 0) 設 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ，由題意建立方程組 í 2 2 消去 y ，得 1 - k x + 2kx - 2 = 0 ( ) ì y = kx - 1 2 2 îx - y = 1 又已知直線與雙曲線左支交于兩點 A, B

12、 ，有 ì 1- k 2 ¹ 0 ï 2 2 ïD = ( 2k ) - 8 (1 - k ) > 0 ï ï í x + x = -2k < 0 1 2 ï 1- k 2 ï -2 ï x1 x2 = >0 ï 1- k 2 î 2 解得 - 2 < k < -1 2 AB = 1 + k × x1 - x2 = 1 + k × ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 -2 æ -2k ö = 1+

13、k 2 × ç ÷ - 4´ 1- k 2 ø 1- k 2 è 2 =2 (1 + k )( 2 - k ) (1 - k ) 2 2 2 2 依題意得 2 (1 + k )( 2 - k ) = 6 (1 - k ) 2 2 2 2 3 4 2 整理后得 28k - 55k + 25 = 0 2 k = 5 5 2 或k = 7 4 k = - 但 - 2 < k < -1 5 2 5 x + y +1 = 0 2r uuu uuu r uuu r 設 C ( x0 , y0 ) ，由已知 OA + OB = mOC

14、，得 ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( mx0 , my0 ) 故直線 AB 的方程為 ( mx0 , my0 ) = ç 又 x1 + x2 = æ x1 + x2 y1 + y2 ö , ÷ ， ( m ¹ 0) m ø è m 2k 2 2 2 = -4 5 ， y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) - 2 = 2 -2= 2 =8 2 k -1 k -1 k -1 æ ö 點 C ç -4 5 , 8 ÷ ç m m÷ &#