z變換的終值定理

1、9.初值定理如果信號X ( t)的拉氏變換為 X ( S),且X ( t )在t = 0點(diǎn)不含有任何階次的沖激函數(shù)各份 ,則：hn = jc(O+)(5.40)初值定理表明，s X ( s)的極限值等于信號 x ( t)在t = 0+點(diǎn)的初值，而 且，無論拉氏變換采用 0-系統(tǒng)還是0 +系統(tǒng)，所求得的初值都是在 t = 0+時(shí)刻的 值，證明如下。根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)可知：£華=-式。一)1.(5.41)而由拉氏變換的定義可得：幽戶曲出=f 皿卜7出+ j皿卜,i-出 ,山=武吟一式廠)+ j嚕卜,0+(5.42)于是有：點(diǎn)=其吟+ j 誓產(chǎn)出一(5.43)lim 尸=0對此式兩邊取 r

2、的極限，由于當(dāng)，且僅當(dāng) t> 0時(shí)，IT-因此：lun sZ(5)= X0 + )+蟲白力山L di 1g n十迅.)對初值定理，也可利用信號x ( t )在t = 0+時(shí)刻的臺(tái)勞級數(shù)來證明，其臺(tái)勞級數(shù)為：/什)十月“口中+"口十)二+ A +-二！(5.44)式中，x(0+)是x ( t)在t = 0+時(shí)刻的n階導(dǎo)數(shù)值。由于：1 產(chǎn)因此，對式(5.44)兩邊取拉氏變換后有：x(»= 戶2T4工+1+產(chǎn)+)士 +八 S5S5,由此而得：lim sX = x(0 + )$8初值定理要求信號 x ( t)在t = 0點(diǎn)不含有任何階次的沖激函數(shù),這也就是要求 式(5.40)

3、中的X ( S)必須是一個(gè)真分式。如果 X ( S)是一個(gè)lim sX =co假分式，即當(dāng) X ( s )分子的階次高于或等于分母的階次時(shí)，i:式(5.40)將不成立。因此，如果 X ( S)是一個(gè)假分式時(shí)，則應(yīng)先將它分解出一個(gè)真分式，然后再利用 式(5.40)求這個(gè)真分式所對應(yīng)的信號初值。例如，如果S ,這是一個(gè)假分式，它不能直接利用 式(5.40)求得初值。= $ + L1但是，如果將其分解為s ,則可利用式(5.40)求得$所對應(yīng)的信號初值為1。lim = x(D+) 5 T8(5.40)10.終值定理終值定理的形式類似于初值定理，它是通過變換式在£ T口時(shí)的極限值來求得信號的

4、終值，即lim旺-lim戲)3 To10(5.45)利用初值定理證明過程中所得到的式(5.43 )可以證明終值定理。由式(5.43 )知底)7優(yōu))+旅超"”出0+于是有：= H)+j竿小出=忒0*) +Lm 芯Q - a(0+)2T 0=lini x(t)f-> 9顯然只有當(dāng)信號 x( t )的終值存在時(shí)，才能利用 式(5.45)求得它的終值，否則將得到錯(cuò)誤的結(jié)果。而要使x(t )的終值存在，則要求X ( s)的極點(diǎn)在左半s平面，如 果X ( s)在js上有極點(diǎn)的話，也只能是在原點(diǎn)上的一階 極點(diǎn)，其原因在于，只有滿足這種極點(diǎn)分布的信號才有終值 存在。關(guān)于這個(gè)問題，可參閱“拉普拉

5、斯逆變換” 一節(jié)中的 討論。至此，我們討論了單邊拉氏變換的主要性質(zhì)，并求得了一些常見信號的變換式。表5.1和 表5.2分別列出了這些信號的變換式和拉氏變換的主要性質(zhì)，以供讀者查閱。雖然我們討論的只是單邊拉氏變換，但對雙邊拉氏變換而言，除了初值定理、終值定理和微分性質(zhì)和單邊拉氏變換略有不同外，其它的性質(zhì)和單邊拉氏變換是一樣的。這兩種變換之間并沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，然而，如果要求解非零狀態(tài)下的系統(tǒng)響應(yīng)，則只能使用單邊拉氏變換。4.5.8 終值定理若 式琦是因果序列，且已知其z變換為8則lim 確）=lim Cz 一1產(chǎn)9MT】.證明：因?yàn)閣ks2值間（線性性）人團(tuán)R-劌6-了（時(shí)移性）取極限可得li

6、m3 -1）X（2）= x（0） + limx（w + 1）-武刃）J->1XT】=工 + lim zx（n +1）-六國），* 營-*1=':證畢由證明過程可以看出，終值定理只有在 存在時(shí)才可以應(yīng)用，也就是說了（打的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)（如果位于單位圓上，則只能位于1三1點(diǎn)，且是一階極點(diǎn)）。下面我們舉例來說明終值定理的應(yīng)用條件。例：設(shè)序列為 網(wǎng)力T+尸L，可求出其Z變換為 eT £-2,取極限可得但顯然序列的極限并不存在，即hm忒用)一 一 不存在，所以1叫«-1活 h limx(用)ff->lLJ JWto導(dǎo)致上面這種“終值定理”不成立的原因是X(z)(還是X(z)(z-1